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Daniel Stiven Martinez Ejercicio Análisis Segundo Corte
Análisis Matemático II– Universidad Distrital FJC 2020- Profesor: Arturo Sanjuan Cuellar Fecha de entrega: 10/08/
Definición: Función Beta Sean a, b > 0 números reales,definimos
B(a, b) =
∫ (^1) 0
xa−^1 ( 1 − x)b−^1 dx
esta función recibe el nombre de función Beta en donde 0 ≤ x ≤ 1
Ejemplo. B(1, 1) =
∫ (^1) 0
x^1 −^1 ( 1 − x)^1 −^1 dx =
∫ (^1) 0
1 dx = 1
Proposición. Propiedades importantes: La función beta satisface:
- B(a, b) = B(b, a) la función beta es Simétrica
- B(a, 1) =
a
- B(a + 1, b) = a a + b
B(a, b)
Demostración:
- Si hacemos el cambio de variable u = 1 − x ⇒ −du = dx donde los nuevos limites están dados por u = 0 y u = 1 cuando x = 1 e x = 0 respectivamente,así se tiene que
B(a, b) =
∫ (^1) 0
xa−^1 ( 1 − x)b−^1 dx = −
∫ (^0) 1
( 1 − u)a−^1 ub−^1 du =
∫ (^1) 0
( 1 − u)a−^1 ub−^1 du = B(b, a)
- B(a, 1) =
∫ (^1)
0
xa−^1 dx = x
a a
1 0
= (^1) a
- Para probar la tercera propiedad haremos uso de la relación que existe entre la función Beta y la función
Gamma esta nos dice que B(a, b) =
Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) Tenemos que
B(a + 1, b) =
Γ(a + 1 )Γ(b) Γ((a + 1 ) + b) =^
Γ(a + 1 )Γ(b) Γ((a + b) + 1 ) =^
aΓ(a)Γ(b) (a + b)Γ(a + b) =^
a a + b
Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) =^
a a + b B(a,^ b)
Ya definida y expuesto algunas propiedades importantes que cumple la función beta ,se procederá a definir la función de densidad de probabilidad para la Distribución Beta ,la cual desempeña un papel importante en la estadística inferencial.
Definición: Distribución Beta Sea X una variable aleatoria continua, decimos que X sigue una distribución Beta de parámetros α , β ,y se denota por X ∼ B( α , β ) sí su función de densidad viene dada por
f (x) =
(x − a) α −^1 (b − x) β −^1 B( α , β )(b − a) α + β −^1
x ∈ (0, 1)
0; e.o.c
Donde a, b ∈ (0, 1) y x ∈ (0, 1), en el caso que a = 0 y b = 1 la distribución beta se reduce a
f (x) =
x α −^1 ( 1 − x) β −^1 B( α , β ) x^ ∈^ (0, 1) 0; e.o.c
esta ultima recibe el nombre Distribución Beta Estándar
Anotación: En la distribución beta a los términos a, b se les denomina valores de ubicación y escala,de ellos depende el gráfico que sigue la distribución,la ubicación y escala vienen dados como sigue
Ubicacion = a y Escala = b − a
Ejercicio Demostrar que la distribución beta estándar es en efecto una función de densidad de probabili- dad,hallar la esperanza y la varianza.
Solución:
Como queremos ver que f (x) es una función de densidad de probabilidad ,se deberá verificar que las siguientes dos condiciones se satisfacen
i) f (x) ≥ 0
ii)
∫ (^) ∞ −∞
f (x)dx = 1
i) Notemos que para x ∈ (0, 1) , 0 < x < 1 y 0 < 1 − x < 1 y como tanto α , β > 0 esto implica que α − 1 > −1 y β − 1 > −1 así tenemos que x α −^1 > 0 y ( 1 − x) β −^1 > 0, y por tanto x α −^1 ( 1 − x) β −^1 > 0 y por consiguiente B( α , β ) > 0 y f (x) > 0, ya con esto se ha probado que la función es positiva.
ii) ∫ (^) ∞ −∞
x α −^1 ( 1 − x) β −^1 B( α , β )
dx =
∫ (^0) −∞
0 dx +
∫ (^1) 0
x α −^1 ( 1 − x) β −^1 B( α , β )
dx +
∫ (^) ∞ 1
0 dx =
∫ (^1) 0
x α −^1 ( 1 − x) β −^1 B( α , β )
dx
B( α , β )
∫ (^1) 0
x α −^1 ( 1 − x) β −^1 dx =
B( α , β ) B( α ,^ β ) =^1 ∴ f (x) es función de densidad
Esperanza
E(x) =
∫ (^1) 0
x f (x)dx =
B( α , β )
∫ (^1) 0
x · x α −^1 ( 1 − x) β −^1 dx =
B( α , β )
∫ (^1) 0
x( α +^1 )−^1 ( 1 − x) β −^1 dx
= 1 B( α , β )
B( α + 1, β ) = 1 B( α , β )
· α α + β
B( α , β ) = α α + β
Varianza
E(x^2 ) =
∫ (^1) 0
x^2 f (x)dx =
B( α , β )
∫ (^1) 0
x^2 · x α −^1 ( 1 − x) β −^1 dx =
B( α , β )
∫ (^1) 0
x( α +^2 )−^1 ( 1 − x) β −^1 dx
= 1 B( α , β )
B( α + 2, β ) = 1 B( α , β )
· α^ +^1 α + β + 1
B( α + 1, β )
=
B( α , β ) ·^
α + 1 α + β + 1 ·^
α α + β B( α ,^ β ) =^
α + 1 α + β + 1 ·^
α α + β
