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PÁGINA 116
R A C T I C A
F u n c i o n e s l i n e a l e s
1 Asocia a cada función su ecuación. Di, en cada caso, cuál es su pendiente.
a) y + 2 = 0 b) 3 x – y = 3 c) y = 2 – x d) 2 x – 3 y = 12
Pendientes: a) m = 0 b) m = 3 c) m = – d) m = 2/
2 Representa las siguientes funciones lineales:
a) y = 2 x – 3 b) y = x
c) y = d) y = 2,
3 Resuelto en el libro de texto.
y = 2 x – 3
y = —^47 x
y = – ————^3 x^ + 10 5
X
Y
2
y = 2,
–3 x + 10 5
–2 2 4 6
2
c) y = 2 – x
a) y + 2 = 0
d) 2 x – 3 y = 12
b) 3 x – y = 3
X
Y
–2 2 4 6
2
X
Y
P
Pág. 1
4 Halla, en cada caso, la ecuación de las rectas que pasan por los puntos
A y B****. a) A (3, 0), B (5, 0) b) A (–2, – 4), B (2, –3) c) A (0, –3), B (3, 0) d) A (0, –5), B (–3, 1) a) y = 0
b) m = = ; y + 4 = ( x + 2) 8 y = x –
c) m = = 1; y + 3 = x 8 y = x – 3
d) m = = –2; y + 5 = –2 x 8 y = –2 x – 5
5 ¿A cuál de las siguientes funciones corresponde la gráfica dibujada?
f ( x ) = g ( x ) =
h ( x ) =
Una de las otras dos funciones describe la pendiente de esta gráfica en cada punto. ¿Cuál es?
La gráfica corresponde a la función g ( x ). La función que describe la pendiente de la gráfica en cada punto es h ( x ).
6 Representa las siguientes funciones definidas a trozos:
a) y = b) y =
c) y =
X
Y
a) b) c)
2
X
Y
(^2) X
Y
2
- x + 3 si x < 1 2 si 1 Ì x < 2 x si x Ó 2
° § ¢ § £
–3 si x < 0 2 x + 1 si x Ó 0
° ¢ £
2 x si x Ì – –2 si –1 < x Ì 3 x – 5 si x > 3
° § ¢ § £
–2 2 4 6
2
X
Y
4
2 si –3 < x < 0 –1 si 0 < x < 3 0 si 3 < x < 8
° § ¢ § £
2 x + 5 si –3 Ì x < 0 5 – x si 0 Ì x < 3 2 si 3 Ì x Ì 8
° § ¢ § £
2 x + 5 si –3 Ì x Ì – x + 5 si 0 Ì x < 3 2 x si 3 Ì x Ì 8
° § ¢ § £
Pág. 2
9 Representa las siguientes parábolas, hallando el vértice, algunos puntos
próximos a él y los puntos de corte con los ejes. a) y = ( x + 4)^2
b) y = x^2 + 2 x
c) y = –3 x^2 + 6 x – 3 d) y = – x^2 + 5
a) Vértice: (–4, 0) Cortes con los ejes: (–4, 0) Otros puntos( –5, 1), (–6, 4), (–3, 1), (–2, 4)
b) Vértice: (–3, –3) Cortes con los ejes: (–6, 0), (0, 0)
Otros puntos: –5, – , –1, –
c) Vértice: (1, 0) Cortes con los ejes: (1, 0) Otros puntos: (0, –3), (2, –3), (–1, –12), (3, –12)
d) Vértice: (0, 5)
Cortes con los ejes: (0, 5), (^ , 0), (– , 0)
Otros puntos: (–1, 4), (–2, 1), (1, 4), (2, 1)
y = ( x + 4) 2
y = – x^2 + 5
y = –3 x^2 + 6 x – 3
1 3
y = — x^2 + 2 x
)
) ( 3
( 3
Pág. 4
10 Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) donde se encuentra el vértice de
las siguientes parábolas señalando, en cada caso, si se trata de un máximo o un mínimo. a) y = x^2 – 5 b) y = 3 – x^2 c) y = –2 x^2 – 4 x + 3
d) y = 3 x^2 – 6 x e) y = 5 x^2 + 20 x + 20 f ) y = – x^2 + 5 x –
a) Vértice en el punto (0, –5). Es un mínimo.
