¡Descarga Funciones, limites y continuidad y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Cap´ıtulo 6
Funciones vectoriales de variable
vectorial
6.1. Definiciones b´asicas. Operaciones con funciones
Consideraremos ahora aplicaciones arbitrarias de subconjuntos de R n^ a valores en R m , es decir funciones de variable vectorial, n –dimensional, cuyas im´agenes son vectores, m –dimensionales. Observar que las funciones reales de variable real son un caso particular de ´estas, al poder identificar R con R^1.
Definici ´on 6.1.1 Una funci´on vectorial, a valores en R m, de variable vectorial, un vector de R n, es una aplicaci´on de un subconjunto A ⊂ R n^ a valores en R m, i.e.:
(6.1) f^ :^ A^ ⊂^ R
n (^) −→ R m x 7→ f ( x )
Al conjunto A se le denomina dominio de definici ´on de la funci´on, y escribiremos Dom( f ) = A, mientras que el conjunto f ( A ) = { y ∈ R m^ | ∃ x ∈ A con y = f ( x )} ser´a el conjunto formado por todas las im´agenes de los elementos de A, la imagen de A por la funci´on f.
As´ı, por ejemplo la funci ´on
(6.2) f ( x, y, z ) =
sin
x^2 + y^2 + z^2
, ex + yz
, x, y, z ∈ R
es una funci ´on de tres variables reales a valores en R^2 ; en este caso tendremos:
(6.3) Dom( f ) = R^3 \ {(0 , 0 , 0)} ⊂ R^3
mientras que la funci ´on
(6.4) f ( x, y ) = ln
1 − x^2 − y^2
, x, y ∈ R
Cap´ıtulo 6. Funciones vectoriales de variable vectorial
es una funci ´on de dos variables reales a valores reales; en este caso tendremos:
(6.5) Dom( f ) = {( x, y ) ∈ R^2 | x^2 + y^2 < 1 } ⊂ R^2
mientras que el conjunto de las im´agenes de f , ser´a, claramente:
(6.6) f (Dom( f )) = R
Definici ´on 6.1.2 El grafo de una funci´on f , donde f : A ⊂ R n^ −→ R m^ es el conjunto definido por
(6.7) Graf( f ) = {( x, y ) ∈ R n^ × R m^ | y = f ( x )}
por tanto, el grafo de f es un subconjunto de R n + m.
Observar que en el caso n = m = 1 podemos representar gr´aficamente el grafo de una funci ´on identificando R^2 con un plano y utilizando un sistema de coordenadas cartesianas. Si marcamos el grafo en dicho plano obtenemos la gr´afica de la funci ´on. As´ı para el caso f : [− 1 , 1] −→ R tal que f ( x ) =
1 − x^2 tendremos:
Graf( f )
x
y
Figura 6.1: Representaci ´on gr´afica de f ( x ) =
1 − x^2.
En general no ser´a posible efectuar una representaci ´on gr´afica de una funci ´on, ya que su grafo ser´a un subconjunto de un espacio de dimensi ´on elevada. S´olo en el caso n + m ≤ 3 podremos efectuar dicha representaci ´on gr´afica. Si n = m = 1 ser´a el caso de una funci ´on de variable real a valores reales, como por ejemplo la funci ´on representada en (6.1). En el caso n = 2, m = 1, por ejemplo f : R^2 −→ R tal que f ( x, y ) = 2 x^2 − y^2 + xy el grafo de dicha funci ´on estar´a incluido en R^3 y, por tanto, la representaci ´on de una parte de la gr´afica de dicha funci ´on la podemos situar en R^3 y dibujarla en una parte de un plano utilizando diversas perspectivas, como podemos ver en (6.2).
Cap´ıtulo 6. Funciones vectoriales de variable vectorial
En general, al representar gr´aficamente una funci ´on de una variable real a va- lores en R^2 se obtiene una curva en el espacio, mientras que el grafo de una funci ´on de una variable real a valores en R n^ ser´a una curva en R n +1.
-15 (^) -10 (^) -5 (^0 5 10 15) -1 -0.8^ -0.
-0.4^ -0.
0 0.
0.4^ 0.
-2 0.8^1 -1.
