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Tema 9
Integraci´on m´ultiple de Riemann
Una de las justificaciones de la integraci´on en varias variables se encuentra, como en el caso de una variable, en los sistemas de trasnformaci´on de se˜nales, algunos de los cuales quedan caracterizados por una integral. Por ejemplo, transformaciones integrales, como la transformada de Fourier bidimensional, que proporciona la informaci´on en frecuencia relativa a la imagen, requieren, sin embargo, ciertas condiciones sobre la se˜nal para su existencia. La construcci´on de la integral de Riemann para funciones de varias variables es una simple generalizaci´on del caso unidimensional. Como en los dos temas anteriores, se realizar´a una descripci´on general, particularizando, en los ejemplos, a dimensiones dos y tres, que son las m´as relevantes en la pr´actica. primero, analizaremos la integraci´on y sus reglas en intervalos multidimensionales, para extender luego la construcci´on a regiones m´as generales. Finalmente, el cambio de variable se muestra, como en el caso unidimensional, una herramienta fundamental para el c´alculo de integrales.
9.1 Integraci´on m´ultiple en intervalos. Definici´on y
propiedades.
Comenzamos generalizando la construcci´on de la integral de Riemann a varias variables.
9.1.1 Intervalos en IRn
Definici´on 530.- Llamaremos intervalo acotado en IRn^ a todo producto I = I 1 × I 2 × · · · × In de intervalos acotados I 1 ,... , In de IR.
- Si cada Ij es de la forma Ij = [aj , bj ], aj < bj , se dice que el intervalo es cerrado.
- Si cada Ij es de la forma Ij = (aj , bj ), aj < bj , se dice que el intervalo es abierto.
Ejemplo 531.-
- Todo intervalo cerrado es compacto.
- En los casos n = 2 y n = 3, los intervalos acotados corresponden respectivamente a rect´angulos y prismas rectos.
9.1 Integraci´on m´ultiple en intervalos. Definici´on y propiedades. ma t
Fig. 9.1: Intervalos en IR^2.
Definici´on 532.- Se define la medida del intervalo I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an.bn] como M(I) = (b 1 − a 1 ) · · · (bn − an).
- La medida no cambia si alguno de los intervalos es abierto o semiabierto.
- En los casos n = 1, 2 , 3, la medida suele llamarse tambi´en longitud, ´area y volumen, respectivamente.
Definici´on 533.- Llamaremos partici´on del intervalo I = [a 1 , b 1 ]×[a 2 , b 2 ]×· · ·×[an, bn] al producto cartesiano P = P 1 × P 2 × · · · × Pn, Pi ∈ P([ai, bi]), i = 1,... n, Denotaremos por P(I) el conjunto de todas las particiones del intervalo I.
Ejemplo 534.- En el caso n = 2, una partici´on consta de (n + 1) × (m + 1) puntos y descompone el rect´angulo I en m × n subrect´angulos
Aij = [xi− 1 , xi] × [yj−i, yj ]; con 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Ejemplo 535.- Sea Pi, i = 1, 2 , 3, una partici´on del intervalo [ai, bi], i = 1, 2 , 3, respec- tivamente. En el caso n = 3, una partici´on del intervalo I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × [a 3 , b 3 ] es de la forma P = P 1 × P 2 × P 3.
Si Pi divide a [ai, bi] en mi subintervalos, entonces P divide a I en m 1 × m 2 × m 3 su- brect´angulos Ii 1 i 2 i 3 = [xi 1 − 1 , xi 1 ] × [xi 2 − 1 , xi 2 ] × [xi 3 − 1 , xi 3 ].
Podemos definir una relaci´on entre particiones, an´aloga a la dada en el caso unidimen- sional.
9.1 Integraci´on m´ultiple en intervalos. Definici´on y propiedades. ma t
Definici´on 538.- Un conjunto B tiene medida nula en IRn^ si para cada ε > 0, existe una familia de intervalos {In}∞ n=1 tales que
B ⊂
∪^ ∞
n=
In y
∑^ ∞
n=
M(In) < ε.
Proposici´on 539 (Propiedades).-
- Un subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula.
- La uni´on numerable de conjuntos de medida nula tiene medida nula.
