¡Descarga Matemáticas 2 bach. Ejercicios y más Ejercicios en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
Programación Lineal
Ejercicio nº 1.-
a) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación:
2 x y 3
b) Averigua cuál es la inecuación cuyas soluciones corresponden al siguiente semiplano:
Ejercicio nº 2.-
a) Representa las soluciones de la inecuación:
2 x 2 y 1
b) Identifica la inecuación que corresponde al siguiente semiplano:
Ejercicio nº 3.-
a) Haz una representación gráfica de las soluciones de la siguiente inecuación:
x 2 y 4
b) Halla la siguiente inecuación cuyas soluciones vienen representadas por:
Ejercicio nº 4.-
a) Representa las soluciones de la siguiente inecuación:
3 x 4 y 1
b) Identifica la inecuación cuyas soluciones corresponden al siguiente semiplano:
Ejercicio nº 5.-
a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente semiplano:
b) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación:
3 x y 2
Ejercicio nº 6.-
a) Construye el recinto de soluciones del siguiente sistema:
b) Los puntos (20, 10), (20, 0) y (20, 20), ¿forman parte de las soluciones del sistema anterior?
Ejercicio nº 7.-
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones:
b) Di si los puntos (0, 1), (0, 0) y (0, 3) son soluciones del sistema anterior.
y
x
x y
x y
y
x y
x y
Ejercicio nº 13.-
Halla el máximo y el mínimo de la función z x y , en la región determinada por:
Ejercicio nº 14.-
Maximiza la función z x y , sujeta a las siguientes restricciones:
Ejercicio nº 15.-
Maximiza la función z = 150 x 100 y , sujeta a las siguientes restricciones:
Ejercicio nº 16.-
Cierto fabricante produce dos artículos, A y B , para lo que requiere la utilización de dos secciones de
producción: sección de montaje y sección de pintura.
El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B ,
tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura.
La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura
solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A
es de 20 euros.
Calcula la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio.
Ejercicio nº 17.-
Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40
euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50
euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.
Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.
y
x
x y
x y
y
x
x y
x y
x y
y
x
x y
x y
Ejercicio nº 18.-
Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello,
lanzan dos ofertas, A y B : La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a
30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se
desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B****.
¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
Ejercicio nº 19.-
En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de
una sustancia A y otras 15 de una sustancia B****. En el mercado solo se encuentran dos clases de
compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B , y el tipo II con una
composición de cinco unidades de A y una de B****. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30
euros. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?
Ejercicio nº 20.-
Una fábrica produce neveras utilitarias y de lujo. La fábrica esta dividida en dos secciones: montaje y
acabado. Los requerimientos de trabajo vienen dados por la siguiente tabla:
El máximo número de horas de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 180 en acabado,
debido a las limitaciones de operarios.
Si el beneficio es de 300 euros por cada nevera utilitaria y de 400 euros por cada nevera de lujo, ¿cuántas
deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el máximo beneficio?
Ejercicio nº 21.-
Un quiosco vende bolígrafos a 20 céntimos de euro y cuadernos a 30 céntimos de euro. Llevamos 120
céntimos de euro y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bolígrafos, por lo menos. ¿Cuál será
el número máximo de piezas que podemos comprar?
Ejercicio nº 22.-
En una pequeña empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A y B****. Como máximo
pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos un artículo del tipo B****.
Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren obtener unas ventas superiores a 60 euros,
teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son de 30 y 10 euros, respectivamente.
Ejercicio nº 23.-
La casa X fabrica helados A y B , hasta un máximo diario de 1 000 kilos. La fabricación de un kilo de A
cuesta 1,8 euros y uno de B , 1,5 euros. Calcula cuántos kilos de A y B deben fabricarse, sabiendo que la
casa dispone de 2 700 euros /día y que un kilo de A deja un margen igual al 90% del que deja un kilo de B****.
MONTAJE ACABADO
UTILITARIA 3 horas 3 horas
LUJO 3 horas 6 horas
b Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo, (0, 1) y
(1, 1).
La ecuación de la recta es: y 1 2 x y 2 x 1
Como (0, 0) no es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser: y 2 x 1
Ejercicio nº 2.-
a) Representa las soluciones de la inecuación:
2 x 2 y 1
b) Identifica la inecuación que corresponde al siguiente semiplano:
Solución:
Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (0,
0):
2 0 2 0 0 1 (0, 0) no es solución.
Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano:
La pendienteserá:
m
.Pasaporlospuntos 2
a) Representamoslarecta 2 2 1
x x y y
y 1, 2
b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo (0, 2) y
(1, 0).
La ecuación de la recta es: y 2 2 x y 2 x 2
Como (0, 0) es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser:
y 2 x 2
Ejercicio nº 3.-
a) Haz una representación gráfica de las soluciones de la siguiente inecuación:
x 2 y 4
b) Halla la siguiente inecuación cuyas soluciones vienen representadas por:
Solución:
Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (0,
0):
0 2 0 0 4 (0, 0) no es solución.
Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano:
La pendienteserá:
m
.Pasaporlospuntos0, 2 y 2, 1 .
a) Representamoslarecta 2 4
x x y y
b) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos de ella. Por ejemplo (2, 0) y (2, 1).
Como (0, 0) es la solución de la inecuación, deducimos que ha de ser:
4 y x 2
Ejercicio nº 5.-
a) Halla la inecuación que corresponde al siguiente semiplano:
b) Representa gráficamente las soluciones de la inecuación:
3 x y 2
Solución:
a) Escribimos la ecuación de la recta, localizando dos puntos. Por ejemplo (0, 3) y (3, 0).
