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PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Problema 1
Las siguientes gráficas co- rresponden a funciones, al- gunas de las cuales conoces y otras no. En cualquier caso, vas a trabajar con ellas.
Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas son:
a) y = b) y = c) y = d) y = x^2 – 6 x + 11
Asigna a cada gráfica su ecuación haciendo uso, sucesivamente, de:
**- el conocimiento que ya tienes de algunas de ellas;
- la comprobación, mediante cálculo mental, de algunos de sus puntos;
- y, en caso de necesidad, recurriendo a la calculadora para obtener varios de** sus puntos.
a) ⇔ III b) ⇔ II c) ⇔ IV d) ⇔ I
Página 245
Problema 2
Teniendo en cuenta los pasos descritos antes, representa gráficamente las si- guientes funciones:
a) y = b) y = c) y = x^ + 5^ si^ x^ ≤^^0 2 x si x > 0
3 si x < – 2 – x si x ≥ –
x + 3 si x < 1 5 – x si x ≥ 1
x
√ x + 1
x^2
FUNCIONES ELEMENTALES
I
III
II
IV
Página 247
- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = b) y = c) y =
d) y = e) y = f ) y = 1/
g) y = 1/ h) y = 1/ i) y = 1/
j) y = 1/ k) y = x^3 – 2 x + 3 l) y =
m) y = n) y = ñ) y =
o) y =
p) El área de un cuadrado de lado variable, l , es A = l^2.
a) Á b) [1, ∞) c) (–∞. 1]
d) [–2, 2] e) (–∞, –2] U [2, ∞) f) (–∞, –1) U (1, ∞)
g) (1, ∞) h) (–∞, 1) i) (–2, 2)
j) (–∞, –2) U (2, ∞) k) Á l) Á – {0}
m) Á – {0} n) Á – {–2, 2} ñ) Á
o) Á – {–1} p) l > 0
Página 248
- Representa la siguiente función: y = –2 x + 7, x ∈ (1, 4].
x^3 + 1
x^2 + 4
x^2 – 4
x^2
x
√ x^2 – 4
√ x – 1 √ 1 – x √ 4 – x^2
√ 4 – x^2 √ x^2 – 4 √ x^2 – 1
√ x^2 + 1 √ x – 1 √ 1 – x
1 2 3 4
1
2
3
a) 4 b) c)
1 1
Y
X
Página 250
- Representa y = x^2. A partir de ella, representa:
a) y = x^2 + 5 b) y = x^2 – 2
- Teniendo en cuenta el ejercicio anteior, representa:
a) y = –^ x^2 b) y = –^ x^2 + 2
2 4
a) c) 6
Y X
1
b) (^1) X
Y
2
4
6
8
X
Y
2
4
2
4
6
8
10
y = —^1 x^2 4
a) b)
2
4
6
Y
X
Y Y
X
X
a) b)
2
X
Y
2
X
Y
Página 251
- Representa y = f ( x ) = x^2 para x ≥ 1.
A partir de ella, representa:
a) y = f ( x – 5) b) y = f ( x + 1)
c) y = f (– x ) d) y = f (– x + 2)
Página 252
- Representa:
a) y = b) y = –
c) y = d) y = + 2
x – 3
x – 3
x
x
1 3 5 7
1
3
5
7
1 3 5 7 9
1
3
5
7
a)
1
3
5
7
c)
1 3
1
3
5
7
b)
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
1
3
5
7
d) Y
X
- Representa:
a) y = + 1 b) y =
c) y = d) y = –
Página 254
- Representa esta función:
f ( x ) =
x + 1 x ∈ [–3, 0) x^2 – 2 x + 1 x ∈ [0, 3] 4 x ∈ (3, 7)
√ 4 – x
3
√ – x + 1
3
√ x + 1
3
√ x
a)
4 8 12
4
8
14
c)
b)
2
Y
X
Y
2
4
6
Y
X
d)
2
Y
X
a)
c)
b)
d)
1
2
Y
X
1
Y
X
1
2 Y
X
2
Y
X
4
2
Y
X
- Haz la representación gráfica de la siguiente función:
b) g ( x ) =
Página 255
- Representa: y = (^) – x^2 + 4 x + 5
- Representa gráficamente: y =
Página 256
- Si f ( x ) = x^2 – 5 x + 3 y g ( x ) = x^2 , obtén las expresiones de f [ g ( x )] y g [ f ( x )].
