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Tema 1: La recta real. Sucesiones y series.
1 Sucesiones
1.1 Criterios para el c´alculo de l´ımites de sucesiones.
Teorema 1 (Criterio de Stolz).- Sean {an}
∞ n= y {bn}
∞ n= dos sucesiones de n´umeros reales. Si {bn}
∞ n=
es estrictamente mon´otona, y
bn = ±∞ o lim n→∞
an = lim n→∞
bn = 0.
Entonces
lim n→∞
an − an− 1
bn − bn− 1
= l (finito o infinito) ⇒ lim n→∞
an
bn
= l.
Teorema 2 (Criterio de Cauchy).- Si {an}
∞ n= es una sucesi´on de n´umeros reales positivos, entonces
lim n→∞
an
an− 1
= l (finito o infinito) ⇒ lim n→∞
n
an = l.
1.2 Infinitos equivalentes.
n! = o(n n )
lim n→∞
n!
n n
a n = o(n!), con a > 0
lim n→∞
a n
n!
n k = o(a n ), con k > 0 , a > 1 ,
lim n→∞
n k
a n
ln n = o(n k ), con k > 0 ,
lim n→∞
ln n
n k
akn
k
k− 1
- · · · + a 1 n + a 0 ∼ akn
k (ak 6 = 0) 1 +
n
∼ ln n
ln(akn
k
k− 1
- · · · + a 1 n + a 0 ) ∼ k ln n (ak > 0) n! ∼ e
−n n
n
2 πn (F´ormula de Stirling)
1.3 Infinit´esimos equivalentes.
sen xn ∼ xn arcsen xn ∼ xn 1 − cos xn ∼ x
2 n/^2 (1 +^ xn)
p − 1 ∼ pxn e
xn − 1 ∼ xn
tan xn ∼ xn arctan xn ∼ xn ln(1 + xn) ∼ xn b
xn − 1 ∼ xn ln(b)(b > 0)
2 Series
2.1 Series t´ıpicas y suma
Tipo de serie Expresi´on Cond. convergencia Suma
Geom´etrica
n= ar n |r| < 1
a
1 − r
Telesc´opica
n= (an − an+1) ∃ lim n→∞
an = a < ∞ a 1 − a
Aritm´etico-
geom´etrica
n= (a + nb)r
n |r| < 1
a
1 − r
br
(1 − r) 2
Arm´onica
∞ n=
n a
a > 1
2.2 Series de t´erminos positivos
Proposici´on 3 (Primer criterio de comparaci´on).- Sean
n=
an y
n=
bn series de t´erminos positi-
vos tales que existe n 0 ∈ IN verificando an ≤ bn, para todo n ≥ n 0 , entonces:
- Si
n=
bn converge =⇒
n=
an converge.
- Si
n=
an diverge =⇒
n=
bn diverge.
Proposici´on 4 (Segundo criterio de comparaci´on).- Sean
n=
an y
n=
bn series de t´erminos posi-
tivos y lim n→∞
an
bn
= L, entonces:
- Si 0 < L < +∞ =⇒
n=
an ∼
n=
bn
- Si L = 0 y
n=
bn converge =⇒
n=
an converge
n=
an diverge =⇒
n=
bn diverge.
- Si L = +∞ y
n=
an converge =⇒
n=
bn converge
n=
bn diverge =⇒
n=
an diverge.
Nombre Criterio Converge Diverge No decide
Cociente lim n→∞
an+
an
= L L < 1 L > 1 L = 1
Ra´ız lim n→∞
n
an = L L < 1 L > 1 L = 1
Raabe lim n→∞
n
an+
an
= L L > 1 L < 1 L = 1
Prinsgheim lim n→∞
n α an = L α > 1 y 0 ≤ L < +∞ α ≤ 1 y L > 0 Resto Casos
2.3 Series Alternadas
Teorema 5 (Criterio de Leibniz).- Sea {an}
∞ n= una sucesi´on de t´erminos positivos, decreciente y de
l´ımite cero. Entonces la serie alternada
n=
n+ an converge.
