Funciones de variable real matematicas I, Apuntes de Ingeniería Mecánica

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er 1 Funciones reales de una variable real 1.1. Introducción Las funciones ocupan un lugar muy importante en las ciencias-puesto que permiten describir las relaciones que existen entre distintas magnitudes. Por ejemplo, el área de un cuadrado depende de su lado 4 = 1%; la longitud de una circunferencia está relar cionada con su radio L = 2rr; todas las relaciones de la Física son también funciones: expresan cómo ciertas magnitudes (por ejemplo, el volumen de un gas) dependen de otras (presión y temperatura). En este capítulo estudiaremos el concepto de función real de variable real e intro- duciremos los conceptos básicos relacionados con ella y que constituyen la base para el estudio del cálculo diferencial e integral que se propone en los siguientes capítulos. 1.2. Funciones Antes de introducir el concepto de función real de variable real, recordaremos los conceptos de correspondencia y aplicación. Definición 1.2.1. Sean A y B dos conjuntos. Una correspondencia entre A y B es una ley que asocia elementos de A con elementos de B. Una aplicación entre A y B es una correspondencia que asocia a cada elemento de A un y sólo un elemento de B. Se denota por F:AS>B ab 2 Funciones reales de una variable real b se llama imagen de a y a antilmagen de b. En este curso estaremos interesados en aplicaciones entre conjuntos de números reales. Definición 1.2.2. Se llama función real de variable real a toda aplicación f entre dos subconjuntos A y B de R. F:ASB ce y=¿(1) La expresión y = f(x) define y como función de x. La variable x se llama variable independiente, y la variable y variable dependiente (su valor depende de £). Distinguimos los siguientes conjuntos: - El dominio de f es el conjunto de valores donde la función se encuentra definida. Se denota por Domf ó D(f). Domf =42 €R | 37(0) e RJ - El conjunto de valores que toma la función se denomina imagen, rango o recorrido de f. Se denota por Im. Imf = [y € B|3Iz € Atal que f(x) = y? - El conjunto Gy =1(0,f(2)) [1 € 4) CR se llama gráfica o grafo de f. Ejemplo 1. h » Dada la función f(x) = 2? su dominio es Domf = R y su recorrido Im R* U(0) = (0, +00). La gráfica viene dada en la Figura 1,2. » El dominio de la función g(u) =—yz +1 es Domg = (2 ER|x+12> 0) = |[-1,-+00) y su recorrido Img = (—oo, 0]. La gráfica viene dada en la Figura 1.2. O Ejercicio 1. Calcular el dominio y el recorrido de las funciones f(x) = ¿Ti? ola) = sen z. 4 Funciones reales de una variable real 1.3. Operaciones con funciones En el conjunto de funciones podemos definir una serie de operaciones de tal manera que el resultado de la operación sea una nueva función. Definición 1.3.1. Dadas dos funciones f, g : A — R, definimos las siguientes opera- ciones: = Suma de funciones. +9: AB 2 (0) + gl) == Producto de funciones. F-g:ASB 2 f() « gl) a Cociente de funciones. Fa: AB a Ha)/g(z) siempre que g(x) 40Vx € A. Otra forma de combinar dos funciones es a través de su composición. Definición 1.3.2. Dadas dos funciones f y g, se puede definir la función f compuesta con g, y se denota por go f, a la función dada por (go Pta) = gl A) Ejemplo 2. Dadas las funciones f(x) =2x +1 y g(0) = 52% +2, (go Ha) =90 (2) = 900 +1) =5(20 +1)? +2= 20% +20% +7, Eogía) = ato) = (62 +2) = 25? + 2) + 1= 1027 +5. Observación 1.3.1. En general, (go f(x) 4 (f o g)(=). Es decir, no conmutan, 1.4. Tipos de funciones 5 Definición 1.3.3. Sea f : A — B una función inyectiva, Definimos la función inversa de f y la denotamos por f7* a. la siguiente función JUBSA y > z tal que f(%) = y Observación 1.3.2. Se verifica que f“(f(2)) = zx para todo x € Á y F(f (y) = y para todo y € B. ¿Cómo se calculan las funciones inversas? La idea es resolver la ecuación y = f(x) considerando la variable x como incógnita. Ejemplo 3. Calcular la inversa de f(1) =20+1. y=20+1 > y-1=% => aL Por tanto, y) = a Comprobemos que, en efecto, son funciones inversas: A -1 -1 O) =f (17) =2 (55) +1=y-14+1=3, 2, - Pa) =P a En las funciones inversas se cumple que Dompf*=Rgf y Raf *=Domf. Además, las gráficas de las funciones inversas son simétricas respecto a la recta y = z (bisectriz del primer-tercer cuadrante). Ver Figura 1.3, 1.4. Tipos de funciones Las funciones pueden especificarse de distintas formas: dando la ley que relaciona. las variables, a través de fórmulas, a partir de su gráfica, dando una tabla de valores, ..., En este curso trabajaremos sobre todo con la representación en forma explícita y en forma implícita de las funciones. Funciones explícitas son aquéllas en las que la variable dependiente está despejada. Si ninguna de las variables está despejada le función recibe el nombre de implícita. Va+l +5 La función 2? + 2y = 1 viene dada de forma implícita. Ejemplo 4. La función y = sen(3x +2) +1og ( ) está dada. de forma explícita. 