Halla f [ g (4)] y g [ f (4)]. f [ g ( x )] = f [ x^2 ] = x^4 – 5 x^2 + 3 g [ f ( x )] = g [ x^2 – 5 x + 3] = ( x^2 – 5 x + 3)^2 f [ g (4)] = 179; g [ f (4)] = 1
x 2
2 x + 1 x < 1 x^2 – 1 x ≥ 1
4
2
Y
X
4
2
4
6
8
Y
X
4
2
4
Y
X 2 6 8 10
6
f [ g ( x )] = f ( x – 1) = ( x – 1) + 1 = x Son funciones inversas.
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
1 ¿Cuáles de estas gráficas son funciones?
Son funciones a), b) y d).
2 Indica si los valores de x : 0; –2; 3,5; ; – 0,25 pertenecen al dominio de es- tas funciones:
a) y = b) y =
c) y = x – d) y =
e) y = f) y =
a) 3,5; b) Todos salvo – 2 c) Todos d) Todos e) 3,5 f ) Todos
√ x – 3 √ 7 – 2 x
√ 2 √ x^2 + 4
x x^2 – 4
√ x
y = x + 1
y = x – 1
Y
X
a) b) c)
d) e) f)
Y Y Y
Y Y Y
X
X X
X
X X
3 Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
e) y = f) y =
a) Á – {–1, 0} b) Á – {2}
c) Á – {–1/2} d) Á
e) Á – {0, 5} f ) Á – {– , }
4 Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) (–∞, 3] b) [1/2, +∞)
c) (–∞, – 2] d) (–∞, 0]
5 Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y = b) =
c) y = d) y =
e) y = f ) y =
g) y = h) y =
a) x^2 – 9 ≥ 0 → ( x + 3) ( x – 3) ≥ 0 → Dominio = (+∞, – 3] U [3, +∞)
b) x^2 + 3 x + 4 ≥ 0 → Dominio = Á
c) 12 x – 2 x^2 ≥ 0 → 2 x (6 – x ) ≥ 0 → Dominio = [0, 6]
d) x^2 – 4 x – 5 ≥ 0 → ( x + 1) ( x – 5) ≥ 0 → Dominio = (–∞, – 1] U [5, +∞)
e) 4 – x > 0 → 4 > x → Dominio = (–∞, 4)
f ) x^2 – 3 x > 0 → x ( x – 3) > 0 → Dominio = (–∞, 0) U (3, +∞)
g) x^3 – x^2 = 0 → x^2 ( x – 1) = 0 → x 1 = 0, x 2 = 1 → Dominio = Á – {0, 1}
h) x^4 – 1 = 0 → x^4 = 1 → x = ± 4 √ 1 = ±1 → Dominio = Á – {–1, 1}
2 x x^4 – 1
x^3 – x^2
√ x^2 – 3 x
√ 4 – x
√ 12 x – 2 x^2 √ x^2 – 4 x – 5
√ x^2 – 9 √ x^2 + 3 x + 4
√ – x – 2 √ – 3 x
√ 3 – x √ 2 x – 1
x^2 – 2
5 x – x^2
x^2 + 2 x + 3
x – 1 2 x + 1
x ( x – 2)^2
x^2 + x
b)
Vértice: (0, 3). Corte con los ejes: ( , 0), (– , 0), (0, 3)
c)
Vértice: (0, – 4). Corte con los ejes: ( , 0), (– , 0), (0, – 4)
d)
Vértice: (0, 0). Corte con los ejes: (0, 0)
9 Representa las siguientes funciones:
a) y = x^2 + 2 x + 1 b) y = + 3 x + 1
c) y = – x^2 + 3 x – 5 d) y = + 3 x + 6 x^2 3
x^2 2
2
Y
X
2
Y
X
Y X
2
a)
4
2
b)
c)
d)
2
4
6
Y
X
Y
X
Y X
Y
X
Página 267
10 En las siguientes parábolas, halla el vértice y comprueba que ninguna de ellas corta al eje de abscisas. Obtén algún punto a la derecha y a la izquierda del vértice y represéntalas gráficamente: a) y = 4 ( x^2 + x + 1) b) y = 5 ( x + 2)^2 + 1
c) y = – x^2 – 2 d) y = – ( x^2 + 2)
a) b)
Vértice: (^) (– , 3) Vértice: (–2, 1)
c) d)
Vértice: (0, – 2) Vértice: (^) (0, – (^) )
11 Observando la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de defi- nición y su recorrido:
Los dominios son, por orden: [–2, 2]; (–∞, 2) U (2, +∞) y [–1, +∞). Los recorridos son, por orden: [0, 2], (0, +∞) y [0, +∞).
