FORMULARIO didactico, Apuntes de Ecuaciones Diferenciales

¡Descarga FORMULARIO didactico y más Apuntes en PDF de Ecuaciones Diferenciales solo en Docsity!

U.M.S.A. – FACULTAD DE INGENIERÍA

CURSO BÁSICO

ECUACIONES DIFERENCIALES

(MAT-207)

Para resolver una E.D. de variable separable se tiene:

Resolviendo el sistema se obtiene: 𝒙𝟎 , 𝒚𝟎 /𝒅( ) /𝒅( )

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES:

**- Segmento Tangente y Subtangente:

• Trayectorias Isogonales:** (^) - Trayectorias Ortogonales:

Diseñado por: Aux: Univ. Juan Reynaldo Q. Callisaya

4 1

- Ecuación Diferencial de Argumento Lineal: 𝒚′^ =^ 𝒇(𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄)

𝒇(𝝀𝒙,𝝀𝒚) = 𝝀𝒏𝒇(𝒙,𝒚)

= 𝒛 ; ó 𝒕𝒂𝒎𝒃𝒊𝒆𝒏

Debe cumplir que:

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS:

**- Ecuación Diferencial de Jacobi:

• Ecuación Diferencial Isobárica:**

Se convierte en una E.D. homogénea 𝒚′ = 𝒇(𝒂𝟏𝒙+𝒃𝟏𝒚+𝒄𝟏 𝒂𝟐𝒙+𝒃𝟐𝒚+𝒄𝟐) { 𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 + 𝒄𝟏 = 𝟎 𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 + 𝒄𝟐 = 𝟎 Se convierte en una E.D. de variable separable

𝒚 = 𝒙 𝒛 /𝒅(^ )^ Se^ convierte^ en una E.D. de variable separable

Se convierte en una E.D. homogénea

FORMULARIO PRIMER PARCIAL

ELABORADO POR:

AUX: UNIV. JUAN REYNALDO

Q. CALLISAYA

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS:

Se debe cumplir la condición de Euler

1ra forma de resolver una ecuación diferencial exacta es recordando Cálculo ll.

𝒚′^ − 𝒕𝒂𝒏(𝜶)

= −𝒓𝟐^

𝑻 = | 𝒚 𝒚′ | √𝟏 + (𝒚′)𝟐 𝑵 = |𝒚|√𝟏 + (𝒚′)𝟐^ 𝑺𝑵^ =^ |𝒚^ 𝒚′| 𝑺𝑻 = | 𝒚 𝒚′ |

- Segmento Normal y Subnormal: - Trayectorias Ortogonales en Coordenadas Polares:

APLICACIONES FISICAS

si : 𝜶 = 𝟗𝟎°

**- Temperatura (Ley de Enfriamiento de Newton):

• Sistemas Eléctricos:
• Sistemas Mecánicos:** 𝒗 = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝒂 = 𝒅𝒗 𝒅𝒕 𝒅𝑻 𝒅𝒕 = 𝒌(𝑻 − 𝑻𝟎) 𝑽 = 𝑳 𝒅𝒊 𝒅𝒕 𝒊 = 𝑪 𝒅𝑽 𝒅𝒕 𝒊 = 𝒅𝒒 𝒅𝒕 𝑽 = 𝑰𝑹

R

L

C Donde: k: proporción; T: temperatura To: temperatura ambiente t: tiempo; V: voltaje; q=carga L: inductancia; C: Capacitancia R: Resistencia; i: corriente

]

Para resolver se aplica:

donde “n” es el grado de

homogeneidad

Para resolver se debe escribir en forma de sistema de ecuaciones: Para resolver se aplica:

Para resolver se

aplica:

Caso I: Caso II: Caso III:

- Ecuación Diferencial de Ricatti: Multiplicando este factor integrante a la E.D. Lineal conviene convertirlo en una E.D. de variable separable Luego se aplica:

se convierte en una E.D. Lineal Tienen la forma:

- Ecuación Diferencial de Lagrange: - Ecuación Diferencial de la

forma:

- Ecuación Diferencial de la

forma:

Tienen la forma: Tienen la forma:

**- Recta Tangente:

• Recta Normal:** Donde: 𝓛𝑻 𝒚 𝓛𝑵 son

perpendiculares

/𝒚−𝒏 (^2 )

Recordando el diferencial total, se tiene:

𝒅𝑭(𝒙,𝒚) = 𝝏𝑭 𝝏𝒙 𝒅𝒙 + 𝝏𝑭 𝝏𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

- Factor Integrante: 𝝏𝑴 𝝏𝒚 ≠ 𝝏𝑵 𝝏𝒙 𝝁(𝒙) = 𝒆 ∫^

𝝁(𝒚) = 𝒆 ∫^

𝝁(𝒛) = 𝒆

𝑵 𝒁𝒙−𝑴 𝒁𝒚 𝒅𝒛 ; 𝒛 = 𝒛 (𝒙,𝒚) CUANDO: Recurro al factor integrante (la ecuación diferencial NO es exacta) Multiplico el factor integrante a la E.D. y se convierte en una E.D. Exacta Multiplico el factor integrante a la E.D. y se convierte en una E.D. Exacta Multiplico el factor integrante a la E.D. y se convierte en una E.D. Exacta ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES: 𝒚(𝒙) = 𝒆−^ ∫^ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙^ [∫ 𝒆∫^ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙𝑸(𝒙) 𝒅𝒙 + 𝑪] 𝝁(𝒙) = 𝒆∫^ 𝑷(𝒙)𝒅𝒙 𝒚′ + 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙) 𝒚′ + 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚𝒏 𝑪. 𝑽. → 𝒚𝟏−𝒏^ = 𝒛 𝒚′^ + 𝑷(𝒙)𝒚 + 𝑸(𝒙)𝒚𝟐^ + 𝑹(𝒙) = 𝟎 𝑪. 𝑽. → 𝒚 = 𝒚𝟏 +

- Ecuación Diferencial de Bernoulli: Tienen la forma: 1ra forma de resolver es por formula general: 2da forma de resolver es por factor integrante: Tienen la forma:

se convierte en una E.D. Lineal ECUACIONES DIFERENCIALES NO RESUELTAS RESPECTO A LA DERIVADA: :

- Ecuación Diferencial de Clairaut:

TOMAR NOTA: 𝒚𝟏 , es una solución particular que satisface la E.D. de Ricatti

Tienen la forma: 𝑭(𝒙,𝒚,𝒚′) = 𝟎 donde no se puede despejar 𝒚′^ se hace un C.V.

paramétrico: 𝒚′^ = 𝒑 ; 𝒑 ∈ ℝ ,p es el parámetro, su forma de solución: {

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 𝒚 = 𝒙 𝒇(𝒚′) + 𝒈(𝒚′) 𝑪. 𝑽. → 𝒚′ = 𝒑 𝒚 = 𝒙𝒚′ + 𝒈(𝒚′) 𝑪. 𝑽. → 𝒚′ = 𝒑

𝒚 = 𝒇(𝒙,𝒚′)^ 𝑪.^ 𝑽.^ →^ 𝒚′^ =^ 𝒑

𝓛𝑻: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒚𝟎′(𝒙 − 𝒙𝟎) 𝓛𝑵: 𝒚 − 𝒚𝟎 = − 𝟏 𝒚𝟎′ (𝒙 − 𝒙𝟎) APLICACIONES GEOMÉTRICAS : 𝒅𝒚 𝒅𝒙

• 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝑸(𝒙)𝒚𝒏 Recordando fórmula para ecuaciones integrales: Derivación bajo el signo de la integral (fórmula de Leibniz) 𝑰(𝒙) = ∫ 𝒇(𝒙,𝒕)𝒅𝒕 𝒉(𝒙) 𝒈(𝒙)

𝒉(𝒙) 𝒈(𝒙) Para resolver se tiene:

2da forma de resolver: buscando

diferenciales y agrupando

adecuadamente.

Para resolver se aplica:

3ra forma de resolver: fórmula de

función potencial.

∫ 𝑴(𝒙,𝒚) 𝒙 𝒙𝟎 𝒅𝒙 + ∫ 𝑵(𝒙𝟎,𝒚) 𝒚 𝒚𝟎 𝒅𝒚 = 𝑪