Universidad de Chile Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
MA1001-1 Introducci´on al C´alculo, Semestre Primavera
Profesor: Michal Kowalczyk
Auxiliar: Nicol´as Tapia Rivas
Resumen Semana 4
Ecuaci´on cuadr´atica
1. Consideremos la ecuaci´on general de segundo grado o
cuadr´atica:
Ax2+By2+C xy +Dx +Ey +F= 0
Seg´un los valores de las constantes obtendremos diferentes
lugares geom´etricos en el Plano Cartesiano. Para efectos
del curso, consideraremos el caso C= 0, es decir, no se
mezclan xey.
2. En nuestro caso (C= 0), AyBno pueden ser nulos si-
mult´aneamente (de otra forma se perder´ıa lo cuadr´atico
y se tendr´ıa una recta).
3. Una expresi´on del tipo ax2+bx, con a6= 0, siempre pue-
de ser escrito como la suma de un cuadrado de binomio y
un t´ermino libre por el m´etodo de completar cuadrados.
B´asicamente, la idea es comparar con la identidad:
(x±c)2=x2±2cx +c2
Agregando el t´ermino que falte. Ejemplos:
x2−6x=x2−2·3·x
=x2−2·3·x+ 32−32
= (x−3)2−9
3x2+ 30x= 3(x2+ 10x)
= 3(x2+ 2 ·5·x)
= 3(x2+ 2 ·5·x+ 52−52)
= 3((x+ 5)2−25)
= 3(x+ 5)2−75
4. Por medio del m´etodo de completar cuadrados, la ecua-
ci´on Ax2+B y2+Dx +Ey +F= 0, en los siguientes casos
de inter´es, puede ser escrita como:
(A= 0) ∧(B, D 6= 0) =⇒a(y−k)2=x−h
(B= 0) ∧(A, E 6= 0) =⇒y−k=a(x−h)2
(A, B 6= 0) =⇒a(x−h)2+b(y−k)2=c
Secciones C´onicas
1. La Par´abola es la soluci´on a la ecuaci´on y=ax2. Se abre
de manera vertical, posee simetr´ıa respecto al eje O Y y
posee un v´ertice ubicado en el origen (0,0).
2. La Elipse es la soluci´on a la ecuaci´on:
x2
a2+y2
b2= 1
Donde a > b. Posee simetr´ıa respecto a ambos ejes y es
una curva cerrada centrada en el origen dispuesta de ma-
nera horizontal. Los valores de xsolo se pueden mover en
[−a, a], y los valores de ysolo se pueden mover en [−b,b].
Esto es debido a que se tienen dos n´umeros al cuadrado
que deben sumar 1, lo que solo es posible si ninguno es
mayor a 1. Se dice que aybson los semiejes de la elipse,
donde aes el semieje mayor y bel semieje menor.
3. La Hip´erbola es la soluci´on a la ecuaci´on:
x2
a2−y2
b2= 1
Posee simetr´ıa respecto a ambos ejes y est´a ’centrada’ en
el origen, abri´endose de manera horizontal. Los valores de
xsolo se pueden mover en (−∞,−a]∪[a,∞) y los de y
en todos los reales. Esto es debido a que se tienen dos
n´umeros al cuadrado que al restarse deben resultar 1, lo
que solo es posible si el primero no es menor a 1.
4. Al despejar yde la ecuaci´on de la hip´erbola se obtiene:
y2=b2
a2x21−a2
x2⇒y=±b
axs1−a2
x2
Cuando xse hace muy negativo o muy grande, y≈ ± b
ax.
Es decir, cuando nos alejamos del origen, la hip´erbola tien-
de a parecerse o acercarse mucho a las rectas y=±b
ax.
Estas rectas se conocen como as´ıntotas de la hip´erbola.
5. Las variables xeydescritas anteriormente pueden in-
tercambiar roles. Es decir, se puede tener una par´abola
x=ay2que se abre de manera horizontal; una elipse con
b>avertical; o una hip´erb ola con el t´ermino y2positivo
en lugar de x2dando lugar a una hip´erbola que se abre de
manera vertical. Las propiedades mencionadas anterior-
mente se comprueban en estos otros casos simplemente
intercambiando los ejes.
6. En el caso de la elipse, no puede ocurrir que a=b, puesto
que en este caso se tendr´ıa:
x2
a2+y2
b2= 1 ⇐⇒ x2+y2=a2
Lo que corresponde a la ecuaci´on de una circunferencia de
radio a, y no a una elipse.
7. En el caso de la hip´erbola, si a=bdecimos que la hip´erbo-
la es equil´atera, puesto que sus as´ıntotas son las bisectrices
de los cuadrantes (las rectas y=xey=−x).
8. Tambi´en las c´onicas pueden estar centradas en un punto
distinto al origen. Cuando esto pasa decimos que estamos
frente a una traslaci´on paralela de los ejes. Podemos decir
que:
Par´abola: (y−k) = a(x−h)2
Elipse: (x−h)2
a2+(y−k)2
b2= 1
Hip´erbola: (x−h)2
a2−(y−k)2
b2= 1
Son las mismas c´onicas anteriores pero esta vez centra-
das en el punto (h, k) (correspondiente al nuevo punto en
donde se anula el t´ermino en xy el t´ermino en y). Esta
forma de las ecuaciones se conoce como la forma can´onica
de las ecuaciones de estas c´onicas. Su ventaja radica en
que, por ejemplo, la par´ab ola (y−k) = a(x−h)2se dibuja
exactamente igual que la par´abola y=ax2pero con su
v´ertice en (h, k) en lugar del origen. En la forma can´onica,
decimos que la c´onica est´a trasladada hunidades hacia la
derecha y kunidades hacia arriba. Note que, por ejemplo,
si tuvi´esemos un t´ermino (x+ 2), este se puede escribir
como (x−(−2)); es decir h=−2, un desplazamiento ho-
rizontal de (−2) unidades a la derecha (2 unidades a la
izquierda). En resumen, a todos los lugares geom´etricos
que ya conoc´ıamos se le agrega (h, k).
9. Tomemos la elipse de ecuaci´on (x−h)2
a2+(y−k)2
b2= 1.
Ella est´a centrada en (h, k) con x∈[h−a, h +a] e
y∈[k−b, k +b].
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