¡Descarga Variables Aleatorias: Tipos, Funciones y Estadísticas y más Exámenes selectividad en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Tema 1. Variables Aleatorias ◊ Definición de variable aleatoria ◊ Tipos de variables aleatorias ◊ Variable aleatoria discreta ◊ Función de probabilidad ◊ Función de distribución ◊ Esperanza y varianza ◊ Variable aleatoria continua ◊ Función de densidad ◊ Función de distribución ◊ Esperanza y varianza Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias
Definición de variable
aleatoria
Las variables aleatorias constituyen el eslabón entre la teoría de la probabilidad y la inferencia estadística. Las variables aleatorias son funciones que permiten pasar de los resultados de un experimento aleatorio (no necesariamente numéricos) a valores numéricos. Ejemplo Si el experimento consiste en lanzar una moneda, los resultados posibles no son numéricos, sino cualitativos:
{c, x}
Trabajar con resultados numéricos permite hacer uso de desarrollos matemáticos para aplicarlos convenientemente; de aquí la idea y el interés de buscar reglas que hagan posible pasar del espacio muestral original S, de elementos posiblemente no numéricos, a un nuevo espacio muestral, cuyos elementos van a ser números. S Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, llamaremos variable aleatoria a una función X que asocia a cada elemento w de S un número real X(w).
Definición de variable aleatoria
w x= X(w)
Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias Denotaremos a las variables aleatorias con letras mayúsculas, X, Y, Z,.. y con minúsculas a sus valores x 1 , x 2 , x 3 ,….; y 1 , y 2 , y 3 ,….; z 1 , z 2 , z 3 ,….. Ejemplo Sea el experimento aleatorio “Lanzamiento de una moneda 3 veces” y consideramos la variable aleatoria X=Número de caras; c = cara, x= cruz. Los valores que puede tomar la variable aleatoria son {0, 1, 2, 3} S {xcx,xxc,cxx} {ccc} {ccx,cxc,xcc} {xxx}
X(ccx)= X(ccc)= X(xxc)= X(xxx)=
Definición de variable aleatoria
Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias En función de cómo es el conjunto de valores que puede tomar la variable aleatoria, podemos clasificarlas en dos grandes grupos: Variables Aleatorias Discretas: Son aquellas cuyos valores posibles es un conjunto finito o infinito numerable. Por ejemplo, Número de hijos de familias que viven en Alicante {0, 1, 2, 3,…..} Número de accidentes de tráfico en un cruce peligroso {0, 1, 2, 3,…. } Valor obtenido en la suma de las puntuaciones al lanzar dos dados {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Variables Aleatorias Continuas: Son aquellas cuyos posibles valores están en un intervalo o en un conjunto de intervalos, es decir, un conjunto infinito no numerable. Por ejemplo, Tiempo que tarda en ser atendido un cliente en una carnicería [0,∞) Puntuación obtenida en un examen [0,10] Peso de los individuos de una determinada población [0,∞)
Tipos de variables aleatorias
Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias Sea el experimento aleatorio “Lanzamiento de una moneda 3 veces” y sea la variable aleatoria X = Número de caras, con c={cara} y x={cruz} La función de probabilidad será: P(X= 0 )= 1 / 8 P(X= 1 )= 3 / 8 P(X= 2 )= 3 / 8 P(X= 3 )= 1 / 8
Variables aleatorias discretas
Ejemplo
! 2 =! $ = 2 =! %%&, %&%, &%% =
=
X(ccx)= P(X=0)=1/ P(X=1)=3/ X(ccc)= X(xxc)= X(xxx)= {xcx,xxc,cxx} {ccc} {ccx,cxc,xcc} {xxx}
S
P(X=3)=1/ P(X=2)=3/ Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias
Variables aleatorias discretas