- Todo conjunto numerable tiene medida nula.
- Sea A ⊂ IRn^ abierto, f : A → IRn^ de clase C^1. Si B ⊂ A es de medida nula en IRn, entonces f (B) es de medida nula en IRn.
- Sea A ⊂ IRn^ abierto, f : A → IRm^ de clase C^1 , con n < m. Entonces f (A) es de medida nula en IRm.
Desde el punto de vista de la integral, el ´ultimo resultado es especialmente interesante, pues afirma, por ejemplo, que si g: A −→ IRm, con A ⊂ IRn, abierto, es de clase C^1 (A), entonces para todo B ⊂ A, la gr´afica de g en B
graf g = {(x, g(x) ∈ IRn+m^ : x ∈ B}
es un conjunto de medida nula en IRm+n. En particular, una curva de clase 1 en IR^2 tiene medida nula en IR^2 y una superficie de clase 1 en IR^3 tiene medida nula en IR^3.
Fig. 9.3: Conjunto de medida nula (gr´afica de una funci´on)
9.1.2 Integraci´on en intervalos
Definici´on 540.- Sea f : I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] −→ IR una funci´on acotada y P = {Ik, k = 1,... , m} ∈ P(I). Entonces, para cada intervalo Ik de la partici´on, sean
mk = inf{f (x, y) : (x, y) ∈ Ik} Mk = sup{f (x, y) : (x, y) ∈ Ik}
y sea M(Ik) la medida de Ik. Se define la suma inferior y la suma superior de la funci´on f respecto de la partici´on P como
L(f, P ) =
∑^ m
k=
mkM(Ik) y U(f, P ) =
∑^ m
k=
MkM(Ik)
respectivamente.
9.1 Integraci´on m´ultiple en intervalos. Definici´on y propiedades. ma t
Fig. 9.4: Sumas superiores y sumas inferiores.
Proposici´on 541 (Propiedades).- Sea f : I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] −→ IR una funci´on acotada en el intervalo I. Entonces
- L(f, P ) ≤ U(f, P ), para toda P ∈ P(I).
- Si P y Q son dos particiones de I tales que P ⊆ Q, (es decir, Q es m´as fina que P ), entonces: L(f, P ) ≤ L(f, Q) y U(f, P ) ≥ U(f, Q).
- L(f, P ) ≤ U(f, Q) para todos P, Q ∈ P(I).
La ´ultima propiedad permite definir los siguientes conceptos.
Definici´on 542.- Se denomina integral superior a I = inf{U(f, P ) : P ∈ P(I)}. Se denomina integral inferior a I = sup{L(P, f ) : P ∈ P(I)}.
Proposici´on 543.- En las condiciones anteriores,
I ≤ I.
Definici´on 544.- Sea f : I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] −→ IR una funci´on acotada. Se dice que f es integrable Riemann en A si
I = I.
A este valor com´un se le llama integral de f en I y se denota como ∫
I
f,
∫
I
f (x 1 ,... , xn) dx 1 · · · dxn,
∫
I
f (x)dx.
En los casos n = 2, 3 tambi´en se suele denotar
∫∫
I
f,
∫∫
I
f (x, y) dx dy y
∫∫∫
I
f,
∫∫∫
I
f (x, y, z) dx dy dz,
respectivamente.
La existencia de la integral tiene un significado geom´etrico an´alogo al de una variable.
9.2 Integraci´on iterada. Teorema de Fubini. ma t
- Sea f : I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] −→ IR, f (x) = c, funci´on constante en I. Entonces, f es integrable en I con ∫
I
f = cM(I).
- Si f : I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] −→ IR es continua en I, entonces f es integrable en I.
- Una funci´on f : I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] −→ IR es escalonada si existe P = {Ik, k = 1,... , m} ∈ P(I) partici´on del intervalo I tal que f es constante, f = ck, en cada subintervalo abierto int(Ik). Si f es escalonada en I, entonces f es integrable en I con ∫
I
f = ck
∑m
k=
M(Ik).
- Sea f : I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] −→ IR acotada. Entonces, f es integrable en I si y s´olo si el conjunto de puntos de discontinuidad de f tiene medida nula.
