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Tema 6. FUNCIONES DE DOS VARIABLES (I)
Introducción
Las funciones de dos variables z f ( x , y )se presentan con notable frecuencia, así una
función de producción q f ( l , k ), el volumen de producto obtenido q , depende de los inputs
trabajo l y capital k ; la demanda de cerveza en el Reino Unido, d f ( r , p ), es función de la
renta r y del precio p ; la utilidad obtenida al consumir dos bienes x , y es u U ( x , y ).
Así, la función f : D R
2 R , tal que f ( x , y ) z se llama función o campo escalar
de dos variables.
D es el dominio de definición y está constituido por los puntos
( x , y ) de R
2 para los que existe imagen z.
Por ejemplo, en la función z x
x y f xy
2 2
, su dominio
es el conjunto de puntos: D = {(x, y), x 0 / x
2
2 3
2 }; o sea los
puntos fuera del círculo de centro (0, 0) y radio 3 excluidos aquéllos
puntos que estén en el eje de ordenadas.
Curvas de nivel
La representación gráfica de los campos z f ( x , y )exige el uso de sistemas de tres
dimensiones, lo que requiere habilidad y cierto dominio espacial. Para facilitarlo se puede
eliminar una dimensión y representar en el plano las llamadas curvas de nivel de la función,
lo que nos puede dar una idea de su superficie, como en Topografía las curvas de nivel de una
montaña nos sugiere su forma, zonas de pendiente acusada, etc.
En Economía, las curvas de nivel de una función de producción f ( l , k ) c son las llamadas
isocuantas, y de una función de utilidad U ( x , y ) c las curvas de indiferencia.
Entonces, se define la curva de nivel k de f ( x , y )como el conjunto
C ( x , y ) f ( x , y ) k
2 R. Diferentes niveles k nos darían distintas curvas en el plano,
resultantes de cortar la superficie z f ( x , y ) por un plano horizontal z = k.
Ejemplo : Las curvas de nivel k del campo
2 2 f ( xy ) x y (superficie gráfica de la
izquierda; que se ha cortado por los planos z = 2, z = 4 y z = 6) son las circunferencias
concéntricas de centro el origen y radio k. (En este caso, los radios son 2 , 4 2 y 6 .)
La intersección de una superficie con un plano (paralelo a los ejes cartesianos) se llama traza
de la superficie en el plano.
Las curvas de nivel son las proyecciones sobre el plano XY de las trazas de f.
Algo sobre cónicas. Las curvas de nivel que pueden estudiarse más fácilmente son las
clásicas cónicas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Sus ecuaciones más simples, las que tienen ejes de simetría paralelos a los ejes de
coordenadas, son las siguientes:
Ecuación de la circunferencia con centro en C ( a, b ) y radio r :
x a y b r
2 2 ( ) ( )
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r
Ejemplos :
a) La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 3 es:
9
2 2 x y
b) La ecuación de la circunferencia con centro en C (2, 1) y r = 4 es:
2 2 2 ( x 2 ) ( y 1 ) 4
Ecuación reducida de la elipse: 1 2
2
2
2
b
y
a
x
Ejemplo: La elipse centrada en origen de semiejes a = 5 y
b = 3 es: 1 25 9
2 2
x y .
La ecuación de la elipse centrada en el punto P ( x 0 , y 0 ) es:
2
2 0 2
2 0
b
y y
a
x x , a > b.
Ecuación reducida de la hipérbola (centrada en (0, 0);
semiejes: real, a ; imaginario, b : 1 2
2
2
2
b
y
a
x .
Ejemplo : La ecuación 1 16 9
2 2
x y es la de la hipérbola de
semiejes a = 4 y b = 3.
Asíntotas de una hipérbola: sus ecuaciones son x
a
b y .
Hipérbola equilátera. Tiene los semiejes real e imaginarios iguales,
a = b. Su ecuación es de la forma 1 2
2
2
2
a
y
a
x (^) 2 2 2 x y a.