La función de distribución será: Para t< F(t)=P(X≤t)=P(X<0)= Para 0≤t< F(t)=P(X≤t)=P(X=0)=1/ Para 1≤t< F(t)=P(X≤t)=P(X=0)+P(X=1)=4/ Para 2≤t< F(t)=P(X≤t)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=7/ Para t≥ 3 F(t)=P(X≤t)=P(X≤3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=
8 %&^0 ≤^ "^ <^1
8 %&^1 ≤^ "^ <^2
8 %&^2 ≤^ "^ <^3
Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias
Variables aleatorias discretas
También podremos contestar preguntas del tipo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener como mucho 1 cara? P(X≤1)=F(1)=P(X=0)+P(X=1)=1/8+3/8=4/8=1/2=0. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 2 caras? P(X>2)=1-P(X≤2)=1-F(2)=P(X=3)=1/8=0. ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 1 y 2 caras? P(1≤X≤2)=P(X≤2)-P(X<1)=F(2)-F(0)=P(X=1)+P(X=2)=3/8+3/8=6/8=0. Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias
Variables aleatorias discretas
Esperanza Definimos unos parámetros (constantes) asociados a cualquier variable aleatoria, al igual que se hace para las variables estadísticas estudiadas en estadística descriptiva. El conocimiento de los valores numéricos de estos parámetros permite al investigador conseguir una amplia visión de la naturaleza de las variables. Esperanza (Valor esperado de la variable aleatoria) Sea X una variable aleatoria que toma k valores diferentes. Intuitivamente, la esperanza de X, representada por E[X], es el valor promedio después de un número grande de experimentos (atendiendo a su distribución de probabilidad). Su definición formal es:
&'( )
*&×,($ = *&)
Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias
Variables aleatorias discretas
!"^ = $ % = & '()
+'^ ", % = +' − ."^ = 0 "×, % = 0 + 1 "×, % = 1 + 2 "×, % = 2 + 3 "×, % = 3 − 12 8 " = = 0 × 1 8
- 1 × 3 8
- 4 × 3 8
- 9 × 1 8 − 12 8 " = 7 8 Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias
Variables aleatorias continuas
Una variable aleatoria continua toma sus valores en un intervalo. Sea X una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo I=(a,b) y sea A un subconjunto de valores dentro del intervalo ( ). Se definen: La función de densidad, que se denota mediante f(x), que nos permite calcular la probabilidad de cualquier subconjunto A mediante ! " ∈ $ = & ' ( ) *) La probabilidad de todo el intervalo es 1 y la probabilidad de cada valor individual es 0 ; es decir, La función de distribución, que se denota mediante F(x), permite el cálculo de la probabilidad acumulada hasta cierto valor de la variable aleatoria. Su definición es
,
- ( ) *) = 1!^ "^ =^ /^ =^ & 0 0 ( ) *) = 0 2 / =! " ≤ / = & , 0 ( ) *)
Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias
Variables aleatorias continuas
Ejemplo
Las edades de un grupo de ejecutivos que acuden a un congreso se distribuyen uniformemente entre treinta y cinco y sesenta y cinco años. Si X representa la edad en años, su función de densidad es Obtener la probabilidad de que la edad de un ejecutivo elegido al azar:
- Sea como mucho 45 años:
- Sea superior a 60 años:
- Esté entre 45 y 50 años:
$
%& si^ 35<x<
' ( ≤ 45 = ∫%^ .--^! / 0/ = 1 ( 45 )
' ( > 60 = ∫ 7 7-&^! / 0/ = 1 − '(( ≤ 60 ) = 1 − 1 ( 60 )
' 45 ≤ ( ≤ 50 = ∫.^ -&-^! / 0/ = '(( ≤ 50 ) − '(( < 45 ) = 1 ( 50 ) − 1 ( 45 )
Estadística ADE/EE. Tema 1. Variables Aleatorias
Variables aleatorias continuas
Esperanza, varianza y desviación típica
La esperanza, varianza y desviación típica de una variable aleatoria continua que toma sus valores en un intervalo I, se definen como: ! " = $ % &' & (& V " = $ % & − !(") - ' & (& DT " = 0 (")