-0.
0
1
2
[x,sin(x),2*cos(x)]
-1.
-0.
0
1
2
5 10 15
-0.6-0.8 -
(^0) -0.2-0.
0.60.40. (^1) 0.
-1.
-0. 0
1
2
[x,sin(x),2*cos(x)]
-1.
-0.
0
1
2
Figura 6.3: Gr´aficas de la funci ´on f ( x ) = (sin x, 2 cos x ), en una determinada regi ´on de su dominio, en dos perspectivas diferentes.
La estructura algebraica de R m^ permite definir diversas operaciones entre fun- ciones, que revisamos seguidamente. Sean f y g dos funciones a valores en R m^ tales que Dom( f ) ∩ Dom( g ) , ∅. Enton- ces podemos definir la funci ´on suma de ambas, f + g , cuyo dominio de definici ´on
6.1. Definiciones b´asicas. Operaciones con funciones
ser´a Dom( f + g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ), a partir de:
(6.8) ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ∀ x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( g )
La sustracci ´on de funciones, f − g , que propiamente no es una operaci ´on indepen- diente de la suma, vendr´a dada por
(6.9) ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) ∀ x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( g )
Otra operaci ´on es el producto de un escalar, λ ∈ R, por una funci ´on. As´ı λf es una funci ´on cuyo dominio es Dom( λf ) = Dom( f ) y viene definida por
(6.10) ( λf )( x ) = λf ( x ) ∀ x ∈ Dom( f )
En el caso m = 1 podemos tambi´en definir el producto de funciones, f · g o sim- plemente f g , a partir de
(6.11) ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) ∀ x ∈ Dom( f ) ∩ Dom( g )
Si m = 1 tendremos tambi´en el cociente de funciones, f /g , que propiamente no es una operaci ´on independiente del producto, vendr´a dada por
(6.12) ( f /g )( x ) = f ( x ) /g ( x ) ∀ x ∈ B
donde B = Dom( f ) ∩ { x ∈ Dom( g ) | g ( x ) , 0 }.
Otra operaci ´on no relacionada con la estructura algebraica del espacio vectorial R m^ es la composici ´on de aplicaciones. Si f : A ⊂ R n^ −→ R m^ y g : B ⊂ R m^ −→ R k^ la funci ´on f compuesta con g , g ◦ f , se define como:
(6.13) g^ ◦^ f^ :^ A^ ∩^ f^
− (^1) ( B ) ⊂ R n (^) −→ R k x 7−→ g ◦ f ( x ) = g ( f ( x ))
donde
(6.14) f −^1 ( B ) = { x ∈ R n^ | f ( x ) ∈ B }
Esta operaci ´on se podr´a efectuar siempre que A ∩ f −^1 ( B ) , ∅. Observar que esta operaci ´on no es conmutativa ya que, en primer lugar, f ◦ g puede no estar definida aunque lo est´e g ◦ f , y, en segundo lugar, aunque estuviera definida g ◦ f ( x ) puede ser diferente a f ◦ g ( x ): basta considerar el caso de que f y g sean endomorfismos de R^2 para obtener ejemplos en este sentido.
Ejemplo 6.1.1 Hallar g ◦ f donde g ( x ) = ln( x ) y f ( x, y, z ) = 1 − x^2 − y^2 − z^2 x^2 + y^2
. De- terminar su dominio.
6.1. Definiciones b´asicas. Operaciones con funciones
Claramente tendremos,
(6.21) f −^1 ( x ) = 3
x
ya que
(6.22) f ( f −^1 ( x )) = f ( 3
x ) = ( 3
x )^3 = x ∀ x ∈ R
Observar tambi´en que f es una funci ´on estrictamente creciente y, por tanto, inyec- tiva.
f f −^1
Figura 6.4: Gr´afica de las funciones f ( x ) = x^3 y f −^1 ( x ) = 3
x.
Ejemplo 6.1.3 Sea la funci ´on seno hiperb´olico , sinh x , definida como
sinh x = ex^ − e − x 2 Hallar la funci ´on inversa, que, en el presente caso se denomina argumento del seno hiperb´olico , arg sinh x.