Hipérbola equilátera referida a sus asíntotas. Su ecuación es
xy k.
Ecuación de la parábola de eje vertical el eje OY y vértice
el origen: x 2 py
2 .
Si el vértice está en el punto V ( x 0 , y 0 ) y eje paralelo al eje
OY , su ecuación es: 0
2 x x 0 2 py y.
Esta ecuación se transforma en la conocida
y ax bx c
2 .
Límites iterados
Sea f ( x , y ), al límite (^)
lim lim f ( x , y ) x a y b
se le llama límite iterado.
Igualmente se puede estudiar el límite lim lim f ( x , y )
y bx a
Para que exista el límite lim ( , ) ( ,) (,)
f x y x y ab
es necesario que los límites iterados sean iguales,
pero no es suficiente.
(Estas son dos de las posibles trayectorias en las que se puede calcular el límite.)
Ejemplos :
a) La función
x y
x y x y
x y
f x y no tiene límite en el punto (0, 0), pues:
lim lim lim 1 1
0 0 0
x y x y x
x y
y lim lim lim 1 1
0 0 0
y x x y y
x y
Como no coinciden la función no tiene límite en el punto (0, 0).
La misma función tiene límite en cualquier punto ( x , y ) siempre que x y 0. Por ejemplo,
en el punto (2, 1), y vale: 3 2 1
lim ( ,) ( 2 , 1 )
x y
x y
x y
Los límites iterados toman el mismo valor: 3 1
lim lim lim 2 1 2
x
x
x y
x y
x y x
b) La función f ( x , y ) x tiene límite cuando ( x , y ) → ( a , b ) y vale x a x y ab
( ,) (,)
lim.
Los límites iterados valen: x x a
x a y b x a
^
lim lim lim y x a a
y bx a y b
lim lim lim.
Límites direccionales
Sea y^ ^ g ( x )una curva continua que pasa por ( a , b ). Se define límite de f^ (^ x , y ) a lo largo de
g ( x )(a lo largo de la curva; o según la dirección dada por y g ( x )), cuando ( x , y ) tiende a
( a , b ), a lim f x , g ( x )
x a
En particular, suelen estudiarse límites a lo largo de rectas; para el caso ( x , y ) → (0, 0) es
normal tomar y mx.
Una condición necesaria, pero no suficiente, para que exista lim ( , ) ( ,) (,)
f x y x y ab
es que los
límites direccionales (cualquiera que sea la dirección, recta o curva) sean iguales.
Ejemplo :
La función
x y
x y x y
x
f x y no tiene límite en el punto (0, 0), pues el límite
según la dirección y mx vale:
x mx m
x f xmx x x
lim , lim 0 0
, y como este resultado
depende del valor de tome m , está claro que no puede coincidir en direcciones distintas.
También bastaría con observar que para m = 1, no existe el límite direccional.
Nota. Estos conceptos pueden ampliarse consultando “Cálculo y Geometría Analítica” de LarsonHostertler, p 855 ss. Ed. McGrawHill.
Derivada direccional
En un punto ( a , b , f ( a , b )) de una superficie z f ( x , y ), se experimentarán distintos cambios
según cuál sea la dirección en la que se inicie un desplazamiento. Si la dirección es la
determinada por un vector unitario u u 1 , u 2
, la derivada (cambio instantáneo) de f ( x , y )
en el punto ( a , b ) , según la dirección de u
, se define así:
h
f a hu b hu f a b
h
f ab hu u f ab f ab f ab u h h
u
lim
' ( , ) '( , ), lim
1 2 0
1 2
0
Por ejemplo, la derivada de f x y x y
2 ( , ) en (0, 0) según la dirección de u u 1 , u 2
es:
h
f hu hu f
h
lim
1 2 0
h
h u hu
h
2
2 1
2
0
lim
= 2 (^2)
2 1 0
lim hu u u h
Como se ve, la derivada depende de las coordenadas del vector u
, de su dirección.