- Si f y g son integrables en I, entonces f g es integrable en I.
Ejemplo 549.- La funci´on f : I = [0, 1] × [0, 1] → IR
f (x, y) =
{ 1 , x < y 0 , x ≥ y
es continua en todos los puntos de I excepto en los de la diagonal {(x, y) : x ∈ [0, 1], y = x}, que es un conjunto de medida nula, luego f es integrable en I.
En el caso unidimensional, la integral de una funci´on en un intervalo cerrado y en su abierto asociado coinciden. Esta propiedad se generaliza aqu´ı con los conjuntos de medida nula.
Proposici´on 550.- Sean I = [a 1 , b 1 ] × [a 2 , b 2 ] × · · · × [an, bn] y f : I −→ IR una funci´on
acotada y nula salvo en un conjunto de medida nula. Entonces, f es integrable y
∫
I
f = 0.
Proposici´on 551.- Si f es integrable en I y g = f , salvo en un conjunto de medida
nula, siendo g acotada, entonces g es integrable y
∫
I
f =
∫
I
g.
9.2 Integraci´on iterada. Teorema de Fubini.
La integraci´on en la pr´actica de funciones de varias variables no suele realizarse utilizando la definici´on. El c´alculo puede reducirse al de integrales en IR mediante la t´ecnica de integraci´on iterada.
Definici´on 552.- Sea I un intervalo de IRn^ con n = m + p. Se llama proyecci´on de I en IRm^ al intervalo de IRm^ dado por
Jm = {x ∈ IRm^ : ∃y ∈ IRp^ : (x, y) ∈ I}.
An´alogamente, se define la proyecci´on de I en IRp^ al intervalo de IRp^ dado por
Jp = {y ∈ IRp^ : ∃x ∈ IRm^ : (x, y) ∈ I}.
Si I es un intervalo de IRn^ y f : I → IR, se definen:
9.2 Integraci´on iterada. Teorema de Fubini. ma t
- La secci´on de f por x ∈ Jm como la funci´on fx : Jp → IR, fx(y) = f (x, y).
- La secci´on de f por y ∈ Jp como la funci´on fy : Jm → IR, fy(x) = f (x, y).
Teorema 553 (de Fubini).- Sean I ⊂ IRn^ un intervalo compacto, n = m+p y f : I −→ IR una funci´on acotada e integrable en I. Supongamos que para cada x ∈ Jm, la funci´on fx es integrable en Jp y para cada y ∈ Jp, la funci´on fy es integrable en Jm. Entonces
∫
Jp
fx(y)dy, φp(y) =
∫
Jm
fy(x)dx,
son integrables en Jm y Jp respectivamente.
I
f (x, y)dxdy =
∫
Jm
φm(x)dx =
∫
Jm
(∫
Jp
f (x, y)dy
) dx
∫
Jp
φp(y)dy =
∫
Jp
(∫
Jm
f (x, y)dx
) dy
Corolario 554.- Si f : I = [a 1 , b 1 ]×[a 2 , b 2 ]×· · ·×[an, bn] −→ IR es una funci´on integrable y continua en I, entonces
∫
I
f (x) dx =
∫ (^) bn
an
( · · ·
(∫ b 2 a 2
(∫ b 1 a 1
f (x 1 , x 2 ,... xn)dx 1
) dx 2
) · · ·
) dxn
y para cualquier permutaci´on del orden de las variables.
Ejemplo 555.-
∫∫
I
sen^2 x sen^2 y dx dy, con I = [0, π] × [0, π] La funci´on es continua en I, luego es integrable en I y ∫∫
I
(sen^2 x sen^2 y) dx dy =
∫ (^) π
0
(∫ (^) π
0
sen^2 x sen^2 y dy
) dx
=
∫ (^) π
0
sen^2 x
(∫ (^) π
0
sen^2 y dy
) dx
=
(∫ (^) π
0
sen^2 y dy
) (∫ (^) π
0
sen^2 x dx
)
(∫ (^) π
0
1 − cos 2x 2
dx
) 2
( π 2
) 2 .
