U.M.S.A. – FACULTAD DE INGENIERÍA
CURSO BÁSICO
ECUACIONES DIFERENCIALES
(MAT-207)
Se considera que: 𝒂𝒏=𝒂𝒏−𝟏=𝒂𝒏−𝟐=⋯=𝒂𝟐=𝒂𝟏=𝒂𝟎= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒕𝒆𝒔
𝒑, 𝒒 ∈ ℝ
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR DE
COEFICIENTES CONSTANTES:
PARA HALLAR 𝒚𝒉: tenemos 𝒇(𝒙)=𝟎 (homogénea)
Como “EJEMPLO” para una ecuación de 2do Orden:
(𝑫𝟐+𝒑𝑫+𝒒){𝒚}=𝟎
𝒓𝟐+𝒑𝒓+𝒒=𝟎
Caso II: 𝒓𝟏=𝒓𝟐=𝒂
PARA HALLAR 𝒚𝒑: tenemos 𝒇(𝒙) (no homogénea)
Resolvemos el polinomio
característico
𝒔𝒊: 𝒓 ∈ ℝ
𝒔𝒊: 𝒓 ∈ ℂ
TOMAR NOTA: si se tiene:
𝒇(𝒙)=𝒇𝟏(𝒙) +𝒇𝟐(𝒙) +𝒇𝟑(𝒙)
Su operador anulador será:
𝑳(𝑫)=𝑳𝟏(𝑫) 𝑳𝟐(𝑫) 𝑳𝟑(𝑫)
-Transformadas de Derivadas:
-Transformadas de la diferenciación en s:
-Transformada de una Integral:
-Integración en la Frecuencia:
-Función Escalón Unitario (Heaviside):
-Función Impulso Unitario (Delta de Dirac):
-Teorema de Convolución:
-Transformada de una Función Periódica:
Se cumple:
∫ 𝜹(𝒕)𝒅𝒕
∞
−∞ =𝟏
/𝓛{ }
/𝓛{ }
1
4
Una ecuación lineal general de orden “n” tiene la forma:
FORMULARIO SEGUNDO PARCIAL
ELABORADO POR:
AUX: UNIV. JUAN REYNALDO
Q. CALLISAYA
𝒂𝒏(𝒙)𝒅𝒏𝒚
𝒅𝒙𝒏+𝒂𝒏−𝟏(𝒙)𝒅𝒏−𝟏𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟏+𝒂𝒏−𝟐(𝒙)𝒅𝒏−𝟐𝒚
𝒅𝒙𝒏−𝟐+⋯+𝒂𝟐(𝒙)𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐+𝒂𝟏(𝒙)𝒅𝒚
𝒅𝒙+𝒂𝟎(𝒙)𝒚=𝒇(𝒙)
Diseñado por: Aux: Univ. Juan Reynaldo Q. Callisaya
Se tiene su solución como:
𝒚=𝒚𝒉+𝒚𝒑
𝒂𝒏𝒚(𝒏)+𝒂𝒏−𝟏𝒚(𝒏−𝟏)+𝒂𝒏−𝟐𝒚(𝒏−𝟐) +⋯+𝒂𝟐𝒚′′+𝒂𝟏𝒚′+𝒂𝟎𝒚=𝒇(𝒙)
𝒚′′+𝒑𝒚′+𝒒𝒚=𝒇(𝒙)
Caso I: 𝒓𝟏≠𝒓𝟐
𝒚=𝑪𝟏𝒆𝒓𝟏𝒙+𝑪𝟐𝒆𝒓𝟐𝒙
𝒚=𝑪𝟏𝒆𝒂𝒙+𝑪𝟐𝒙𝒆𝒂𝒙
Caso III: 𝒓𝟏,𝒓𝟐=𝒂±𝒃𝒊
𝒚=𝑪𝟏𝒆𝒂𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙)+𝑪𝟐𝒆𝒂𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙)
-Método Operador Anulador:
𝑨
𝑫
𝑨𝒙𝒏
𝑫𝒏+𝟏
𝑨𝒆𝒂𝒙
𝑫−𝒂
𝑨𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙) ó 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒃𝒙)
𝑫𝟐+𝒃𝟐
𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒇(𝒙)
𝑶𝒑. 𝑨𝒏𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 𝑳(𝑫)
𝟏
𝒔
𝝁(𝒕)
𝒚′′′(𝒕)
𝒔𝟑𝒀(𝒔)−𝒔𝟐𝒚(𝟎)−𝒔𝒚′(𝟎)−𝒚′′(𝟎)
𝒚′′(𝒕)
𝒚′(𝒕)
𝒚(𝒕)
𝒔𝟐𝒀(𝒔)−𝒔𝒚(𝟎)−𝒚′(𝟎)
𝒔𝒀(𝒔)−𝒚(𝟎)
𝒀(𝒔)
𝒇(𝒕)
𝒕𝒇(𝒕)
𝒕𝟐𝒇(𝒕)
𝒕𝟑𝒇(𝒕)
𝒕𝒏𝒇(𝒕)
(−𝟏)𝒏𝑭(𝒔)
(𝒏)
−𝑭′′′(𝒔)
𝑭′′(𝒔)
−𝑭′(𝒔)
𝑭(𝒔)
𝒚(𝒕)
(𝒏)
𝒔𝒏𝒀(𝒔)−𝒔𝒏−𝟏𝒚(𝟎)−⋯−𝒚𝒏−𝟏(𝟎)
𝒇(𝒕)𝝁(𝒕)
𝑭(𝒔)
𝒇(𝒕−𝒂)𝝁(𝒕−𝒂)
𝝁(𝒕−𝒂)
𝟏
𝒔𝒆−𝒂𝒔
𝑭(𝒔)𝒆−𝒂𝒔 (𝟐𝒅𝒐 𝑻. 𝑻. )
∫𝒇(𝒕)𝒅𝒕
𝒕
𝟎
𝟏
𝒔𝑭(𝒔)
𝒇(𝒕)
𝒕
∫ 𝑭(𝒔)𝒅𝒔
∞
𝒔
𝜹(𝒕−𝒂)
𝒆−𝒂𝒔
𝒇(𝒕)∗𝒈(𝒕)=∫𝒇(𝝉)𝒈(𝒕−𝝉)𝒅𝝉
𝒕
𝟎
𝓛{𝒇(𝒕)∗𝒈(𝒕)}=𝑭(𝒔) 𝑮(𝒔)
𝓛{𝒇(𝒕)}=𝟏
𝟏−𝒆−𝒔𝑻∫ 𝒇(𝒕)𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕
𝑻
𝟎
𝒇(𝒕)
𝑭(𝒔)
𝒇(𝒕)
𝑭(𝒔)
𝜹(𝒕)
𝟏
𝒇(𝒕)
𝑭(𝒔)