b) Vértice en el punto (0, 3). Es un máximo.
c) Vértice en el punto (–1, 5). Es un máximo.
d) Vértice en el punto (1, –3). Es un mínimo.
e) Vértice en el punto (–2, 0). Es un mínimo.
f ) Vértice en el punto (1, 1). Es un máximo
11 Representa las parábolas del ejercicio anterior.
a) y b) c) y d) y = x^2 – 5
X
Y
y = 3 – x^2
y = 3 x^2 – 6 x
y = –2 x^2 – 4 x + 3
X
Y
° § ¢ § £
p = — =^ – b^ —–5 = 1 2 a – x = 1 8 y = 1
° § ¢ § £
- b – p = — = — = – 2 a 10 x = –2 8 y = 0
° § ¢ § £
p = — =^ – b^ —^6 = 1 2 a 6 x = 1 8 y = –
° § ¢ § £
- b 4 p = — = — = – 2 a – x = –1 8 y = 5
° § ¢ § £
p = — = — = 0^ – b^^0 2 a – x = 0 8 y = 3
° § ¢ § £
- b 0 p = — = — = 0 2 a 2 x = 0 8 y = –
Pág. 5
14 Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de
valores. (Ayúdate de la calculadora).
a) y = 2– x^ b) y = 3 x^ + 1 c) y =
x + 3 d) y = 0,75 – x
15 Estudia el dominio de definición de las siguientes funciones y represén-
talas gráficamente: a) y = b) y = 7 – c) y = d) y = 2 +
a) Dominio = (–@, 2] b) Dominio = [–2, +@) c) Dominio = (–@, 0] d) Dominio = [–3, +@) Y
X
y = 2 – x
y = 7 – 2 x + 4
y = 2 + x + 3
y = – x
√ 2 – x √ 2 x + 4 √ – x √ x + 3
y = 2– x
X
Y
y = 3 x^ + 1
4
8
12
16
20
–4 4 8
y = 0,75– x
X
Y
y = (2/3) x^ + 3
4
8
12
16
20
–4 4 8
X (^) 0,75 – X –4 0, –2 0, 0 1 2 1, 4 3, 6 5,
X (^) (2/3)X^ + 3 –4 8, –2 5, 0 4 2 3, 4 3, 6 3,
X 3 X^ + 1 –4 1, –2 1, 0 1 1 4 2 10 3 28
X 2 – X –4 16 –2 4 0 1 2 0, 4 0, 6 0,
)
( 3
X
Y (^) 1 y = — x – 3 3 y = — x + 2
X
Y
Pág. 7
16 Resuelto en el libro de texto.
17 Di cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones y cuáles
son sus asíntotas. Represéntalas gráficamente.
a) y = b) y = –
c) y = + 2 d) y = + 2
a) Dominio = Á – {–3} b) Dominio = Á – {–1}
Asíntotas: x = –3, y = 0 Asíntotas: x = –1, y = 0
c) Dominio = Á – {1} d) Dominio = Á – {1}
Asíntotas: x = 1, y = 2 Asíntotas: x = 1, y = 2
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18 Asocia a cada gráfica la fórmula que le corresponde:
I) y = II) y = – 3 III) y = 3 – IV) y =
5 b) 5 c) 5 d) 5 a)
2
a)
c)
b)
d)
–4 –
2
X
Y
2 4 6
X
Y
2 4 6
2
X
Y
–4 –
2
–6 X
Y
IV
III
II
I
√ x – 3 √ x √ – x √ –3 x
X
y = 1^ Y x + 3
X
Y y = (^) 1 –^1 x + 2
X
Y (^) y = 1 + 2 x – 1
X
y = –3^ Y x + 1
x – 1
1 – x
x + 1
x + 3
Pág. 8
21 a) Representa las funciones y = 3 x^ e y = log 3 x.
b) Comprueba si pertenecen a la gráfica de y = log 3 x los puntos siguientes:
a) Una es la inversa de la otra.
b) Se sabe que y = log 3 x ï 3 y^ = x. Luego: (243,5) 8 3 5 = 243 8 log 3 243 = 5 8 Sí pertenece.
