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Función
El precio de venta de un producto está relacionado con la cantidad
demandada de este bien a esta ecuación se le conoce como “ecuación de
demanda”, su análisis permite estudiar las características y el comportamiento
del precio de acuerdo a la cantidad de productos, identificar si el precio
disminuye o aumenta en relación a la cantidad del producto que el consumidor
requiere. Todo esto se puede conocer a través del Análisis de Funciones.
Una función es una relación entre un conjunto dado (Dominio) y otro
conjunto de elementos (Codominio, Rango, Recorrido) de tal manera que a
cada elemento del dominio (se acostumbra utilizar la letra x para denotar al
elemento del dominio) le corresponde un único elemento (denotado y o
también f(x)) del codominio.
Hay diferentes notaciones para las funciones, pero la más utilizada es la
siguiente.
Siendo: A = Dominio de la función
B = Rango, recorrido, codominio
x = variable independiente que pertenece al conjunto A
f(x) = Imagen de la función (llamada también variable dependiente y
pertenece al conjunto B
Ejemplo:
1.1. Dominio
El dominio de una función es el mayor subconjunto de los números reales
para el cual existe. En otras palabras, son todos los valores que
pueden ser evaluados en la función.
“Es el conjunto de valores en los cuales la función está definida.”
Para la función 𝑓
ଶ
− 4, el dominio de la función estará compuesta
de todos los elementos (x) para los cuales no se produzca una indeterminación,
así la función estará definida para todos aquellos que cumplan la condición
ଶ
− 4 ≥ 0 (no se pueden obtener las raíces pares de valores negativos)
Resolviendo la inecuación, se obtiene 𝑥 ≥ 2 𝑜 𝑥 ≤ −2. Por lo tanto el
dominio de la función es: (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
“Para calcular el dominio de una función se buscan los valores de la variable
independiente en los cuales la función no esté definida”
Ejemplos:
1.- Determine el dominio de la función 𝑓(𝑥) =
௫ାଵ
௫
మ
ି ସ
En este caso el dominio se obtiene buscando aquellos valores en los que el
denominador es igual a cero y se los quita de ℝ.
ଶ
El dominio de la función es ℝ − {−2, 2}
2.- Determine el dominio de la función
El dominio son todos los valores que forman parte del conjunto de números
reales.
Es así que el dominio de es:.
3.- Determine el dominio de la función
Hay que buscar valores que permitan a la función estar definida.
y
Por lo tanto, el dominio es:
4.- Determine el dominio de la función
El dominio es:
Algunos casos para el dominio de la función:
Si la función tiene una raíz de grado par, el argumento de la función es
positivo.
La forma matemática sería para este caso:
1.3. Ceros
Son los puntos de corte con el eje horizontal. Para calcular sus valores la
función se iguala a cero. 𝑓
Ejemplos:
1.- Calcular los ceros de la función 𝑓
ଶ
Igualando a cero: 2𝑥
ଶ
Igualando cada factor a cero: 2𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 =
ଷ
ଶ
y 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −
Por lo tanto los ceros para 𝑓(𝑥) son: 𝑥 = −1; 𝑥 =
ଷ
ଶ
2.- Calcular los ceros de 𝑓
√௫
మ
ି ଶ௫ିଷ
௫ାଵ
Hay que tomar en cuenta que el denominador es diferente de cero
Los ceros se calculan en una función racional usando el numerador, el
argumento del radical es:
ଶ
Factorando: (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0
Se observa que se tienen dos valores: 𝑥 = 3 y 𝑥 = −
Pero tenemos una restricción por el denominador, se concluye que el único
valor que hace cero la función es 𝑥 = 3.
1.4. Signo
El signo está determinado por el conjunto de valores de x para los cuales la
imagen es mayor a cero
, entonces es de signo positivo y si es
menor a cero (𝑓(𝑥) < 0), entonces es de signo negativo
Figura 1. 𝒇
( 𝒙
) = 𝟐𝒙
𝟐
− 𝒙 − 𝟑
En la figura 1 se representa la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥
ଶ
− 𝑥 − 3, se observa que
una parte de gráfica se encuentra sobre el eje x, las imágenes son positivas.
Los ceros de esta función fueron determinados en el ejemplo anterior, así la
función tiene signo positivo en:
ଷ
ଶ
Las imágenes negativas indican el signo negativo de la función, así:
En el intervalo ቀ−1,
ଷ
ଶ
ቁ, el signo de 𝑓(𝑥) es negativo.
El proceso para determinar los intervalos de signo es el siguiente:
- Calcular los ceros de la función.
- Determinar las asíntotas verticales.
- Se definen los intervalos y con un valor perteneciente a cada uno de ellos
se verifica el signo de la función.
Ejemplo
Estudiar los intervalos de signo constante de la función 𝑓
௫ିଶ
௫ାଶ
En funciones racionales, los ceros de la función se determinan a partir del
numerador:
Las asíntotas verticales se obtienen del denominador:
Los intervalos son:
El signo se determina reemplazando un valor de cada intervalo en la función:
Para (−∞, −2), 𝑓
ି ଷିଶ
ିଷାଶ
= 5, es positivo.
Para
ିଶ
ାଶ
= −1, es negativo.
