Ing. RUBEN CARLOS CALLISAYA C.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA FORMA
,
dy P x y Q x y
dx
ECUACION LINEAL DE PRIMER ORDEN
Para la ecuación:
dy P x y Q x
dx
Se halla la solución con:
P x dx P x dx
y e e Q x dx C
ECUACION BERNOULLI
Para la ecuación:
n
dy P x y Q x y
dx
Se multiplica la ecuación por
n
y
obteniéndose:
1nn
dy
y P x y Q x
dx
Aplicando el cambio de variable:
1n
uy
Esta se convierte en una ecuación lineal
ECUACION RICATTI
Para la ecuación:
2
dy P x y Q x y R x
dx
Se debe conocer una solución particular
1
y
Aplicando el cambio de variable:
11
yyu
Esta se convierte en una ecuación lineal
ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA FORMA
, , 0M x y dx N x y dy
ECUACION DE VARIABLES SEPARABLES
En la ecuación
si
,M x y
y
,N x y
se
pueden factorizar de la siguiente manera:
1 1 2 2 0f x g y dx f x g y dy
La solución puede hallarse con:
12
21
f x g y
dx dy C
f x g y
ECUACION HOMOGENEA
En la ecuación
si
,M x y
y
,N x y
tienen el
mismo grado puede realizarse cualquiera de los dos
cambio de variables.
y ux dy udx xdu
x uy dx udy ydu
La ecuación
se convierte en una de variables
separables
ECUACIONES REDUCTIBLES A HOMOGENEA
ECUACION ISOBARICA
Si la ecuación
no es homogénea, se la puede
convertir con cualquiera de los cambios de variable:
1
y z dy z dz
1
x z dx z dz
ECUACION DE JACOBI
Para:
0ax by c dx ex fy g dy
Donde
M
y
N
son rectas no paralelas
00
0,
0
ax by c x x y y
ex fy g
Con el cambio:
0
0
x h x dx dh
y k y dy dk
La ecuación se convierte en una ecuación homogénea
Para:
0ax by c dx ax by d dy
Donde
M
y
N
son rectas paralelas el cambio:
u ax by
La ecuación se convierte en una ecuación de variable
separable.
ECUACION EXACTA
Si en la ecuación
se cumple:
MN
yx
es exacta y la solución se puede hallar mediante:
00
0
, , 0
y
x
xy
M x y dx N x y dy
FACTOR INTEGRANTE
Si la ecuación
no es exacta, esta puede serlo
multiplicándola por una expresión “factor integrante”
de la siguiente forma:
, , 0M x y dx N x y dy
Existen tres casos donde
es solo una función de
x
,
y
o
,z f x y
MN
yx
dx
N
xe
NM
xy
dy
M
ye
xy
MN
yx
dz
NZ MZ
ze
(En este caso el valor de
,z z x y
se debe tantear)
Si el factor integrante es
mn
xy
se multiplica
en forma directa a
.
RUBEN CARLOS CALLISAYA C.