La ecuación de la recta es: y 3 x y x 3
Como (0, 0) no es solución de la inecuación, deducimos que ha de ser:
y x 3
b) Representamos la recta 3 x y 2 y 3 x 2. Pasa por los puntos (0, 2) y (1, 1).
Para ver cuál de los dos semiplanos corresponde a las soluciones de la inecuación, sustituimos, por ejemplo, (0,
0):
La pendienteserá:
m
La ecuacióndelarectaes:
y x y x y x
La pendienteserá:
m
3 0 0 0 2 (0, 0) sí es solución.
Por tanto, las soluciones son todos los puntos del siguiente semiplano:
Ejercicio nº 6.-
a) Construye el recinto de soluciones del siguiente sistema:
b) Los puntos (20, 10), (20, 0) y (20, 20), ¿forman parte de las soluciones del sistema anterior?
Solución:
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que los tres puntos son soluciones del sistema.
y
x
x y
x y
a) Representamoslasrectas
y
x
x y
x x y y
x y x y y x
b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2) sí lo es.
Ejercicio nº 9.-
a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:
b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.
Solución:
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las
desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).
y
x
x y
x y
a) Representamoslasrectas
y
x
x y y x
x x y y
Ejercicio nº 10.-
a) Dibuja el recinto que cumple estas restricciones:
b) ¿Pertenecen los puntos (0, 6), (4, 0) y (5, 6) al conjunto de soluciones del sistema anterior?
Solución:
ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen
x 3 y 15.
El recinto buscado es:
b) A la vista del dibujo obtenido en a), tenemos que (0, 6) no es solución; (4, 0) sí lo es y
(5, 6) no.
Ejercicio nº 11.-
Halla el mínimo de la función z 3 x 2 y con las siguientes restricciones:
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x 0 e y 0.
y
x
x y
x y
a) Representamos la recta 3 15 y tomamos un punto cualquiera; por 3
x x y y
Hacemoslomismoconlasrectas
y
x
x y y x
y
x
x y
x y
Representamos lasrectas x x y y
x x y y
Representamos la dirección de las rectas z 4 y x , dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: 4 y
x 0
Ejercicio nº 13.-
Halla el máximo y el mínimo de la función z x y , en la región determinada por:
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones del problema.
Representamos la dirección de las rectas z x y , dibujando lo que pasa por el origen de coordenadas: x y
0
El mínimo se alcanza en el punto m (1, 1) y vale z 1 1 2.
yvale: 5
El máximosealcanzaenelpunto
A
z
y
x
x y
x y
Representamoslasrectas
y
x
x y y x
x x y y
Ejercicio nº 14.-
Maximiza la función z x y , sujeta a las siguientes restricciones:
Solución:
y hallamos la región que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x 0 e y 0.
Representamos la dirección de las rectas z x y , dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x y
0
el máximo, que vale: z 8 4 12
El máximo se alcanza en el punto , intersección de las rectas ; es decir, 1
x y M x y
^ ^
^
;yvale 3
en
M z
y
x
x y
x y
x y
Representamoslasrectas
x x y y
x x y y
x x y y
esdecir, 8 , 4 , eselqueproporciona
Elpunto ,intersecciónde
M
x y
x y M
Las restricciones son:
La función que nos da el beneficio es z 20 x 40 y 20( x 2 y ). Debemos obtener el máximo de esta función,
sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 20( x 2 y ) 0
x 2 y 0, que nos da la dirección de las rectas z 20 x 40 y.
es decir, en (3, 2).
Por tanto, deben producirse 3 unidades de A y 2 de B. En este caso, el beneficio será de
z 20 3 40 2 140 euros.
Ejercicio nº 17.-
Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a 40
euros cada una. Para la fabricación de las de tipo B emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y las vende a 50
euros. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales.
Calcula cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo.
Solución:
Llamamos x al número de joyas del tipo A e y al número de joyas del tipo B. Resumimos los datos en una
tabla:
CANTIDAD MONTAJE PINTURA BENEFICIO
A (^) x x horas 2 x horas 20 x
B (^) y 3 y horas y horas 40 y
TOTAL (^) x + 3 y 2 x + y 20 x + 40 y
y
x
x y
x y
Elmáximosealcanzaenelpuntodeinterseccióndelasrectas
x y
x y
Las restricciones son:
La función que nos da los ingresos es z 40 x 50 y 10(4 x 5 y ).
Debemos hacer máxima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.
Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones y la recta 10(4 x 5 y ) 0
4 x 5 y 0, que nos da la dirección de las rectas z 10(4 x 5 y ).
es decir, en (300, 300).
Por tanto, ha de fabricar 300 joyas del tipo A y 300 del tipo B para obtener el máximo beneficio. Los ingresos en
este caso serían z 40 300 50 300 27 000 euros.
Ejercicio nº 18.-
Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello,
lanzan dos ofertas, A y B : La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a
30 euros; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 euros. No se
desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B****.
¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
Solución:
Llamamos x al número de lotes de A e y al número de lotes de B.
Resumimos los datos en una tabla:
CANTIDAD ORO PLATA INGRESOS
TIPO A (^) x x 1,5 x 40 x
TIPO B (^) y 1, 5 y y 50 y
TOTAL (^) x + 1, 5 y 1, 5 x + y 40 x + 50 y
y
x
x y
x y
Elmáximosealcanzaenelpuntodeinterseccióndelarectas:
x y
x y
