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Facultad de Ingeniería Curso Básico - 2023
Formulario de Derivadas
Definición
B∂∇
x ∼
f (x)
O
Ltg Lsec
f (x)
x
f (x + h)
x + h
h
f (x + h) − f (x) θ
tg θ = f^ (x^ +^ h)^ −^ f^ (x) h f ′(x) = df^ (x) dx = lim h→ 0
f (x + h) − f (x) h
Reglas de Derivación
B∂∇
- Suma: (u + v)′^ = u′^ + v′^ • Producto: u′^ · v − u · v′
- Cociente:
u v
′ = u
′ (^) · v − u · v′ v^2
- Func. a la func.: (uv^ )′^ = uv^ ln(u) · v′^ + vuv−^1 · u′
- Cadena:
h (u v)(x)
i′
u
v(x)
′ = u′
v(x)
· v′ (x)
Tabla de derivadas
B∂∇
Func. Elementales f (x) f ′(x) k 0 au au′ un^ nun−^1 u′ 1 u − 1 u^2
u′ √ u 1 2 √ u u′
eu^ eu^ u′ au^ au^ ln(a) u′
ln(u) 1 u u′
loga(u) 1 u ln a u′
|u| |u| u u′
sgn(u) 0 JuK 0
Funciones Trigonométricas f (x) f ′(x) sin(u) cos(u) u′ cos(u) − sin(u) u′ tg(u) sec^2 (u) u′ ctg(u) − csc^2 (u) u′ sec(u) sec(u) tg(u) u′ csc(u) − csc(u) ctg(u) u′
arcsin(u) p^1 1 − u^2
u′
arccos(u) − 1 p 1 − u^2
u′
arctg(u) 1 1 + u^2 u′
arcctg(u) − 1 1 + u^2
u′
arcsec(u) 1 u
p u^2 − 1
u′
arccsc(u) − 1 u
p u^2 − 1
u′
Funciones Hiperbólicas f (x) f ′(x) sinh(u) cosh(u) u′ cosh(u) sinh(u) u′ tgh(u) sech^2 (u) u′ ctgh(u) − csch^2 (u) u′ sech(u) − sech(u) tgh(u) u′ csch(u) − csch(u) ctgh(u) u′
arcsinh(u) p^1 u^2 + 1
u′
arccosh(u) 1 p u^2 − 1
u′
arctgh(u) 1 1 − u^2 u′
arcctgh(u) 1 1 − u^2
u′
arcsech(u) − 1 u
p 1 − u^2
u′
arccsch(u) − 1 u
p 1 + u^2
u′
Derivadas de Orden Superior
B∂∇
∼
f ′′(x) = lim h→ 0
f (x + 2h) − 2 f (x + h) + f (x) h^2 = lim h→ 0
f (x + h) − 2 f (x) + f (x − h) h^2 f ′′′(x) = lim h→ 0
f (x + 3h) − 3 f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x) h^3
Derivadas enésimas:
B∂∇
y = eax^ ⇒ y(n)^ = eax y = sin(ax) ⇒ y(n)^ = an^ sin
ax + nπ 2
y = cos(ax) ⇒ y(n)^ = an^ cos
ax + nπ 2
y = eax^ sin(bx) ⇒ y(n)^ =
a^2 + b^2
n 2 eax^ sin ax + n arctg
(^) b a
!
Fórmula de Leibniz: (u · v)(n)^ =
X^ n k=
n k
u(n−k)^ v(k)
Donde se escoge: v(x) al polinomio v = anxn^ + an− 1 xn−^1 +... + a 0
Derivación implícita
B∂∇
Una función es implícita cuando no está en su forma explícita: y = f (x) Para calcular la derivada: Se deriva miembro a miembro la ecuación F (x, y) = 0 con respecto de “x” y luego se despeja dy dx de la ecuación diferencial ▶ NOTA: Después de derivar una función g(y) se multiplica por y′^ ⇒ g(y) ′ = g′(y) · y′ ▶ Primera Forma: 2 y − xy^2 + x^2 y = x^2023 + y^2023 ▶ Segunda Forma: ln
x y
y x
= 2023 ; hacer el CV. u = y x ln
1 u
- arctg(u) = 2023 ( )′^ ⇒ − 1 u u′^ + 1 1 + u^2
u′^ = 0 − 1 u
u′^ = 0 ⇒ u′^ = 0 − 1 u
0 ⇒ u′^ = 0
▶ Segundo Método por Derivadas Parciales:
Si: F (x, y) = 0 ⇒ dy dx = −
∂F ∂x ∂F ∂y
⇒
∂F ∂x es la derivada de F (x, y) con respecto de “x” ∂F ∂y es la derivada de F (x, y) con respecto de “y”
Derivación paramétrica ‹
∞!