Tema 2: Funciones reales de variable real. L´ımites y continuidad
1 Infinit´esimos equivalentes.
sen f (x) ∼ f (x) tan (f (x)) ∼ f (x) arcsen f (x) ∼ f (x)
arctan f (x) ∼ f (x) 1 − cos f (x) ∼ f (x)
2 / 2 ln(1 + f (x)) ∼ f (x)
(1 + f (x))
p − 1 ∼ pf (x) e
f (x) − 1 ∼ f (x) b
f (x) − 1 ∼ f (x) ln(b)(b > 0)
2 Infinitos equivalentes.
akx
k
k− 1
- · · · + a 1 x + a 0 ∼ akx
k (ak 6 = 0) si x → ±∞
ln(akx k
- ak− 1 x k− 1
- · · · + a 1 x + a 0 ) ∼ k ln x (ak > 0) si x → ±∞
Estudio de una funci´on
Paso Procedimiento
Dominio Hallar el dominio de la funci´on y = f (x)
Recorrido Hallar el recorrido de la funci´on y = f (x)
Cortes con los
ejes
Obtener los puntos de corte de y = f (x) con los ejes x = 0 e y = 0
Estudiar posibles as´ıntotas
verticales ( lim x→a±^
f (x) = ±∞ para a 6 ∈ dom(f ))
As´ıntotas horizontales ( lim x→±∞
f (x) = b)
oblicuas ( lim x→±∞
f (x)/x = m, lim x→±∞
(f (x) − mx) = n)
Derivabilidad Buscar posibles puntos donde f no es derivable
Puntos
estacionarios
Hallar f
′ y sus ceros
Intervalos de
crecimiento y
decrecimiento
Usar los valores cr´ıticos de f para separar intervalos: f ′ (x) > 0 indica crecimiento y
f
′ (x) < 0 indica decrecimiento
Test de la derivada segunda para los puntos estacionarios
f ′′ (c) > 0, m´ınimo relativo
f
′′ (c) < 0, m´aximo relativo
f
′′ (c) = 0, usar test de la derivada primera
Test de la derivada primera para los puntos cr´ıticos
M´aximos y
M´ınimos
si falla el de la derivada la derivada segunda, no se puede aplicar o es complicado.
(c, f (c)) es un m´ınimo relativo si
f
′ (x) < 0, x ∈ (a, c) y f
′ (x) > 0, x ∈ (c, a)
(c, f (c)) es un m´aximo relativo si
f
′ (x) > 0, x ∈ (a, c) y f
′ (x) < 0, x ∈ (c, a)
Intervalos de
concavidad y
convexidad
Hallar f
′′ y sus ceros.
Usar los ceros de f
′′ y los puntos de no derivabilidad para separar intervalos: f
′′ (x) >
0, indica convexidad y f
′′ (x) < 0, indica c´oncavidad
Puntos de
inflexi´on
f ′′ (x) = 0 y la curva cambia de convexidad
Tema 4: C´alculo de primitivas
Integrales inmediatas
x
a dx =
x
a+
a + 1
1 − x 2
dx = arccos x + C ∫ 1
x
dx = ln |x| + C
1 + x^2
dx = arctan x + C ∫
a
x dx =
a
x
ln a
+ C
ch x dx = sh x + C ∫
cos x dx = sen x + C
sh x dx = ch x + C ∫
sen x dx = − cos x + C
ch
2 x
dx = th x + C
cos 2 x
dx = tan x + C
x 2
dx = argsh x = ln (x +
x 2
sen 2 x
dx = − cotan x + C
x 2 − 1
dx = argch x = ln (x +
x 2 − 1) + C.
∫ 1 √ 1 − x 2
dx = arcsen x + C
1 − x 2
dx = argth x =
ln
1 + x
1 − x
+ C
Integraci´on de funciones trigonom´etricas
2 sen x cos y = sen(x + y) + sen(x − y) cos
2 x + sen
2 x = 1
2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x − y) cos (2 x) = cos
2 x − sen
2 x
−2 sen x sen y = cos(x + y) − cos(x − y) sen (2 x) = 2 sen x cos x
sen 2 x =
1 − cos(2x)
cos 2 x =
1 + cos(2x)
t = tan
x
, x = 2 arctan t −→ dx =
2 dt
1 + t 2
y cos x =
1 − t 2
1 + t 2
y sen x =
2 t
1 + t 2
t = tanx, cos 2 x =
1 + t 2
, sen 2 x =
t
2
1 + t 2
, dx =
dt
1 + t 2
ch
2 x − sh
2 x = 1
ch (2 x) = ch
2 x + sh
2 x
sh (2 x) = 2 sh x ch x
sh
2 x =
ch(2x) − 1
ch
2 x =
ch(2x) + 1
Tema 6: Integrales impropias
Unificaci´on de notaci´on
Segunda especie Cambio de variable Primera especie
∫ (^) b
a+
f (x)dx t =
x − a
1 b−a
f (
1 t
t^2
dt
b −
a
f (x)dx t =
b − x
+∞
1 b−a
f (b −
1 t
t^2
dt
Criterios de comparaci´on para funciones positivas. Funciones test. Convergencia absoluta.
