Parametrización de Superficies: Funciones de Varias Variables, Diapositivas de Cálculo diferencial y integral

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FUNCIONES

DE VARIAS

VARIABLES

(2ª PARTE)

Fernanda

Hernández

Problema La altura de las olas en mar abierto depende de la velocidad del viento y la duración del tiempo que el viento haya estado soplando a esa velocidad. En la siguiente tabla aparecen valores de la función en metros: a)¿Cuál es el valor de (50,20)? b) ¿Cuál es el significado de la función Describe el comportamiento de esta función c) ¿Cuál es el significado de la función Describe el comportamiento de esta función

Duración (horas) Velocidad del viento

INTRODUCCIÓN ■ (^) Recordemos que la gráfica de una función es el conjunto de puntos en el espacio tridimensional cuyas coordenadas son: ) o bien podemos escribir ) ■ (^) Estas superficies también se pueden definir como una función vectorial de dos parámetros (variables independientes) ■ (^) De este modo, una superficie en se puede definir a través de tres funciones de la forma: ■ Es decir, la superficie se definirá por: En este caso, las variables nuevas se denominan parámetros

Si mantenemos constantes el parámetro v en v 0 y variamos sólo u , el vector tiene como imagen una curva en la superficie Dominio todos los puntos que puede adquirir como entrada la función Los puntos son coordenadas bidimensionales Imagen Todos los puntos que entrega como salida la función Todos los puntos sobre la superficie Los puntos sobre la superficie son coordenadas tridimensionales Se dice que la superficie se ha parametrizado Antes de aprender cómo parametrizar una superficie, vamos a un caso más sencillo: Parametrización de una curva en el plano

Ejemplo

■ Describir la curva parametrizada: , , para

Solución:

Las funciones y satisfacen la ecuación

¡Es una circunferencia, centrada en el

origen, con radio 1!

¿Cuál es punto inicial y el punto final

de la curva?

Ejemplo

■ Describir la curva

parametrizada: , , para

Solución:

Para que la ecuación sea válida,

debemos despejar de la

parametrización que nos da el

problema

La ecuación es la de una elipse

horizontal, centrada en el origen, con

eje mayor igual a 6 unidades, y eje

menor igual a 2 unidades.

¿Cuál es punto inicial y el punto final de la curva?

Parametrización de una curva en el espacio ■ (^) Así como parametrizamos curvas en el plano, podemos parametrizar curvas en el espacio tridimensional, agregando una tercera ecuación paramétrica. ■ Las ecuaciones de la helicoide, o hélice, son: , , para El punto se mueve sobre la circunferencia 1 en el plano. Como , la trayectoria del punto forma una espiral alrededor de un cilindro imaginario, y sube a medida que aumenta.

Definición de campos escalares y campos vectoriales

■ Sea el vector posición

■ Sea el tiempo

■ Un campo escalar asocia un valor escalar a cada punto del espacio.

• Ejemplo: La temperatura en cada punto del espacio dentro de una

habitación, localizado por el vector.

■ Un campo vectorial asigna un valor vectorial, o vector, a cada punto

del espacio.

• Ejemplo: La velocidad de un fluido a través de un conducto

irregular.

Actividad de reforzamiento ■ (^) Resuelve los siguientes ejercicios, elabora un archivo con las respuestas y envíalo en formato .pdf a la plataforma googleclasroom en la entrada parametrización, campos escalares y vectoriales. ■ Dibuja la curva dada por las siguientes ecuaciones paramétricas: En el intervalo para. ■ Parametriza la curva cardioide (diapositiva #6) en coordenadas polares y en coordenadas cartesianas. ■ Lee el artículo sobre la parametrización de funciones en la plataforma Khan Academy y contesta las preguntas, toma captura de pantalla para evidenciar tu trabajo: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-func tion/ways-to-represent-multivariable-functions/a/parametric-functions https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-about-multivariable-func tion/ways-to-represent-multivariable-functions/a/parametric-functions-two-parameters

Resumen ■ Las superficies asociadas a funciones de varias variables pueden parametrizarse. ■ (^) La parametrización de una superficie consiste en reducir el número de variables independientes de una función multivariable, con el objetivo de escribirla de forma más compacta o conveniente. ■ Definimos los campos escalares como un conjunto de valores escalares. Cada escalar se asocia a un punto en el espacio. ■ (^) Los campos vectoriales son un conjunto de valores vectoriales. Cada vector se asocia a un punto en el espacio. ■ Los campos escalares y los campos vectoriales modelan situaciones físicas reales en diversos campos de la ingeniería y las ciencias exactas.