Cap´ıtulo 6. Funciones vectoriales de variable vectorial
Si llamamos y a la imagen de x por la funci ´on considerada, tendremos:
(6.23) y = ex^ − e − x 2
si introducimos la variable t = ex^ (observemos que t > 0), tendremos:
(6.24) y =
t −
t 2
equivalente a
(6.25) t^2 − 2 yt − 1 = 0
y, por tanto:
(6.26) t = y +
y^2 + 1
y por tanto
(6.27) x = ln
y +
y^2 + 1
La funci ´on inversa del seno hiperb´olico ser´a pues:
(6.28) arg sinh x = ln
x +
x^2 + 1
mmm
Cap´ıtulo 6. Funciones vectoriales de variable vectorial
Teorema 6.2.1 (Teorema de unicidad del l´ımite) Sea una funci´on f : A ⊂ R n^ −→ R m y sea a ∈ A ′^ , es decir a es un punto de acumulaci´on del dominio de f , y L 1 , L 2 ∈ R m. Supongamos que l´ x ım→ a f ( x ) = L 1 , y l´ x ım→ a f ( x ) = L 2
Entonces L 1 = L 2_._
Demostraci´on: Observemos que si l´ım x → a f ( x ) = L 1 entonces, ∀ ǫ ∈ R+^ observemos que ǫ/ 2 ∈ R+, por tanto asociado a este real positivo ǫ/ 2,
∃ δ 1 ∈ R+^ | | f ( x ) − L 1 | < ǫ/ 2 ∀ x ∈ B ( a, δ 1 ) ∪ ( A \ { a })
de la misma forma,
∃ δ 2 ∈ R+^ | | f ( x ) − L 2 | < ǫ/ 2 ∀ x ∈ B ( a, δ 2 ) ∪ ( A \ { a })
Por tanto
| L 1 − L 2 | = | L 1 − f ( x ) + f ( x ) − L 2 | ≤ | L 1 − f ( x )| + | f ( x ) − L 2 | < ǫ ∀ x ∈ B ( a, δ ∗) ∪ ( A \ { a })
con δ ∗^ = m´ın { δ 1 , δ 2 }, y, en definitiva,
| L 1 − L 2 | < ǫ ∀ ǫ ∈ R+
ello implica que | L 1 − L 2 | = 0 y por tanto que L 1 = L 2 , tal como se quer´ıa demostrar.
Teorema 6.2.2 (Teorema de caracterizaci ´on del l´ımite) Sea una funci´on
f : A ⊂ R n^ −→ R m x 7→ f ( x ) = ( f 1 ( x ) ,... , fm ( x ))
Si a ∈ A ′^ y L = ( L 1 ,... , Lm ) entonces
(6.29) (l´ım x → a f ( x ) = L ) ⇔ (l´ım x → a fi ( x ) = Li i = 1 ,... , m )
es decir, la existencia del l´ımite es equivalente a la existencia del l´ımite de todas las fun- ciones componente, y, en este caso, el l´ımite de las funciones componentes coincide con las componentes del l´ımite.
Demostraci´on: El teorema directo se sigue trivialmente de la desigualdad
| fi ( x ) − Li | ≤ | f ( x ) − L | i = 1 ,... , m
ya que si l´ım x → a f ( x ) = L entonces ∀ ǫ > 0 existe un δ > 0 tal que para x ∈ ( x − δ, x + δ ) ∩ A { a } resulta que | f ( x ) − L | < ǫ pero entonces resultara tambi´en que | fi ( x ) − Li | < ǫ quedando pues probado el teorema directo. Para probar el rec´ıproco, hemos de tener en cuenta que
| f ( x ) − L | ≤
∑^ m
i =
| fi ( x ) − Li |
6.2. L´ımites
¿Por tanto, si, para todo i , l´ım x → a fi ( x ) = Li entonces, ∀ ǫ > 0 entonces, como ǫ/m > 0, asociados a este ´ultimo, existen δi > 0 tales que para x ∈ ( x − δi , x + δi ) ∩ A \ { a } resulta que | fi ( x ) − Li | < ǫ/m. Por tanto, si definimos δ ∗^ = m´ın{ δ 1 ,... , δm } entonces para x ∈ ( x − δ ∗ , x + δ ∗) ∩ A \ { a } tendremos que
| f ( x ) − L | <
∑^ m
i =
| fi ( x ) − Li | <
∑^ m
i =
ǫ m = ǫ
con lo que queda demostrado el teorema rec´ıproco.
