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I.T. INDUSTRIAL
METODOS ESTADÍSTICOS
FORMULARIO
I. ESTADISTICA DESCRIPTIVA
X v.a k modalidades x 1 , x 2 , ..., xk ; n datos
Media x¯ =
P^ k i=
nixi
n
Varianza poblacional σ^2 =
P^ k i=
nix^2 i
n
− x¯^2
Varianza muestral S^2 =
P^ k i=
ni(xi − ¯x)^2
n − 1
Coeficiente de Asimetría γ 1 =
P^ k i=
(xi − x)^3 ni
nσ^3
Coeficiente de Apuntamiento γ 2 =
P^ k i=
(xi − x)^4 ni
nσ 4
Covarianza Cov(X, Y ) =
P^ K i=
P^ p j=
nij xiyj
N
− ¯xy¯
Coeficiente de correlación lineal ρ =
Cov(X, Y ) σxσy
Recta de regresión de Y sobre X yˆ =
" Cov [X, Y ] V ar (X)
x +
" y ¯ −
Cov [X, Y ] V ar (X)
x¯
II. PROBABILIDAD
Operaciones con sucesos
Suceso Ocurre siempre que Probabilidad − A no^ ocurre^ A^ P
μ (^) − A
¶ = 1 − P (A)
A/B ocurre A si ya ha ocurrido B P (A/B) =
P (A ∩ B)
P (B)
A ∩ B ocurra A o B
P (A ∩ B) = P (A)P (B/A)
P (A ∩ B) = P (B)P (A/B)
A ∪ B ocurren A y B P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Si A y B son incompatibles Si A y B independientes P (A/B) = 0 P (A/B) = P (A) P (A ∩ B) = 0 P (A ∩ B) = P (A)P (B) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A)P (B)
Teorema de la probabilidad total y fórmula de Bayes
Probabilidad total P (A) =
Pk i=
P (A/Bi)P (Bi)
Fórmula de Bayes P (Bi/A) =
P (A ∩ Bi) P (A)
P (A/Bi)P (Bi) P^ k i=
P (A/Bi)P (Bi)
III. INFERENCIA ESTADISTICA
INTERVALOS DE CONFIANZA
Intervalo de confianza para la media de una normal
Varianza conocida (σ^20 ) μ ∈
" − x ±
σ 0 √ n
z 1 − α 2
Varianza desconocida μ ∈
" − x ±
S
n
t 1 − α 2
Intervalo de confianza para la varianza de una normal
Media conocida (μ 0 ) σ^2 ∈
P^ n i=
(xi − μ 0 )^2
χ^21 − α 2 ;n
P^ n i=
(xi − μ 0 )^2
χ^2 α 2 ;n
Media desconocida σ^2 ∈
(n^ −^ 1)S
2 χ^21 − α 2 ;n− 1
(n − 1)S^2 χ^2 α 2 ;n− 1
Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla- ciones normales e independientes
Varianza conocidas μx − μy ∈
− x − − y (^) ± z 1 − α 2
s σx nx
σy ny
Varianza desconocidas pero iguales (σ^2 ) μx − μy ∈
" − x −
− y (^) ± t 1 − α 2 ;nx+ny − 2 Sp
s 1 nx
ny
con Sp =
vu ut (nx − 1)S x^2 + (ny − 1)S y^2 nx + ny − 2
Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos pobla- ciones normales e independientes
Medias conocidas
σ^2 y σ^2 x
P^ ny i=
³ yi − μy
´ 2
nPx i=
(xi − μx)^2
nx ny
Fα 2 ;nx,ny ,
nPy i=
³ yi − μy
´ 2
nPx i=
(xi − μx)^2
nx ny
F 1 − α 2 ;nx,ny
Medias desconocidas
σ^2 y σ^2 x
" S y^2 Fα 2 ;nx− 1 ,ny − 1 S x^2
S y^2 F 1 − α 2 ;nx− 1 ,ny − 1 S^2 x
Intervalo de confianza para una proporción
p ∈
ˆ p (^) ±z 1 − α 2
vu ut ˆ p (^) (1− pˆ)
n
Contraste para la varianza de una normal con media desconocida
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : σ^2 = σ^20 χ^2 =
