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TEMA 2:
VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
INDICE
^
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA:
-^ Función de densidad -^ Función de distribución
^
CARACTERISTICAS DE UNA V. A. CONTINUA
-^ Esperanza matemática -^ Propiedades
^
DISTRIBUCIONES NOTABLES
-^ Uniforme. -^ Exponencial -^ Normal
^
APROXIMACIONES CONTINUAS A DISTRIBUCIONESDISCRETAS
-^ Binomial – Normal -^ Poisson – Normal
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
3
EJEMPLO INTRODUCTORIO
A continuación vamos a mostrar intuitivamente el concepto de función de densidad.
Nos basamos en el polígono de frecuencias y en el concepto frecuentista
de
la
probabilidad,
es
decir,
si
el
número
de
repeticiones
del
experimento
aleatorio
tiende
a^
infinito
la
frecuencia
tiende
a^
ser
la
probabilidad
(medida
de
incertidumbre).
Dado que estamos trabajando con variables continuas podemos reducir la amplitud de las clases hacia cero porque tendremosobservaciones en cada clase.
Este doble proceso nos permite ver gráficamente el concepto de función de densidad.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
FUNCIÓN DE DENSIDAD
EJEMPLO INTRODUCTORIO
Sea
X el tiempo de espera de una persona hasta que llega
su autobús
. Sabiendo que es una línea regular y que pasa cada
diez minutos y la persona llega al azar a la parada del autobús, eltiempo de espera oscila aleatoriamente entre 0 y 10 minutos.
Observamos N personas y anotamos su tiempo para construir el histograma de la variable.
Comenzaremos con N=100 datos y aumentamos hasta 50. datos. Por otro lado, al aumentar el número de datos podemos irdisminuyendo
la
amplitud
de
las
clases
porque
ninguna
se
quedará vacía.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
5
Histogramas y Polígonos de frecuencias
Nº observaciones=
Amplitud=
FUNCIÓN DE DENSIDAD
0,15 0,1 0,05^0
0,^
1,^
2,^
3,^
4,^
5,^
6,^
7,^
8,^
9,
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Histogramas y Polígonos de frecuencias
Nº observaciones=
Amplitud=0,
FUNCIÓN DE DENSIDAD
0,15 0,1 0,05^0 0,25 0,75 1,25 1,75 2,25 2,75 3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 8,75 9,25 9,
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
7
Histogramas y Polígonos de frecuencias
Nº observaciones=
Amplitud=0,
FUNCIÓN DE DENSIDAD
0,15 0,1 0,05^0 0,
0,
1,
2,
3,
3,
4,
5,
6,
6,
7,
8,
9,
9,
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Histogramas y Polígonos de frecuencias
Nº observaciones=50.
Amplitud=0,
FUNCIÓN DE DENSIDAD
0,15 0,1 0,05^0 0,063 0,688 1,313 1,938 2,563 3,188 3,813 4,438 5,063 5,688 6,313 6,938 7,563 8,188 8,813 9,
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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Función de densidad (distribución triangular)
FUNCIÓN DE DENSIDAD
1,2^1 0,8 0,6 0,4 0,2^0
X
Serie1Serie
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
VARIABLE CONTINUA
Una variable aleatoria
X se dice continua si tiene
asociada una
función de densidad
que indica la cantidad
de probabilidad que se distribuye en cada punto del espacio.
Se denota por
f(x)
y es una función no negativa y el área
que encierra con el eje de abscisas es uno.
La función de densidad no representa una probabilidad, no
obstante,
f(x)dx
se
interpreta
como
la
probabilidad
infinitesimal de que la variable X tome valores dentro delintervalo (x-0.5dx,x+0.5dx).
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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FUNCIÓN DE DENSIDAD
Propiedades:
0 )x (^
f
1 ) (^
^
dx x f
^
b a^
dx x f
b X a P^
) (
)
( ^
^
^
A
) ( A^
dx x f
A X P
^
^
^
x
x X P^
0
Recordar que:
a) b) c)
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
La función de distribución de una variable aleatoria continuapuede expresarse como:donde
f^
es la función de densidad de la variable aleatoria X.
Por lo tanto, podemos decir que:
F(x)
tiene
las
mismas
propiedades
que
en
el
caso
discreto.
^
^
^
^
x
x
f(t)dt
x X P
F(x)
h
)h x X x( P lim
h
)x (F )h x( F lim x F x f^
0 h
0 h
^
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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CARACTERÍSTICAS
ESPERANZA MATEMÁTICA Sea X una variable aleatoria continua con funciónde densidad f(x), y sea la funciónSe
llama
esperanza
de
la
variable
aleatoria
g(X)
a^
la
siguiente expresión: Es el promedio de los valores que tomaría la función g(x) si
repitiésemos infinitas veces el experimento aleatorio.
))( X(g g )( X X
que tal
:g
) ( ) (
)] X( [^
^
^
dx x f x g g E
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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CARACTERÍSTICAS
CARACTERÍSTICAS PRINCIPALES
MEDIA, Valor esperado o Esperanza de X
Es el centro de gravedad de la distribución y nos indica lasituación de la variable en la recta real (habrá valores pordebajo y por encima de
VARIANZA
Indica la dispersión de la variable, es decir, la variabilidado amplitud de la misma. A mayor varianza tendremosmayor incertidumbre.
) (
] [^
^
^
dx x xf
X E
) ( ) ( ] )
[(
) (^
2
2
2
^
^
dx x f x X E X
Var
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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CARACTERÍSTICAS
Propiedades
:
a,b
R ; g, h funciones
- E[a h(x) + b g(x)] = a E[h(x)] + b E[g(x)]2. E(a X + b) = a E(X) + b3. Var(a X + b) = a
2 Var(X)
4. Tipificación de variables
: Sea X una variable aleatoria con media
y
varianza
Definimos la variable aleatoria Z como: entonces, Z es una variable tipificada que cumple que
E(Z) = 0 y Var(Z)=1.