12 Representa las siguientes funciones en las que se ha restringido voluntaria- mente su dominio:
a) y = x^2 – 4, si x ∈ [–2, 3] b) y = 5 – , si x ∈ [2, + ∞ ) x 2
- 2 2 2 – 1 2
Y Y Y
X X
X
2
4
Y
X
2
4
Y
X
Y X
Y X
a) b)
2
6
2 6 10 14 18 22
2 4
Y
X
Y
X
17 Halla el dominio de definición de estas funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
a) (–∞, 0] U [2, +∞) b) Á
c) (^) [– , (^) ] d) (–∞, 1] U [2, +∞)
18 Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
a) y = + 2 b) y = c) y = – 3 d) y =
a) II b) III c) IV d) I
19 Esta es la gráfica de la función y = f ( x ):
Representa, a partir de ella, las funciones: a) y = (^) f ( x ) b) y = f ( x – 1) c) y = f ( x ) + 2
x – 4
x
x + 3
x
√ 5 – x^2 √ x^2 – 3 x + 2
√ x^2 – 2 x √ x^2 + 3
4 2
- 2
I
- 4
2 4 6
II
2
- 2
2 4
III IV
2
4
**- 2
2
**- 2
Y (^) Y
Y Y
X X
X
X
2
2
Y
X
Página 268
20 Haz una tabla de valores de la función y = 3 x****. A partir de ella, representa la función y = log 3 x****. ☛ Si el punto ( 2, 9 ) pertenece a y = 3 x, el punto ( 9, 2 ) pertenecerá a y = log 3 x.
21 Con ayuda de la calculadora, haz una tabla de valores de la función y = (^) ( )
x
y represéntala gráficamente.
2
2
4
Y
X
a) c)
2
2
4
Y
X
b)
4
2
2
4
Y
X
x (^) – 2 – 1 0 1 2 3 x^ 1/9 1/3 1 3 9
2
4
2 (1, 0)
(0, 1)
y = 3 x
y = log 3 x
Y
6
8
4
x (^) – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 y (^) 4,63 2,78 1,67 1 0,6 0,36 0,
1
2
2
y = (^) (—^3 ) x 5
Y
3
4
x (^) 1/9 1/3 1 3 9 log 3 x (^) – 2 – 1 0 1 2
26 Representa la gráfica de y = log 1/3 x a partir de la gráfica de y = (^) ( )
x .
27 Comprueba que las gráficas de y = 3 x^ e y = (^) ( )
x son simétricas respecto al eje OY****. ☛ Represéntalas en los mismos ejes.
PARA RESOLVER
28 Representa: a) y = b) y = (2 x + 2)/3 si x < 2
- 2 x + 6 si x ≥ 2
x /2 + 2 si x ≤ 2 x – 3/2 si x > 2
y = log 1/3 x
1
2
2
y = (^) (—) 1 x 3
Y
X
3
4
2
4
4
Y
X
6
8
(0, 1)
y = (^) (—) y = 3 x 1 x 3
a) b)
2
2 4
2 4
Y
X
Y X
29 Dibuja la gráfica de las siguientes funciones:
a) y = b) y =
c) y = d) y =
30 Representa:
a) y = b) y =
31 A partir de la gráfica de f ( x ) = 1/ x , representa:
a) g ( x ) = f ( x ) – 2 b) h ( x ) = f ( x – 3) c) i ( x ) = – f ( x ) d) j ( x ) = (^) f ( x )
(– x^2 /2) + 2 si x < 1 x – 3 si x ≥ 1
- x – 1 si x ≤ – 1 2 x^2 – 2 si – 1 < x < 1 x – 1 si x ≥ 1
- x^2 si x < 0 x^2 si x ≥ 0
- x^2 – 4 x – 2 si x < – 1 x^2 si x ≥ – 1
x^2 – 2 x si x ≤ 2 3 si x > 2
x^2 si x ≤ 1 (2 x – 1)/3 si x > 1
a) b)
c) d)
2
4
2 4
2
4
2 4
2
2 4
2
2 4
Y
Y Y
Y
X
X X
X
a) b)
2
2 4
2
2 4
Y Y
X X