, –3 8 3 –3^ = = 8 log 3 = –3 8 Sí pertenece.
( ; 0,5) 8 3 0,5^ = 31/2^ = 8 log 3 = 0,5 8 Sí pertenece.
(–3, –1) 8 3 –1^ =? –3 8 (–3, –1) no pertenece a la gráfica de y = log 3 x.
22 Aplica la definición de logaritmo para hallar, sin calculadora:
a) log 2 64 b) log 2 16
c) log 2 d) log 2
e) log 3 81 f ) log 3
g) log 3 h) log 4 16
a) log 2 64 = x 8 2 x^ = 64 = 2^6 8 x = 6 b) log 2 16 = x 8 2 x^ = 16 = 2^4 8 x = 4
c) log 2 = x 8 2 x^ = = 2 –2^8 x = –
d) log 2 = x 8 2 x^ = = 21/2^8 x =
e) log 3 81 = x 8 3 x^ = 81 = 3^4 8 x = 4
f ) log 3 = x 8 3 x^ = = 3 –1^8 x = –
g) log 3 = x 8 3 x^ = = 31/2^8 x =
h) log 4 16 = x 8 4 x^ = 16 = 4^2 8 x = 2
) 3 3
( 27
y = 3 x
y = log 3 x
1
3 1 X
Y
X 1/9 1/3 1 3 9 log 3 x (^) –2 –1 0 1 2
X –2 –1 0 1 2 3 x^ 1/9 1/3 1 3 9
(^1) ) √ 3 ( 27
Pág. 10
23 Calcula la base de los siguientes logaritmos:
a) log (^) b 10 000 = 2 b) log (^) b 125 = 3
c) log (^) b 4 = –1 d) log (^) b 3 =
a) log (^) b 10 000 = 2 8 b^2 = 10 000 8 b = 100
b) log (^) b 125 = 3 8 b^3 = 125 8 b = 5
c) log (^) b 4 = –1 8 b –1^ = 4 8 b =
d) log (^) b 3 = 8 b 1/2^ = 3 8 b = 9
I E N S A Y R E S U E LV E
24 Resuelto en el libro de texto.
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25 Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas:
a)
b)
c)
d)
a)
Analíticamente Vemos los puntos de corte: 2 x^2 – 5 x – 6 = 3 x + 4 8 2 x^2 – 8 x – 10 = 0 8 x^2 – 4 x – 5 = 0
x = =
Hay dos puntos de corte: (5, 19), (–1, 1).
x = 5 8 y = 19 x = –1 8 y = 1
y = 2 x^2 – 5 x – 6 y = 3 x + 4
° ¢ £
y = – x^2 + 5 x y = x^2 + 3 x – (15/2)
° ¢ £
y = 2 x^2 – 8 x – 3 y = x^2 – 2 x – 3
° ¢ £
y = x^2 – 2 x + 1 y = –2 x + 2
° ¢ £
y = 2 x^2 – 5 x – 6 y = 3 x + 4
° ¢ £
P
Pág. 11
c)
Analíticamente
2 x^2 – 8 x – 3 = x^2 – 2 x – 3 8 x^2 – 6 x = 0 8 x ( x – 6) = 0
Si x 1 = 0 8 y 1 = – Si x 2 = 6 8 y 2 = 6 2 – 2 · 6 – 3 = 21 Solución: x 1 = 0, y 1 = –3; x 2 = 6, y 2 = 21
Gráficamente Representamos cada una de las parábolas.