B∂∇ 2
Sea la función:
( x = x(t) y = y(t) ⇒ y′^ = dy dx =
dy dt dx dt
= y^. x^. ;^ y′′^ =
dy′ dx =
dy′ dt dx dt
=
.. y x. − y ... x . x
3
Cálculo I - MAT 101 Ing. Electrónica Aux. Univ. Boris Vargas Villarreal
Facultad de Ingeniería Curso Básico - 2023
Recta Tangente y Normal
B∂∇
Sea y′ 0 la derivada en P 0 (x 0 , y 0 )
x
y
O
y 0 P 0 (x 0 , y 0 )
x 0
θ
θ
LTg
T
LN
N
C
ST SN
- Recta tangente LTg : y − y 0 = y′ 0 x − x 0
- Recta normal LN : y − y 0 = − 1 y′ 0
x − x 0
- Segmento tangente: T = y 0 y 0 ′
q 1 + y′ 0 2
q 1 + y′ 0 2
- Subtangente: ST = y 0 y′ 0
- Subnormal: SN = y 0 y′ 0
Aplicación de Máximos y Mínimos ‹
∞!
B∂∇
2
Seguir los siguientes pasos:
- Plantear el gráfico del problema
- Identificar la función a maximizar o minimizar f (x, y)
- Utilizando propiedades geométricas, trigonométricas o relaciones métricas, colocar la función en una sola variable.
- Derivar la función en una sola variable e igualar a cero f ′(x) = 0
- Resolver la ecuación obtenida del paso (4)
Gráfica de Funciones
B∂∇
- Puntos Críticos: Son aquellos que anulan el numerador y denominador de y′
- Monotonía: • Es creciente cuando y′^ > 0
- Es decreciente cuando y′^ > 0
- Puntos de Inflexión: Es el punto en el cual la curva pasa de ser cóncava a convexa o viceversa Posibles puntos de inflexión son los que anulan el numerador o denominador de y′′
- Concavidad: • Es cóncavo cuando y′′^ > 0
- Es convexo cuando y′′^ < 0
- Asíntotas: una curva y = f (x) = P (x) Q(x)
- Asíntota Vertical: x = x 0 ⇔ ∃ Q(x 0 ) = 0
- Asíntota Horizontal: y = y 0 ⇔ ∃ y 0 = (^) xlim→∞ f (x)
- Asíntota Oblicua: Existe si f (x) es de 1er grado, de la forma: y = mx + b Donde: m = (^) x→±∞lim^ f^ (x) x ∧ b = (^) x→±∞lim f (x) − mx
- Puntos Clave: Para los valores de y reemplazar los valores correspondientes a puntos críticos y puntos de inflexión x en la curva original
- Graficar pues. (inútil)
Recordar
∞!
B∂∇
2
▶ (^) Máximo local: es el punto en el cual, al crecer x , la curva pasa de ser creciente a decreciente ▶ (^) Mínimo local: es el punto en el cual, al crecer x , la curva pasa de ser decreciente a creciente ▶ (^) Criterio de la segunda derivada: si f ′(a) = 0
- Si f ′′(a) > 0 en x = a se tiene un mínimo local
- Si f ′′(a) < 0 en x = a se tiene un máximo local ▶ (^) Casos especiales Si f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0, f ′′′(a) = 0,... , f (n)(a) ̸= 0 en x = a existe un punto de inflexión si n es impar y se tiene un máximo o minino cuando n es par, máximo f (n)(a) < 0 y mínimo f (n)(a) > 0
Derivabilidad ‹
∞!
B∂∇
2
∼
Sea la función f (x) derivable en x = x 0 se cumple: f (x) =
( g(x) , x < x 0 h(x) , x ⩾ x 0
lim x→x− 0
g(x) = lim x→x+ 0
h(x) ; lim x→x− 0
d dx
g(x) = lim x→x+ 0
d dx
h(x)
Teorema de Rolle
∞!
B∂∇
2
∼
- Si y = f (x) es continua en [a, b]
- y = f (x) es derivable en ]a, b[
- f (a) = f (b) x 0 ∈ ]a, b[ ⇒ f ′
x 0
= 0
Teorema del Valor Medio
B∂∇
∼
- Si y = f (x) es continua en [a, b]
- y = f (x) es derivable en ]a, b[ x 0 ∈ ]a, b[ ⇒ f ′(x 0 ) = f (b) − f (a) b − a
Teorema de Cauchy-Lagrange ‹
B∂∇
- Sean f (x) y g(x) continuas en [a, b]
- f (x) y g(x) derivables en ]a, b[
- g′(x) = 0 , ∀x ∈ ]a, b[ x 0 ∈ ]a, b[ ⇒ f ′(x 0 ) g′(x 0 ) = f (b) − f (a) g(b) − g(a)
Regla de l’Hôpital
∞!
B∂∇
2
- Sean f (x) y g(x) continuas en [a, b]
- f (x) y g(x) derivables en ]a, b[
- Sea L = (^) xlim→x 0
f (x) g(x) = 0 0 ∨ ∞ ∞ x 0 ∈ ]a, b[ ⇒ L = (^) xlim→x 0
f ′(x) g′(x)
Cálculo I - MAT 101 Ing. Electrónica Aux. Univ. Boris Vargas Villarreal