1.4, Tipos de funciones 7 7 1 3 $ 7 9 10 a E 1 7 Figura 1.5: Gréficas de las funciones pares 2?” con n E N y de las funciones impares am con nEN. = par si Vx € A se tiene f(—2) = f(x). » impar si Vx € A se tiene f(—20) = f(x). Observar que las gráficas de las funciones pares son simétricas respecto al eje OY, mientras que las gráficas de las funciones impares son simétricas respecto del origen. Ejemplo 5. Las funciones f(x) = 22 son funciones pares mientras que las funciones g(=) = z2+1 son funciones impares. Ver Figura 1.5. [ml Ejercicio 2, Determinar si las funciones f(x) = 1 — zx, g(x) = cosz—3 y h(x) = x? — 2 +1 son pares, impares o ninguna de las dos, Definición 1.4.4. Una función f : R — R se dice periódica de periodo p > O si Ho +p)= (2) Ya ER. 8 Funciones reales de una variable real Ejemplo 6. Las funciones f(x) =senz y g(z) = cos z son 27—periódices. La función tangente es r—periódica, [ml Observar que para conocer cómo es la gráfica de una función p—periódica basta con conocerla en un intervalo de amplitud p, 1.4.2. Algunas funciones elementales Las funciones a menudo son agrupadas en familias de acuerdo a su forma o a otras características comunes. Algunas de las familias más comunes son las siguientes. Funciones lineales Las funciones lineales son funciones de la forma y=mMI+N, con m y n números reales, Esta función es estrictamente creciente sim > 0 y estricta- mente decreciente si m < 0. Funciones potenciales Las funciones potenciales son funciones de la forma, y=x*, con p un número real. Las funciones y = 2” con n E ÑN par son funciones pares, simétricas respecto del eje OY, decrecientes en (—00,0) y crecientes en (0, -+00). Su rango es [0, +00). Las funciones y = 2” con n € N impar son funciones impares, simétricas respecto del origen y crecientes en todo KR, Su rango es R. 10 Funciones reales de una variable real FER > R A IN / 2 > sg V Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades: (a) F(R) = [1,1] luego f acotada, (b) Es par. (e) Es 27—periódica. Relaciones entre les funciones seno y coseno: a) senix + cos? g =1 b) sen (a + b) = senacos b + cos asen b ce) cos(a +b) = cosacos bh = sen asen b d) sena+snf=200n CTO 00926, sena — sen = 2008 Léon 2, cosa + cos =200s LLL 009 EL, cos ar — cos $ = —290n LEÉ gy 2 2 2 3. Función tangente de x f:oD=R J) ) ) co > te “PH "f 1372 Dominio D=RY (ER | cosz=0)=RY ((2%+1)3, ke Z) Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades: (a) F(R) =R luego f no es acotada. (b) Es impar. (e) Es r—periódica, 1.4. Tipos de funciones 11 Funciones inversas de las funciones trigonométricas 1. Función arcoseno de z Ñ _ f: 11 > [-55) z > arcsenz (y tq seny =2) A 2 Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades: (a) (1,1) = (-2, F] luego f acotada. (b) Es impar. 2, Función arcocoseno de z f: (1,1 > [7] xo => arccosz (y tq cos y = 2) TZ -l Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades: (8) f(-1,1)) = [0,71] luego f acotada. (b) Es par, 3. Función arcotangente de x FOR o (3,5) 222 z > arctanz (y tq tan y = 2) Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades: (2) F(M) = (3,7) luego f acotada. (b) Es impar. 1 1.4. Tipos de funciones es el exponente al que hay que elevar la base para obtener x. Por ejemplo: l0g,0 100=2, log,16=4, La función f(2) = log, y se llama función logaritmo en base 5. La función logaritmo también puede verse como la, inversa de la función exponencial, El caso b = e se conoce como logaritmo natural y también se suele designar como ln 7. Esta función verifica, entre otras, las siguientes propiedades: 1. F((0, +00) =R. 2. f noes acotada. 3. Es estrictamente creciente si b > 1 y estrictamente decreciente si 0 1 logb) 00 38>0tal que si0 | Hz) -L|0 38>0 tal que six € (20,29 +8) > |fa)—L|0 238>0tal que six € (10-520) > |f(1)-L]R una función continua. Entonces f es una función acotada. Teorema 1.6.2. (Teorema de Weierstrass.) Sea f : [a,b] >R una función con- tinua, entonces f alcanza su mázimo y mínimo en [a, bl, es decir, exisien x1, 22 € a, b] tales que Hu) < f() < Hua), Wa e le,dl. Teorema 1.6.3. (Teorema de Bolzano.) Sea f : [a,b] > R una función continua. Supongamos que f(a) - f(b) < 0. Entonces, existe c € (a,b) tal que F(c) =0. Los puntos zo tales que f (zp) = 0 se llaman raíces, ceros O soluciones de f. El teorema de Bolzano nos indica que bajo las condiciones del teorema, existe al menos una raíz de f en (a,b). El teorema no afirma nada sobre el números de raíces-que existen en el intervalo, Como consecuencia del teorema de Bolzano tenemos los siguientes resultados. Teorema 1.6.4. (Teorema de los valores intermedios o de Darbouz.) Sea f : [a,5] — R una función continua y tal que f(a) A F(b). Entonces, para todo Yo entre Fa) y F(b), existe xo € (a,b) tal que f(xo) = Yo- Observar que la propiedad de Darboux nos indica que, bajo las condiciones del teorema, f toma todos los valores comprendidos entre f(a) y F(b).