Ejemplo 556.-
∫∫
I
f (x, y) dx dy, f (x, y) = x + y y I = [0, 1] × [− 1 , 1]
- f es integrable en I, y gx(y) = f (x, y) = x + y en [− 1 , 1] ∫∫
I
f (x, y) dx dy =
∫ (^1)
0
(∫ (^1)
− 1
gx(y) dy
) dx =
∫ (^1)
0
(∫ (^1)
− 1
(x + y) dy
) dx
∫ (^1)
0
( xy +
y^2 2
)] 1
− 1
dx =
∫ (^1)
0
2 x dx = x^2
] 1 0 = 1
9.3 Integraci´on en conjuntos medibles ma t
9.3.2 Integraci´on en conjuntos medibles
Pasamos ahora a construir la integral sobre conjuntos medibles. Sea S ⊆ IRn. Para cada funci´on f : S −→ IR, llamaremos funci´on caracter´ıstica de f a la funci´on f˜ : IRn^ −→ IR definida por
f^ ˜ (x) =
{ f (x), si x ∈ S 0 , si x ∈/ S La definici´on de la integral en conjuntos medibles descansa de nuevo en la independencia
Fig. 9.5: Ampliaci´on del intervalo de integraci´on de una funci´on
del intervalo elegido.
Proposici´on 563.- Sea S ⊂ IRn^ compacto y medible, f : S → IR acotada, I, J intervalos compactos de IRn^ con S ⊂ I, S ⊂ J. Entonces f˜ es integrable en I si y s´olo si es integrable en J , en cuyo caso (^) ∫
I
f^ ˜ =
∫
J
f.^ ˜
As´ı tiene sentido la siguiente definici´on.
Definici´on 564.- Una funci´on f : S −→ IR definida y acotada sobre un conjunto com- pacto y medible S ⊂ IRn^ es integrable en S si f˜ es integrable en alg´un intervalo compacto I que contenga a S y, escribiremos, ∫
S
f =
∫
I
f.^ ˜
Con esta definici´on, las propiedades de la integral sobre intervalos se trasladan a la integraci´on de conjuntos compactos medibles. Algunas se generalizan en los siguientes sentidos.
Proposici´on 565.- Sea S compacto y medible y f integrable en S y g = f , salvo en un
conjunto de medida nula, siendo g acotada, entonces g es integrable en S y
∫
S
f =
∫
S
g.
9.3 Integraci´on en conjuntos medibles ma t
Fig. 9.6: Independencia del intervalo de integraci´on.
Proposici´on 566 (Aditividad respecto del intervalo).-. Sea f acotada en un sub- conjunto S ⊂ IRn^ compacto y medible. Sea P = {Sk, k = 1,... , m} una familia de compactos medibles verificando
- S = ∪mk=1Sk.
- Para i ̸= j, Si ∩ Sj tiene medida nula.
Entonces f es integrable en S si y s´olo si f es integrable en cada Sk y
∫
S
f =
∑^ n
k=
∫
Sk
f.
As´ımismo, el teorema de Fubini tiene su correspondiente versi´on para conjuntos com- pactos medibles, utilizando la funci´on f˜. Algunas situaciones particulares que aparecen en la pr´actica merecen destacarse.
Proposici´on 567.- Sean g 1 , g 2 : [a, b] −→ IR continuas y tales que g 1 ≤ g 2 en [a, b]. En- tonces:
{ (x, y) ∈ IR^2 : a ≤ x ≤ b, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)
} es medible.
- Si f : S −→ IR es una funci´on acotada en S y continua en int(S), entonces f es integrable en S y ∫∫
S
f (x, y) dx dy =
∫ (^) b
a
[∫ g 2 (x) g 1 (x)
f (x, y)dy
] dx.
En particular, el ´area de S viene dada por la f´ormula:
A(S) =
∫∫
S
XS (x, y) dx dy =
∫ (^) b
a
[g 2 (x) − g 1 (x)]dx.
Proposici´on 568.- Sean h 1 , h 2 : [c, d] −→ IR continuas y tales que h 1 ≤ h 2 en [c, d]. Entonces
9.4 Teorema del cambio de variable ma t
Ejemplo 571.-
∫
S
z dx dy dz, siendo S el primer octante de la esfera: x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1.