Derivadas parciales
Si derivamos z f ( x , y )en las direcciones de los vectores canónicos : i
= (1, 0), j
se obtienen las llamadas derivadas parciales:
h
f a hb f ab
h
f ab h f ab f ab h h x
lim
´( , ) lim 0 0
h
f ab h f ab
h
f ab h f ab f ab h h y
lim
´( , ) lim 0 0
Notación : Las derivadas parciales suelen denotarse así:
x z x x
z
x
f x y f x y
´( , ) ; (^) y zy y
z
y
f x y f x y
Ejemplo : Las derivadas parciales de
2 2 f ( x , y ) 2 xy x xy en el punto (1, 2) valen:
lim
lim
( 1 , 2 ) lim
2
0
2 2
0 0
h
h h
h
h h h
h
f h f f h h h x
lim
lim
( 1 , 2 ) lim
2
0
2 2
0 0
h
h h
h
h h
h
f h f f h h h y.
En la práctica, las derivadas parciales se calculan utilizando las reglas de derivación
conocidas.
Para calcular f (^) x ( x , y )se deriva respecto a x , manteniendo constante la variable y. Para
calcular f (^) y ( x , y )se deriva respecto a y , manteniendo constante la variable x.
Ejemplos :
a) Para la función anterior se tendrá:
2 2 f ( x , y ) 2 xy x xy →
2 f (^) x ( x , y ) 2 y 2 x y ( 1 , 2 ) 2 · 2 2 · 1 2 10
2 fx
2 2 f ( x , y ) 2 xy x xy → f (^) y ( x , y ) 2 x 2 xy fy ( 1 , 2 ) 2 · 1 2 · 1 · 2 6
b) Si xy
y
f x y x
2 , se tiene:
f (^) x ( x , y ) 6 x y (se hace y constante); x y
f (^) y x y 2
( , ) (se hace x constante)
Regla de la cadena
Sea z f ( x , y )un campo con derivadas parciales continuas y sean x g 1 ( t )e y g 2 ( t )
funciones derivables, entonces z ( t ) f g 1 ( t ), g 2 ( t )es una función de t. Podemos hallar la
derivada total z ´( t )de la siguiente forma:
Un incremento de una unidad infinitesimal de t origina un cambio de g ´ (^) 1 ( t )y g ´ 2 ( t ) en x e y
respectivamente. Como un incremento de una unidad infinitesimal de x o y provoca un
incremento de f (^) x ´( x , y ), f (^) y ´( x , y )en z , aquel incremento unitario de t origina un cambio total
de z : z ´( t ) fx ´( x , y )· g ´ 1 ( t ) fy ´( x , y )· g ´ 2 ( t )
La expresión anterior puede escribirse así:
2
1
g t
g t z t fx x y fy x y.
El vector ^ f (^) x ´( x , y ), fy ´( x , y )se llama vector gradiente y suele denotarse por f ( x , y ).
Esto es: f ( x , y ) fx ´( x , y ), fy ´( x , y ).
Por tanto,
2
1
g t
g t z t f x y.
Otra forma de aplicar la regla de la cadena:
Si z f ( x , y ), x g 1 ( t )e y g 2 ( t ). Esto es: z ( t ) f g 1 ( t ), g 2 ( t ), entonces:
dt
dy f x y dt
dx f xy dt
dz (^) x ´( , )· y ´(, )·. O bien: dt
dy
dy
df
dt
dx
dx
df
dt
df · ·
Ejemplo : Sea z f ( x , y ) 3 x 2 y 5 xy
2 3 y sean
2 x 2 t e y 4 t , entonces:
´( ) 6 5 · 4 6 5 ·( 4 )
2 z t x y t y x ´( ) 12 20 · 4 96 10 ·( 4 )
2 2 2 z t t t t t t
3 2 z ´( t ) 48 t 264 t.