- y = 2 x^2 – 8 x – 3 Cortes con los ejes: Eje X : y = 0 8 2 x^2 – 8 x – 3 = 0
x = = =
Eje Y : x = 0 8 y = –3 8 (0, –3) Vértice: (2, –11)
- y = x^2 – 2 x – 3 Cortes con los ejes: Eje X : y = 0 8 x^2 – 2 x – 3 = 0
x = =
Eje Y : x = 0 8 y = –3 8 (0, –3) Vértice: (1, –4)
d)
Analíticamente
- x^2 + 5 x = x^2 + 3 x – 15/2 8 2 x^2 – 2 x – 15/2 = 0 8 4 x^2 – 4 x – 15 = 0
x = =
Si x 1 = 8 y 1 =
Si x 2 = – 8 y 2 = –^39 4
x 1 = 5/ x 2 = –3/
y = – x^2 + 5 x y = x^2 + 3 x – (15/2)
° ¢ £
x 1 = 0 x 2 = 6
y = 2 x^2 – 8 x – 3 y = x^2 – 2 x – 3
° ¢ £
Pág. 13
21
–2 2 6
y = x^2 – 2 x – 3
y = 2 x^2 – 8 x – 3
X
Y
Gráficamente Representamos cada una de las parábolas.
- y = – x^2 + 5 x Cortes con los ejes:
Eje X : y = 0 8 – x^2 + 5 x = 0 8 x (– x + 5) = 0
Eje Y : x = 0 8 y = 0 8 (0, 0)
Vértice: ,
- y = x^2 + 3 x – 15/ Cortes con los ejes: Eje X : y = 0 8 2 x^2 + 6 x – 15 = 0
x = = 8
Eje Y : x = 0 8 y = –15/2 8 8 (0, –15/2)
Vértice: ,
26 Comprueba analítica y gráficamente que estos dos sistemas no tienen so-
lución:
a) b)
a)
RESOLUCIÓN ANALÍTICA Resolvemos el sistema:
x^2 – x – = – 3 8 x^2 – 2 x – 3 = x – 6 8 x^2 – 3 x + 3 = 0
x = = 3 ±^ √–3 8 No hay punto en común 8 No hay solución.
x 2
y = —^1 x^2 – x – —^3 2 2 y = —^ x – 3 2
° § § ¢ § § £
y = —^1 x – 1 y = – x + 1
° § ¢ § £
y = 1 —^ x^2 – x – 3 — 2 2 y = —^ x – 3 2
° § § ¢ § § £
)
( 2
x 1 = 1,625 8 (1,625; 0) x 2 = –4,625 8 (–4,625; 0)
)
( 2
x = 0 8 (0, 0) x = 5 8 (5, 0)
Pág. 14
6
–2 2
y = – x^2 + 5 x
y = x^2 + 3 x – (15/2)
X
Y
27 Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas:
a) b)
a)
RESOLUCIÓN ANALÍTICA Resolvemos el sistema:
= 3 x + 2 8 3 x^2 + 8 x + 2 = 0
x = =
x 1 ≈ –0,28 8 y 1 ≈ 1, x 2 ≈ –2,39 8 y 2 ≈ –5, RESOLUCIÓN GRÁFICA
- Representamos la función y = que tiene
una asíntota en x = –2 y otra en y = 0:
- Representamos la recta y = 3 x + 2
b)
RESOLUCIÓN ANALÍTICA Puntos de corte: = x – 5 8 x + 1 = ( x – 5) 2 8 x + 1 = x^2 – 10 x + 25
x^2 – 11 x + 24 = 0 8 x = =
Solución: (8, 3)
x = 8 8 y = 3 x = 3 8 y = –2 8 no pertenece a y = √
x + 1
√ x + 1
y = √ x + 1 y = x – 5
° ¢ £
X –2 0 Y –4 2
X 4 –1 0 1 Y (^) –1 2 1 2/
x + 2
x 1 ≈ –0, x 2 ≈ –2,
x + 2
y = —^2 x + 2 y = 3 x + 2
° § ¢ § £
y = √ x + 1 y = x – 5
° ¢ £
y = —^2 x + 2 y = 3 x + 2
° § ¢ § £
Pág. 16
2
X
Y
2
RESOLUCIÓN GRÁFICA
- Para representar y = damos valores:
- Para representar y = x – 5, hacemos la ta- bla de valores:
28 ¿Cuál es la ecuación de la función que nos da el perímetro de un cuadra-
do dependiendo de cuánto mida su lado? ¿Y la que nos da su área? Dibuja am- bas funciones. Si l es el lado del cuadrado, P = 4 l A = l^2
29 Rocío ha comprado un regalo de cumpleaños para Paz que ha costado
100 €. Como el resto de los amigos del grupo no han comprado nada, deciden pagar el regalo entre todos. Construye una función que nos dé el dinero que debe poner cada uno dependiendo del número de personas que haya y dibújala. Si van a cenar a un restaurante en el que la comida vale 10 €, ¿cuál será la fun- ción del dinero que tiene que poner cada uno, sin incluir a Paz, dependiendo del número de personas que son? Dibújala en los mismos ejes. Di el dominio de definición de ambas funciones teniendo en cuenta que x solo toma valores naturales y suponiendo que el número de amigos no supera 10.