(n − 1) S^2 σ^20 Hipótesis alternativa Criterios de rechazo H 1 : σ^2 6 = σ^20 H 1 : σ^2 > σ^20 H 1 : σ^2 < σ^20
χ^2 ≤ χ^2 α/ 2 ,n− 1 o χ^2 ≥ χ^21 −α/ 2 ,n− 1 χ^2 ≥ χ^21 −α,n− 1 χ^2 ≤ χ^2 α,n− 1
Contraste para el cociente de varianzas de dos normales inde- pendientes con medias conocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : σ^2 X = σ^2 Y F =
PnX i=1 (xi^ −^ μX )
(^2) /n X PnY i=1 (yi^ −^ μY )
(^2) /n Y Hipótesis alternativa Criterios de rechazo H 1 : σ^2 X 6 = σ^2 Y H 1 : σ^2 X > σ^2 Y H 1 : σ^2 X < σ^2 Y
F ≤ 1 /f 1 −α/ 2 ,nY ,nX o F ≥ f 1 −α/ 2 ,nX ,nY F ≥ f 1 −α,nX ,nY F ≤ 1 /f (^12) −α,nY ,nX
Contraste para el cociente de varianzas de dos normales inde- pendientes con medias desconocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : σ^2 X = σ^2 Y F =
S^2 X
S^2 Y
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo H 1 : σ^2 X 6 = σ^2 Y H 1 : σ^2 X > σ^2 Y H 1 : σ^2 X < σ^2 Y
F ≤ 1 /f 1 −α/ 2 ,nY − 1 ,nX − 1 o F ≥ f 1 −α/ 2 ,nX − 1 ,nY − 1 F ≥ f 1 −α,nX − 1 ,nY − 1 F ≤ 1 /f 1 −α,nY − 1 ,nX − 1
Contraste para la diferencia de medias de dos normales inde- pendientes con varianzas conocidas
Hipótesis nula Estadístico de contraste H 0 : μX − μY = δ 0 Z = r X¯−^ Y¯^ −δ^0 σ^2 n, X nX +^
σ^2 n, Y nY Hipótesis alternativa Criterios de rechazo H 1 : μX − μY 6 = δ 0 H 1 : μX − μY > δ 0 H 1 : μX − μY < δ 0
Z ≤ zα/ 2 o Z ≥ z 1 −α/ 2 Z ≥ z 1 −α Z ≤ zα
Contraste para la diferencia de medias de dos normales inde- pendientes con varianzas desconocidas pero iguales
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : μX − μY = δ 0 T =
X¯ − Y¯ − δ 0 s S^2 p
μ 1 nX
nY
¶
Hipótesis alternativa Criterios de rechazo H 1 : μX − μY 6 = δ 0 H 1 : μX − μY > δ 0 H 1 : μX − μY < δ 0
T ≤ tα/ 2 ,n o T ≥ t 1 −α/ 2 ,n T ≥ t 1 −α,n T ≤ tα,n
donde
n = nX + nY − 2
S^2 p =
(nX − 1) S^2 X + (nY − 1) S^2 Y n
donde
p ˆT =
n 1 pˆ 1 + n 2 pˆ 2 n1 + n 2
TABLA ANOVA Y CONTRASTE DE LA F
Fuentes de Variación Suma de Cuadrados Grados de libertad Varianzas Entre grupos (VE)
PI i=
ni( − xi −
− x)^2 I − 1 S e^2 =
V E
I − 1
Interna, no explicada o residual (VNE)
P^ I i=
P^ ni j=
μ xij − − xi
¶ 2
PI i=
niσ^2 i
n − I S^2 R =
V N E
n − I
TOTAL (VT)
PI i=
P^ ni j=
μ xij − − x
¶ 2 n − 1 S y^2 =
V T
n − 1
donde ni denota el número de observaciones en el grupo i, − xi la media
, σ^2 i la varianza (en calculadora σn al cuadrado), y − x la media del conjunto total de observaciones. I es el node grupos y n el nototal de observaciones.
Hipótesis nula Estadístico de contraste
H 0 : μ 1 = ... = μI F =
S^2 e S R^2 Hipótesis alternativa Rechazar H 0 si: No todas las medias son iguales F > F 1 −α,I− 1 ,n−I