De otra forma. Si se sustituye antes
2 x 2 t e y 4 t en z f ( x , y ) 3 x 2 y 5 xy
2 3 , se
tiene: ( ) 3 ·( 2 ) 2 ·( 4 ) 5 ( 2 )( 4 )
2 2 3 2 z t t t t t
4 3 z ( t ) 12 t 88 t.
Si se deriva ahora, se tiene:
3 2 z ´( t ) 48 t 264 t
Derivada direccional (cálculo)
Si se quiere hallar la derivada de f ( x , y )en el punto ( a , b ) según la dirección del vector
unitario u u 1 , u 2
, esto es f ab u
' ( , ), , puede construirse la función de la variable t :
g ( t ) f ( a tu 1 , b tu 2 ).
Derivándola por la regla de la cadena, resulta:
g ´( t ) fx ( a tu 1 , b tu 2 )· u 1 fy ( a tu 1 , b tu 2 )· u 2
Haciendo t = 0: g ´( 0 ) fx ( a , b )· u 1 fy ( a , b )· u 2 = f ( a , b )·( u 1 , u 2 )
En definitiva: f ´ ( a , b ), u f ( a , b )·( u 1 , u 2 )
Observación: Puede verse que la dirección, la recta que pasa
por el punto ( a , b ) según la dirección del vector u u 1 , u 2
viene determinada por las ecuaciones
2
1 : y b tu
x a tu r
Esto justifica el cambio de variable hecho.
El vector u u 1 , u 2
debe ser unitario. Si no lo fuese,
habría que normalizarlo.
Ejemplo : Para f ( x , y ) x 2 y
2 , su derivada en el punto (1, 2) según la dirección del vector
u 3 , 4
, es: (^)
f ´ ( 1 , 2 ), u f ( 1 , 2 )·
= 5
El vector (^)
es el unitario en la dirección (y sentido) de u 3 , 4
f ( x , y ) 2 x , 2 f ( 1 , 2 ) 2 , 2 .
Propiedades del gradiente
Como se dijo anteriormente, la derivada direccional f ' (^) u^ ^ ( a , b )es aproximadamente igual a la
variación de z f ( x , y ) que resulta al desplazarse, desde el punto ( a , b ), una unidad en la
dirección del vector u
. Pues bien, se cumple que:
a) La dirección del gradiente es aquélla en la que la función f ( x , y )sufre una variación
máxima.
En efecto, según (1), la derivada direccional de f ( x , y )es un producto escalar de dos
vectores. Entonces: f ´ ( x , y ), u f ( x , y )·( u 1 , u 2 )
= f ( x , y )( u 1 , u 2 )cos.
Este valor será máximo cuando cos sea 1, cosa que ocurre si = 0º; es decir, cuando el
vector gradiente y el vector u u 1 , u 2
tengan al misma dirección y sentido.
(Análogamente, el valor de la derivada direccional será mínimo cuando el vector gradiente y
u
tengan al misma dirección y sentido opuesto.)
Por tanto, el crecimiento máximo (o mínimo) de f ( x , y )se produce cuando el
desplazamiento se realiza en la dirección del gradiente.
f ab u
´ ( , ), es la componente de f ( a , b ) a lo largo del vector unitario u
b) El gradiente es perpendicular a la curva de nivel de f ( x , y )que pasa por el punto ( a , b ).
En efecto, si nos movemos en la dirección de la curva de nivel, la variación de f ( x , y )es
nula: en la curva de nivel c , la función es constante: f ( x , y ) c. Pero, f^ ´^ (^ x , y ), u ^ ^0
cos 0 , que sucede cuando = 90º: cuando u
y
f ( x , y )son perpendiculares.
Ejemplo : Los ríos siguen, en cada punto de su
recorrido, la dirección de máxima pendiente, es decir, de
mayor decrecimiento de función altura. Se mueven
siempre perpendicularmente a las curvas de nivel.