Este teorema permite reducir el c´alculo de l´ımites de funciones a valores en R m al c´alculo de m l´ımites de funciones a valores en R.
Otras variantes de la definici ´on de l´ımite son la definici ´on de limite infinito y de l´ımite en el infinito , as´ı como diversas combinaciones de las mismas.
Definici ´on 6.2.2 Sea f una funci´on de dominio de definici´on A ⊂ R n^ a valores reales y sea a ∈ A ′^. Diremos que f en a tiene l´ımite m´as infinito , y escribiremos l´ım x → a + f ( x ) = +∞ , si y s´olo si ( ∀ ǫ
ǫ ∈ R+∃ δ ∈ R+^ | | x − a | < δ x ∈ A \ { a }
=⇒ ǫ < f ( x )
mientras que diremos que f en a tiene l´ımite menos infinito , y escribiremos l´ım x → a + f ( x ) = −∞ , si y s´olo si ( ∀ ǫ
ǫ ∈ R+∃ δ ∈ R+^ | | x − a | < δ x ∈ A \ { a }
=⇒ f ( x ) < − ǫ
En estos casos, a medida que nos acercamos al punto a , las im´agenes se hacen arbi- trariamente grandes (l´ımite m´as infinito) o arbitrariamente peque˜nas (l´ımite menos infinito).
Por otra parte,
6.2. L´ımites
A los l´ımites por la derecha y por la izquierda se les denomina tambi´en l´ımites laterales y debe resultar claro de su definici ´on que podr´ıamos demostrar para ellos an´alogos al teorema de unicidad del l´ımite. A partir de estas definiciones, resulta inmediato demostrar el siguiente
Teorema 6.2.3 (Otra caracterizaci ´on del l´ımite) Sea una funci´on
f : A ⊂ R −→ R m x 7→ f ( x ) = ( f 1 ( x ) ,... , fm ( x ))
Sea a ∈ ( A ∩ (−∞ , a )
y a ∈ ( A ∩ ( a, ∞)
. En estas condiciones tendremos:
x^ l´ım→ a f^ ( x ) =^ L^ si y s ´olo si^ x l´→ım a −^ f^ ( x ) = l´ım x → a +^ f ( x ) = L
Demostraci´on: Basta tener en cuenta las definiciones de l´ımites laterales.
Obs´ervese que si a ∈ ( A ∩ (−∞ , a )
y a ∈ ( A ∩ ( a, ∞)
entonces necesariamente a ∈
A ′^. Adem´as, si a < ( A ∩(−∞ , a )
y a ∈ A ′^ entonces el concepto de l´ımite por la derecha y el de l´ımite coinciden, no pudi´endose hablar de l´ımite por la izquierda, mientras
que si a < ( A ∩ ( a, ∞)
y a ∈ A ′^ entonces el concepto de l´ımite por la izquierda y el de l´ımite coinciden, no pudi´endose hablar entonces de l´ımite por la derecha.
Cuando consideramos funciones de varias variables se introduce el concepto de l´ımites iterados , obtenidos efectuando l´ımites ordinarios de las diferentes variables consecutivamente. As´ı, para una funci ´on de dos variables f ( x, y ), en un punto de acumulaci ´on de su dominio ( a, b ), tendremos los dos posibles l´ımites iterados si- guientes:
(6.30) l´ım y → b
l´ x ım→ a f ( x, y )
= L 1
y
(6.31) l´ x ım→ a
l´ım y → b f ( x, y )
= L 2
l´ımites que no tienen necesariamente que existir ni se iguales entre s´ı. En general para una funci ´on de n variables f ( x 1 ,... , xn ), en un punto de acumu- laci ´on de su dominio a = ( a 1 ,... , an ), tendremos n! l´ımites iterados posibles. Si σ ∈ S n (ver 3.2.2), tendremos
(6.32) (^) x l´ım σ 1 → aσ 1
x^ l´ım σ 2 → aσ 2
x^ l´ım σn → aσn
f ( x 1 , x 2 ,... , xn
= Lσ
Cap´ıtulo 6. Funciones vectoriales de variable vectorial
Si existe el l´ımite ordinario y es igual a L entonces cualquier l´ımite iterado, si existe, es igual a L. Sin embargo no se garantiza la existencia de todos los l´ımites iterados, aunque exista el l´ımite ordinario. Ello implica que si existen dos o m´as l´ımites iterados diferentes podemos asegurar que el l´ımite ordinario no existe. Por otra parte si todos los l´ımites iterados existentes son iguales a L no po- demos asegurar la existencia de l´ımite ordinario, aunque si ´este ´ultimo existe tendr´a que ser igual a L.