5. (Fórmula abreviada de la varianza) 6. La media minimiza el error cuadrático medio de predicción7. E[aX+bY] = aE[X]+ bE[X]8. Var(aX+bY) = a
2 Var(X)+b
2 Var(Y)+2abCov(X,Y)
^
X Z
^
2
) ( ) ( ) (^
X E
X E X Var
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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PARALELISMO ENTRE DISTRIBUCIONES
DISCRETAS Y CONTINUAS
Discretas
Continuas
Soporte
Toman un número finito o infinito
numerable de valores
Toman valores comprendidos
dentro de um intervalo
Su distribución de probabilidad se describe a
partir de
DX
= {x
R
: p(x)>0}
soporte
p(x) = P(X=x)
p(x)
función de probabilidad o cuantía^ Verifica p(x)
≥0,
^ DuX
up
= 1
DX
= {x
R
: f(x)>0}
soporte
f(x)dx
^
^
dx^2 x X dx^2 x P f(x)
función de densidad Verifica f(x)
≥0,
du)u (f
=
Función de distribución
F(x) = P(X
≤x) =
xu
up
Constante a trozos con saltos en los
puntos del soporte
F(x) = P(X
≤x) =
^ x
du)u (f
Continua y derivable
F’(x) = f(x)
Cálculo de probabilidades
P(X
A) =
Au
up
P(X
A) =
A
du)u (f
Esperanza Matemática
E[g(X)] =
^ DuX
up )u( g^
E[g(X)] =
du)u (f) u(g
Cuantiles (
0<p<1)
xp
R^ : F
p≤ F(x
)p
donde F
)u (F
lim
x u^
xp
R^ : F(x
) = pp
Moda
Mo
R
: p(Mo) =
)x( p
max
DX x^
Mo
R
: f(Mo) =
)x( f
max
DX x
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL Diremos que una variable aleatoria X se distribuye según una exponencial de parámetro
con
, y lo pondremos
X
Exp(
), si su función de densidad es
Características: ( Falta de memoria
): Si X
Exp(
x,h>
^
^
caso otro en
0
0 si
e
) (
x-
X
x f
^1 ] X[ E^
12 ] X[ V
^
h
X P )x
X h x X( P^
CASOS NOTABLES
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
CASOS NOTABLES
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
f(x)
x
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
Es la ley de probabilidad más utilizada
^
La distribución normal proporciona una buena aproximación a una gran cantidad
de
variables:
coeficiente
de
inteligencia,
estatura,
rendimientos,
resistencia, peso, ... ^
Es una buena aproximación para otras distribuciones: Binomial, Poisson, ... ^
En Inferencia Estadística se resuelven fácilmente muchos problemas bajo la hipótesis de normalidad ^
TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE^ Cuando los resultados de un experimento son debidos a unconjunto muy grande de factores independientes, que actúansumando sus efectos, siendo cada efecto individual de pocaimportancia
respecto
al
conjunto,
es
esperable
que
los
resultados sigan una distribución normal.
CASOS NOTABLES
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Diremos que una variable aleatoria X se distribuye según una
normal
de
parámetros
y^
,^
y^
lo
pondremos
X
N(
), si su función de densidad es
Diremos que una variable aleatoria X se distribuye según una
normal
estándar
, y lo pondremos X
N(
) si X sigue
una distribución normal con media 0 y varianza 1. Su funciónde densidad viene dada porLa función de distribución de una normal estándar se sueledenotar por
x
si
1 2
) (^
(^22) 2
) (
x e
x f
^
x
si
e 1 2 )x (^
(^2) x (^2)
CASOS NOTABLES
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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CASOS NOTABLES
DISTRIBUCIÓN NORMAL
0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0,0000 -0,
-10,
-8,
-6,
-4,
-2,
0,^
2,^
4,^
6,^
8,^
10,
N(0,1)N(-mu,1)N(mu,1)
Cambio de origen: media
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
CASOS NOTABLES
DISTRIBUCIÓN NORMAL
0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 -0,
-10,
-8,
-6,
-4,
-2,
0,^
2,^
4,^
6,^
8,^
10,
N(0,1)N(0,s)N(0,1/s)
Cambio de escala: desviación típica
s>
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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DISTRIBUCIÓN NORMALCaracterísticas:
E(X) =
^
y Var(X) =
2
Propiedades: ^
Si X
N(
) e Y = aX + b con a, b constantes entonces
Y
N(a
a
^
En particular, Z = ^
La función de densidad de una distribución normal tieneforma campaniforme y es simétrica respecto a su media:
La desviación típica
indica la dispersión.
^
Los coeficientes de asimetría y de curtosis de la distribuciónnormal son 0 ^
También recibe el nombre de distribución gaussiana
N(0,1) es
X
CASOS NOTABLES
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
APROXIMACIONES
APROXIMACIÓN BINOMIAL-NORMAL Sea X~Bi(n,p) con n grande y p intermedio (0.
p
Sean a,b
{0,...,n}
P(a
X
b)
P(a-0.
Y
b+0.5)
(Aproximación con corrección de continuidad)
Esta aproximación también es buena cuando:
np>5 y 0.1<p<0.
Sea Y~N(np, Recordar que si n es grande (n>30) y p pequeño (p<0.1), labinomial será aproximada por una Poisson de parámetro =np.
npq
) con q=1-p