Si el número de amigos es x , x é N, la función que da lo que debe pagar cada uno
es y 1 =.
Si van a un restaurante, entonces la función es y 2 = 100 + 10( x^ + 1). x
x
X
Y
P = 4 l A = l^2
X 3 8 Y (^) –2 3
X –1 3 0 8 Y 0 2 1 3
√ x + 1
Pág. 17
(8, 3)
3 X
Y
Luego, la expresión analítica de esta función será:
y =
31 Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de x ordenadores son:
G ( x ) = 20000 + 250 x en euros Y los ingresos que se obtienen por las ventas son: I ( x ) = 600 x – 0,1 x^2 en euros ¿Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máximo? La función beneficio es: B = I – G = 600 x – 0,1 x^2 – (20 000 + 250 x ) 8 B ( x ) = –0,1 x^2 + 350 x – 20 000
El vértice es el máximo: V = = 1 750
Se deben fabricar 1 750 ordenadores para que el beneficio sea máximo.
32 La gráfica de una función exponencial del tipo y = ka x^ pasa por los pun-
tos (0, 3) y (1; 3,6). a) Calcula k y a****. b) ¿Es creciente o decreciente? c) Representa la función. a) Si pasa por el punto (0, 3) 8 3 = ka^0 8 k = 3 Si pasa por el punto (1; 3,6) 8 3,6 = ka^1 8 3,6 = 3 a 8 a = 1, Tenemos la función y = 3 · (1,2) x b) Es una función creciente. c) Hacemos una tabla de valores:
1
6
–3 –1 3
3
X
Y
X –2 –1 0 1 2 3 Y 2,08 2,5 3 3,6 4,32 5,
- — x + 80 si 0 Ì x Ì 6 3 70 si 6 < x Ì 8 5
- — x + 80 si 8 < x Ì 12 4
° § § § ¢ § § § £
Pág. 19
33 La función exponencial y = ka x^ pasa por los puntos (0, 2) y (2; 1,28).
Calcula k y a y representa la función. y = ka x Si pasa por el punto (0, 2), entonces: 2 = k · a^0 8 2 = k Si pasa por el punto (2; 1,28), entonces: 1,28 = k · a^2 8 1,28 = 2 a^2 8 a^2 = 0,64 8 a = 0, La función es: y = 2 · (0,8) x
34 El coste por unidad de fabricación de ciertos sobres disminuye según el
número de unidades fabricadas y viene dado por la función:
y =
a) ¿Qué valores toma la función? b) Calcula el coste por unidad y el coste total para 10 sobres. Haz lo mismo para 100 000 sobres. c) ¿A cuánto crees que se acerca el coste por unidad cuando el número de so- bres se hace muy grande? a) x toma valores naturales. b) • Para 10 sobres:
Coste por unidad = = 100,
Coste total de 10 unidades = 1 003
Coste por unidad = = 0,
Coste total de 100 000 unidades = 31 000 c) El coste por unidad se acerca a 0,3.
0,3 x + 1 000 x
1 1 X
Y
X –3 –2 –1 0 1 2 3 Y (^) 3,906 3,125 2,5 2 1,6 1,28 1,
Pág. 20