S =
{ (x, y, z) ∈ IR^3 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤
1 − x^2 , 0 ≤ z ≤
√ 1 − x^2 − y^2
}
es medible y f (x, y, z) = z es integrable (admisible) en S.
∫
S
zdxdydz =
∫ (^1)
0
∫ √ 1 −x 2
0
∫ √ 1 −x (^2) −y 2
0
zdz
(^) dy
(^) dx
9.4 Teorema del cambio de variable
Muchos de los aspectos explicados en secciones previas son ´utiles para el c´alculo pr´actico de una integral si ´esta puede previamente transformarse a trav´es de un cambio de variables. Pasamos ahora a analizar la extensi´on de este teorema a varias dimensiones.
Definici´on 572.- Sea A ⊆ IRn^ un conjunto abierto. Una funci´on g: A −→ IRn^ de clase k, k ≥ 1 se dice que es un difeomorfismo de clase Ck^ en A cuando es inyectiva y su determinante jacobiano, det(g′(x)), es distinto de cero en todo punto x ∈ A.
Definici´on 573.- Sea S ⊂ IRn^ un conjunto medible. Una funci´on f : S −→ IR se dice admisible cuando es acotada y el conjunto de puntos de discontinuidad de la funci´on
f^ ˜ : IRn^ −→ IR dada por f˜ (x) =
{ f (x), si x ∈ S 0 , si x ∈/ S , tiene medida nula.
Teorema 574 (Teorema del cambio de variable).- Sean U un conjunto abierto de IR^2 , g: U −→ IRn, difeomorfismo de clase C^1 (U ) y A ⊂ IRn^ un conjunto medible tal que A ∪ fr(A) ⊆ U. Si f : g(A) −→ IR es una funci´on admisible en S = g(A), entonces la funci´on compuesta f ◦ g es admisible en A y ∫
g(A)
f (x)dx =
∫
A
(f ◦ g)(u)
∣∣ ∣ det(g′(u))
∣∣ ∣ du.
9.4 Teorema del cambio de variable ma t
Fig. 9.7: Cambio de Variable.
9.4.1 Ejemplos de cambios de variables
Transformaciones lineales
Sea la funci´on g: IR^2 −→ IR^2 definida por
g(u, v) = (a u + b v, c u + d v),
con a d ̸= b c.
- La funci´on g es de clase 1 en IR^2 :
- g(IR^2 ) = IR^2.
- g es inyectiva en IR^2 :
- det(g′(u, v)) = a d − b c ̸= 0 para todo (u, v) ∈ IR^2.
Ejemplo 575.-
∫∫
S
x y dx dy, donde S es el paralelogramo limitado por y = 2 x, y =
2 x − 2, y = x e y = x + 1. Se tiene que
- S es medible.
- f es admisible.
- Cambio de variable g(u, v) = (u − v, 2 u − v).
9.4 Teorema del cambio de variable ma t
x^2 + y^2 es admisible en S. Las discontinuidades de la funci´on
f^ ˜ (x, y) =
x^2 + y^2 , si (x, y) ∈ S 0 , si (x, y) ∈/ S
est´an en la frontera de S, que tiene medida nula. Utilizamos el cambio a polares.
- x = r cos θ, y = r sen θ
- x^2 + y^2 = 2 a x ⇒ r^2 = 2 a r cos θ.
- S = g(B) ⇒ B =
{ (r, θ) : 0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 2 a cos θ
}
. Entonces
∫∫
S
√ x^2 + y^2 dx dy =
∫∫
B
r r dr dθ =
∫ π 2
0
(∫ 2 a cos θ 0
r^2 dr
) dθ
∫ π 2
0
[ r^3 3
] 2 a cos θ
0
dθ =
8 a^3 3
∫ π 2
0
cos^3 θ dθ =
8 a^3 3
∫ (^1)
0
(1 − t^2 ) dt
8 a^3 3
[ t −
t^3 3
] 1
0
16 a^3 9
Utilizando sen θ = t, cos θdθ = dt y cos^2 θ = 1 − t^2.