Proposici´on 8 (Primer criterio de comparaci´on).- Sean f, g: [a, b) −→ IR localmente integrables
en [a, b) y supongamos que existe c ∈ [a, b) tal que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [c, b). Entonces:
b −
a
g(x)dx converge ⇒
b −
a
f (x)dx tambi´en converge.
b −
a
f (x)dx diverge ⇒
b −
a
g(x)dx tambi´en diverge.
Proposici´on 9 (Segundo criterio de comparaci´on).- Sean f, g: [a, b) −→ IR localmente integrables
en [a, b) y no negativas. Supongamos que existe lim x→b−
f (x)
g(x)
= L. Entonces:
b −
a
f (x)dx ∼
b −
a
g(x)dx.
∫ (^) b−
a
g(x)dx converge =⇒
∫ (^) b−
a
f (x)dx converge.
∫ (^) b−
a
f (x)dx diverge =⇒
∫ (^) b−
a
g(x)dx diverge.
∫ (^) b−
a
f (x)dx converge =⇒
∫ (^) b−
a
g(x)dx converge.
∫ (^) b−
a
g(x)dx diverge =⇒
∫ (^) b−
a
f (x)dx diverge.
Comparaci´on con funciones test
- Para a, b ∈ IR, a < b, las integrales
b
a+
dx
(x − a) α
b −
a
dx
(b − x) α
,convergen si y s´olo si α < 1.
- Para a ∈ IR, las integrales
+∞
a
dx
x α
a
−∞
dx
(−x) α
,convergen si y s´olo si α > 1.
- Para a ∈ IR, las integrales
+∞
a
e
−βx dx,convergen si y s´olo si β > 0.
- Para a > 0 las integrales
+∞
a
e −βx
x α
dx,convergen s´olo si β > 0 o si β = 0, α > 1.
Tema 7: Funciones de varias variables reales. L´ımites y continuidad.
C´alculo de l´ımites.
Proposici´on 10 (Criterio de polares).- Sea f : A −→ IR
m , con A ⊂ IR
2 , y (a 1 , a 2 ) punto de acumu-
laci´on de A. Sea
S = {(x, y) ∈ IR
2 : x = a 1 + ρ cos θ, y = a 2 + ρ sen θ; ρ > 0 , θ ∈ [0, 2 π]},
y F(ρ, θ) = f (a 1 + ρ cos (θ), a 2 + ρ sen (θ)).
Se dice que F (ρ, θ) converge a b de forma uniformemente independiente de θ si para cada ≤ > 0 existe
δ > 0 (que s´olo depende de ≤) tal que si 0 < ρ < δ, entonces
|F (ρ, θ) − b| < ≤,
cualquiera que sea θ ∈ [0, 2 π).
En estas condiciones, se tiene
- Si b = lim (x,y)→(a 1 ,a 2 )
f (x, y), entonces lim (x,y)→(a 1 ,a 2 ) (x,y)∈S
f (x, y) = lim ρ→ 0
F(ρ, θ) = b.
- Si existe C > 0 y una funci´on ϕ(ρ) verificando lim ρ→ 0
ϕ(ρ) = 0,tales que
‖F(ρ, θ) − b‖ ≤ C ϕ(ρ),
cualquiera que sea θ ∈ [0, 2 π), entonces lim (x,y)→(a 1 ,a 2 )
f (x, y) = b. Es decir, se acota uniformemente
independiente de θ.
Tema 8: Funciones de varias variables reales. C´alculo diferencial
Definici´on 11.- Sea f : U −→ IR
m , con U ⊂ IR
n un conjunto abierto, diferenciable en un punto a ∈ U.
Se denomina matriz jacobiana de f en a, a la matriz de m filas y n columnas
Jf (a) = f
′ (a) =
∂f 1 ∂x 1
(a)
∂f 1 ∂x 2
(a)...
∂f 1 ∂xn
(a)
∂f 2 ∂x 1 (a)
∂f 2 ∂x 2 (a)...
