Derivada de la función
y=csc(x)
Realizaremos la derivada de la cosecante por definición:
lim
n→ ∞
f
(
x+h
)
−f(x)
h
Adaptamos la función trigonométrica a la definición.
f
(
x
)
=csc
(
x
)
=1
sen(x)
f
(
x+h
)
=csc
(
x+h
)
=1
sen(x+h)
f'
(
x
)
=lim
n→ ∞
f
(
x+h
)
−f(x)
h=¿lim
n→ ∞
1
sen(x+h)−1
sen (x)
h¿
¿lim
n→ ∞
1
sen
(
x+h
)
sen (x)
sen (x)−1
sen (x)
sen (x+h)
sen (x+h)
h=lim
n→ ∞
sen (x)
sen
(
x+h
)
sen(x)−sen(x+h)
sen(x)sen (x+h)
h
¿lim
n → ∞
sen
(
x
)
−sen(x+h)
sen
(
x+h
)
sen(x)
h
1
=
lim
n→ ∞
sen
(
x
)
−sen(x+h)
h sen
(
x+h
)
sen(x)
Utilizamos la identidad trigonométrica
sen
(
x+h
)
=sen
(
x
)
cos
(
h
)
+cos
(
x
)
sen
(
h
)
Por lo tanto, tenemos
¿
lim
n→ ∞
sen
(
x
)
−(sen
(
x
)
cos
(
h
)
+cos
(
x
)
sen
(
h
)
)
hsen
(
x+h
)
sen(x)=
lim
n→ ∞
sen
(
x
)
−sen
(
x
)
cos
(
h
)
−cos
(
x
)
sen
(
h
)
hsen
(
x+h
)
sen (x)
¿
lim
n→ ∞
sen
(
x
)
(
1−cos
(
h
)
)
−cos
(
x
)
sen(h)
hsen
(
x+h
)
sen(x)=
lim
n→ ∞
sen
(
x
)
(
1−cos
(
h
)
)
hsen
(
x+h
)
sen(x)−
lim
n→ ∞
cos
(
x
)
sen (h)
hsen
(
x+h
)
sen (x)