Otros cambios de variables en dos dimensiones
Ejemplo 578.-
∫∫
S
dx dy √ x^2 + y^2
, donde S = g(A), A = {(u, v) : 1 ≤ u ≤ 2 , 1 ≤ v ≤ 2 } y
g(u, v) = (u^2 − v^2 , 2 uv). Para el c´alculo de S se cambia la frontera del conjunto A.
- u = 1 y 1 ≤ v ≤ 2 ⇒ x = 1 −
y^2 4
, 2 ≤ y ≤ 4.
- u = 2 y 1 ≤ v ≤ 2 ⇒ x = 4 −
y^2 16
, 4 ≤ y ≤ 8.
y^2 4
− 1, 2 ≤ y ≤ 4.
9.4 Teorema del cambio de variable ma t
y^2 16
− 4, 4 ≤ y ≤ 8.
S = g(A) = {(x, y) : x = 1 −
y^2 4
, 2 ≤ y ≤ 4 }.
- La funci´on g es de clase 1 en IR^2 :
- A es medible, fr(A) tiene medida cero y A ∪ fr(A) ⊆ IR^2 :
- g es un difeomorfismo en int(A).
- g es inyectiva en int(A):
g(u 1 , v 1 ) = g(u 2 , v 2 ) =⇒
{ u^21 − v 12 = u^22 − v 22 2 u 1 v 1 = 2u 2 v 2 elevando al cuadrado ambas ecua- ciones y sumando la primera a la segunda ⇒ u 1 = u 2 y v 1 = v 2
∣∣ ∣∣ ∣
2 u − 2 v 2 v 2 u
∣∣ ∣∣ ∣ = 4(u
(^2) + v (^2) ) > 0, (u, v) ∈ int(A).
x^2 + y^2
es admisible en S.
Las discontinuidades de la funci´on
f^ ˜ (x, y) =
x^2 + y^2
, si (x, y) ∈ S 0 , si (x, y) ∈/ S
est´an en la frontera de S, que tiene medida cero por ser S medible.
I =
∫∫
S
dx dy √ x^2 + y^2
∫∫
A
4 (u^2 + v^2 )dudv √ (u^2 − v^2 )^2 + (2 u v)^2
=
∫ (^2)
1
∫ (^2)
1
4 dudv = 4.
9.4 Teorema del cambio de variable ma t
Fig. 9.9: Representaci´on de coordenadas esf´ericas
Coordenadas esf´ericas
Sea la funci´on g: IR^3 −→ IR^3 definida por
g(r, θ, ϕ) = (r cos θ sen ϕ, r sen θ sen ϕ, r cos ϕ)
y A = {(r, θ, ϕ) ∈ IR^3 : r ≥ 0 , 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ ϕ ≤ π}.
- La funci´on g es de clase 1 en IR^3.
- A ∪ fr(A) ⊆ IR^3.
- g(A) = IR^3.
- g es inyectiva en int(A) = {(r, θ, ϕ) ∈ IR^3 : r > 0 , 0 < θ < 2 π, 0 < ϕ < π}.
- det(g′(r, θ, z)) = −r^2 sen (ϕ) ̸= 0
Proposici´on 581 (cambio a esf´ericas).- Sean S ⊆ IR^3 medible, f : S −→ IR admisible en S y B ⊆ A medible tal que g(B) = S, donde g es la funci´on del cambio a coordenadas esf´ericas. Entonces: ∫∫∫
S
f (x, y, z) dx dy dz =
∫∫∫
B
f (r cos θ sen ϕ, r sen θ sen ϕ, r cos ϕ)r^2 sen ϕ dr dθ dϕ.
Ejemplo 582.- Calculamos el volumen de una esfera de radio R.
- S = {(x, y, z) : x^2 + y^2 + z^2 ≤ R^2 } es medible, luego
V(S) =
∫
S
XS (x, y, z) dx dy dz.
x = r cos θ sen ϕ y = r sen θ sen ϕ z = r cos ϕ
9.4 Teorema del cambio de variable ma t
- A = {(r, θ, ϕ) : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ ϕ ≤ π}.
V(S) =
∫
S
dxdydz =
∫
A
| − r^2 sen ϕ|drdθdϕ
∫ (^) R
0
[∫ (^2) π
0
(∫ (^) π
0
r^2 sen ϕdϕ
) dθ
] dr
πR^3.