∂f 2 ∂xn (a)
. . .
∂fm ∂x 1
(a)
∂fm ∂x 2
(a)...
∂fm ∂xn
(a)
Teorema 12 (Teorema de la funci´on impl´ıcita).- Sea f : W −→ IR
m , con W ⊂ IR
n × IR
m abierto,
una funci´on de clase C k en el punto (a, b) ∈ W tal que f (a, b) = 0.
Sea f
′ (a, b) = [M 1 M 2 ], donde M 2 es la matriz cuadrada de orden m formada por las m ´ultimas
columnas de f
′ (a, b), es decir
M 2 =
∂f 1 ∂y 1 (a, b)
∂f 1 ∂y 2 (a, b)...
∂f 1 ∂ym (a, b) ∂f 2 ∂y 1 (a, b)
∂f 2 ∂y 2 (a, b)...
∂f 2 ∂ym (a, b)
. . .
∂fm ∂y 1 (a, b)
∂fm ∂y 2 (a, b)...
∂fm ∂ym (a, b)
Supongamos que det(M 2 ) 6 = 0. Entonces, existen un abierto A ⊆ IR
n y un abierto B ⊆ IR
m , con
(a, b) ∈ A × B, y una ´unica funci´on g: A −→ B de clase C
k en a, tal que:
- g(a) = b.
- f (x, g(x)) = 0 para todo x ∈ A.
- Para cada x ∈ A, g
′ (x) = −[f
′ y (x,^ g(x))]
− 1 · f
′ x(x,^ g(x)), donde^ f^
′ x(x, g(x)) es la submatriz de f ′ (x, g(x)) formada por las n primeras columnas y f ′ y (x, g(x)) la formada por las m ´ultimas.
- Si HL(x 0 ) es definida positiva para todo h 6 = 0 en el espacio tangente {h : g ′ (x 0 )h = 0 }, entonces
f| S presenta un m´ınimo local en x 0.
- Si HL(x 0 ) es definida negativa para todo h 6 = 0 en el espacio tangente {h : g ′ (x 0 )h = 0 }, entonces
f| S presenta un m´aximo local en x 0.
- Si HL(x 0 ) es indefinida para todo h 6 = 0 en el espacio tangente {h : g
′ (x 0 )h = 0 }, entonces f| S no
alcanza extremo local en x 0.
Tema 9:Integraci´on m´ultiple de Riemann.
Cambios de variable
Transformaciones lineales Sea la funci´on g: IR
2 −→ IR
2 definida por
g(u, v) = (a u + b v, c u + d v),
con a d 6 = b c.
- La funci´on g es de clase 1 en IR
2 :
2 ) = IR
2 .
2 :
- det(g ′ (u, v)) = a d − b c 6 = 0 para todo (u, v) ∈ IR
2 .
Coordenadas polares La funci´on g: IR
2 −→ IR
2 definida por g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ) y
A = {(r, θ) ∈ IR
2 : r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π}.
- La funci´on g es de clase 1 en IR
2 :
2 .
- g es inyectiva en int(A) = {(r, θ) ∈ IR
2 : r > 0 , 0 < θ < 2 π}:
′ (r, θ)) = r 6 = 0 para todo (r, θ) ∈ int(A).
Proposici´on 20 (cambio a polares).- Sean S ⊂ IR
2 medible, f : S −→ IR admisible en S y B ⊂ A
medible tal que g(B) = S, entonces
S
f (x, y) dx dy =
B
r f (r cos θ, r sen θ)dr dθ.
Coordenadas cil´ındricas Sea la funci´on g: IR
3 −→ IR
3 definida por
g(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z)
y
A = {(r, θ, z) ∈ IR
3 : r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π, −∞ < z < ∞}.
- La funci´on g es de clase 1 en IR
3 .
3 .
3 .
- g es inyectiva en int(A) = {(r, θ, z) ∈ IR
3 : r > 0 , 0 < θ < 2 π, −∞ < z < ∞}:
′ (r, θ, z)) = r 6 = 0.
Proposici´on 21 (cambio a cil´ındricas).- Sean S ⊂ IR
3 medible, f : S −→ IR admisible en S y B ⊂ A
medible tal que g(B) = S, entonces
S
f (x, y, z) dx dy dz =
B
r f (r cos θ, r sen θ, z)dr dθ dz.