Ejemplo 6.2.1 Hallar, si existen, los l´ımites iterados de f en el punto (0 , 0), sien- do f ( x, y ) =
x^2 − y^2 x^2 + y^2 .
Observemos en primer lugar que el dominio de esta funci ´on es el conjunto A = R^2 {(0 , 0)}, por tanto (0 , 0) ∈ A ′, ver definici ´on 3.1.7, y tiene sentido tratar de calcular el l´ımite en (0 , 0). Los l´ımites iterados ser´an:
(6.33) l´ım y → 0
l´ım x → 0
x^2 − y^2 x^2 + y^2
= l´ım y → 0
mientras que
(6.34) l´ım x → 0
l´ım y → 0
x^2 − y^2 x^2 + y^2
= l´ım x → 0
vemos pues que los l´ımites iterados existen y son distintos. Ello implica que no existe el l´ımite ordinario.
mmm
Cap´ıtulo 6. Funciones vectoriales de variable vectorial
Para probar el apartado b ), observemos que si λ = 0 el resultado es trivialmente cierto. Supongamos pues que λ , 0, entonces, dado que l´ım x → a f ( x ) = L 1 tendremos que ∀ ǫ ∈ R+, como ǫ/ | λ | ∈ R+, por la definici ´on de l´ımite
∃ δ ∈ R+^ : | f ( x ) − L 1 | < ǫ/ | λ | ∀ x ∈ ( a − δ 1 , a + δ 1 ) ∪ ( A ∩ B \ { a }).
Por tanto
|( λf )( x ) − λL 1 | = | λf ( x ) − λL 1 | = | λ ( f ( x ) − L 1 )| = | λ ||( f ( x ) − L 1 )| < | λ | ǫ/ | λ | = ǫ , ∀ x ∈ ( a − δ, a + δ ) ∪ ( A \ { a }).
Por tanto, seg ´un la definici ´on de l´ımite,
l´ım x → a ( λf )( x ) = λL 1
lo que demuestra el apartado b ). Para probar el apartado c , entonces dado que l´ım x → a f ( x ) = L 1 tendremos que ∀ ǫ ∈ R+, como ǫ/ (2(| L 2 | + ǫ )) ∈ R+, por la definici ´on de l´ımite
∃ δ 1 ∈ R+^ : | f ( x ) − L 1 | < ǫ/ (2(| L 2 | + ǫ )) ∀ x ∈ ( a − δ 1 , a + δ 1 ) ∪ ( A \ { a })
Observemos adem´as que como ǫ/ (2(| L 1 |+ ǫ )) ∈ R+, por la definici ´on de l´ımite tambi´en tendremos
∃ δ 2 ∈ R+^ : | g ( x ) − L 2 | < ǫ/ (2(| L 1 | + ǫ )) ∀ x ∈ ( a − δ 1 , a + δ 1 ) ∪ ( B \ { a }).
Por tanto |( f g )( x ) − ( L 1 L 2 )| = |( f ( x ) g ( x )) − ( L 1 L 2 )| = |( f ( x ) − L 1 ) g ( x ) + L 1 ( g ( x ) − L 2 )| ≤ | f ( x ) − L 1 || g ( x )| + | L 1 || g ( x ) − L 2 | < ǫ/ 2 + ǫ/ 2 = ǫ ∀ x ∈ ( a − δ ∗ , a + δ ∗) ∪ ( A \ { a })
con δ ∗^ = m´ın { δ 1 , δ 2 }. Por tanto, seg ´un la definici ´on de l´ımite,
l´ım x → a ( f + g )( x ) = L 1 + L 2
lo que demuestra el apartado a ).
mmm
6.4. Algunos ejemplos
6.4. Algunos ejemplos
Ejemplo 6.4.1 Hallar, si existe, el l´ımite de f en 0, siendo f ( x ) = x^2 sin ( (^1) x ).
Observemos en primer lugar que el dominio de esta funci ´on es el conjunto A = R{ 0 }, por tanto 0 ∈ A ′^ , ver definici ´on 3.1.7, y tiene sentido tratar de calcular el l´ımite en 0. De forma intuitiva parece que este l´ımite ha de ser L = 0 porque sin ( (^1) x ) est´a entre −1 y 1, mientras que x^2 se har´a arbitrariamente peque˜no cuanto aproximemos x a 0. Vamos a demostrar que efectivamente el l´ımite buscado es 0. En efecto,
| x^2 sin(
x
)| = | x^2 | | sin (
x
)| ≤ x^2
Por tanto si δ es un n ´umero real positivo,
| x | < δ ⇒ x^2 < δ^2_._
Entonces, dado un n ´umero real positivo arbitrario ǫ , si escogemos δ =
ǫ , tendremos que si | x | < δ, x ∈ A \ { 0 } entonces
| x^2 sin (
x
)| ≤ x^2 < δ^2 = ǫ.
Hemos demostrado pues que dado un n ´umero real positivo arbitrario ǫ , asociado a este ǫ existe un δ ( por ejemplo δ =
ǫ ) tal que si acercamos x a 0 en menos de δ entonces las im´agenes de x , f ( x ), diferiran del l´ımite 0 en menos de ǫ , quedando probado por tanto que
l´ım x → 0 x^2 sin (
x
Ejemplo 6.4.2 Hallar, si existe, el l´ımite de f en 0, siendo f ( x ) = sin ( (^1) x ).
Observemos en primer lugar que el dominio de esta funci ´on es, como en el ejem- plo anterior, el conjunto A = R { 0 }, por tanto 0 ∈ A ′^ y tiene sentido tratar de calcular el l´ımite en 0. En este caso, intuitivamente, vemos que esta funci ´on oscilar´a infinitas veces en un entorno del 0 y por tanto parece que no tendr´a l´ımite en 0. Vamos a demostrar dicha afirmaci ´on. Demostrar que L ∈ R no es el l´ımite de f en 0 equivale a demostrar que existe un ǫ > 0 tal que para todo δ > 0 siempre habr´a ˜ x : | x ˜| < δ, x ˜ ∈ A a la vez que | sin ( (^1) x ˜ ) − L | > ǫ. En efecto, sea k ∈ N : k > (^) 2 π δ^1 (existe siempre un tal natural puesto que R es un cuerpo Arquimediano, ver 2.2.3) y por tanto
0 < x ˜ ≡
3 π 2 + 2 kπ
< δ
Cap´ıtulo 7
Continuidad
7.1. Definici ´on de continuidad
Consideremos una funci ´on f , f : A ⊂ R n^ −→ R m x 7→ f ( x ) Sea a ∈ A ∩ A ′, es decir a es un punto del dominio y a la vez punto de acumulaci ´on del mismo (no es un punto aislado), ver definici ´on 3.1.8.
Definici ´on 7.1.1 Diremos que f es continua en a si y s´olo si
l´ım x → a f ( x ) = f ( a )
Cuando A ⊂ R, si el anterior l´ımite se sustituye por el l´ımite por la derecha,
l´ım x → a +^ f ( x ) = f ( a )
diremos que la funci ´on es continua por la derecha en a , mientras que si lo sustituimos por el l´ımite por la izquierda, l´ım x → a −^ f ( x ) = f ( a )
diremos que la funci ´on es continua por la izquierda en a.
Definici ´on 7.1.2 Diremos que f es continua en B ⊂ A si y s´olo si
f es cont´ınua en x, ∀ x ∈ B.
Vamos a ver a continuaci ´on algunas propiedades b´asicas de la continuidad.
mmm
