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FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Suponga una población cuyo modelo de crecimiento está dado por
t P t e
- 02 ( )= 4 millones a
partir del año 2000. Si quisiéramos saber cuándo la población tendrá 5 millones de habitantes,
debemos plantear la ecuación
t e
- 02 5 = 4
y obtener el valor de t que satisface esta ecuación. Para resolverla deberemos usar el proceso
inverso de la exponencial el cual es el logaritmo.
La función logarítmica en base a es la función inversa de la función exponencial en base a.
Es claro, viendo la gráfica de la función exponencial, que ella tiene inversa. Esta función inversa
tiene una notación propia: log a. Los valores de esta función vienen dados por log a ( x ).
Del concepto de función inversa, sabemos que ( )
1 y f x
− = si y sólo si x = f ( y ).
Puntualicemos entonces la definición de logaritmo
Definición .- Sea a>0, a ≠ 1. El logaritmo de x con base a se define como
y= log a ( x ) si y sólo si a
y =x,
siempre y cuando x>0.
Observaciones :
1. - Conviene recordar siempre al log a ( x ) como el exponente al que hay que elevar la base para que
se produzca el número x. Por ejemplo 3
2 =9, entonces 2 es el logaritmo de 9 en base 3:
log 3 9=2.
2.- Los logaritmos en base 10 son conocidos como logaritmos decimales, En este caso se suprime el
subíndice en la notación, esto es: log 10 (x)= log( x ). En el caso que la base sea el número e , el
logaritmo se escribe como ln( x ) para representar el logaritmo en base e de x y se lo llama logaritmo
natural de x
3.- El logaritmo sólo está definido para los números estrictamente positivos. El dominio de la
función logarítmica y= log a ( x) es el conjunto (0, ∞). Recuerde que el rango de la función
exponencial es (0, ∞).
4.- y= log a ( x ) es conocida como la forma logarítmica y a
y =x la forma exponencial. En ocasiones
es útil pasar de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa.
5.- De la propia definición, si sustituimos y en la expresión exponencial obtenemos que
a x
a x
log
Si ahora sustituimos x en la expresión logarítmica resulta que
log ( )
y
y = a a
Ejemplo 1.- Convertir las siguientes formas exponenciales en logarítmicas
a) 2 32
5 = ; b) 10 1000
3 = ; c) 1
0 e =
Solución: Hay que tener siempre en mente que el logaritmo es el exponente.
a) El exponente es 5, por tanto es el logaritmo, así: 5 =log 232
b) En este caso 3 es el exponente, por tanto el logaritmo, así: 3 =log 1000
En este caso la base se suprime por ser decimal.
c) 0 es el exponente y la base es e , por tanto usamos la notación ln para representar el logaritmo en
base e : 0 =ln 1
Ejemplo 2.- Convertir las siguientes formas logarítmicas en exponenciales
a) log 16 4 = 1 / 2 ; b) 1
3
log 3 = − c) log( 0. 001 )=− 3
Solución: Las respuestas están dadas en la siguiente tabla.
Forma
Logarítmica
Forma
exponencial
log 16 4 = 1 / (^216 )
1 / 2
log 3 = − 3
1
−
log( 0. 001 )= − 3 10 −^3 = 0. 001
Ejercicio de desarrollo: Convertir las siguientes formas exponenciales en logarítmicas:
a) = ≡
− 3 4 64
b) 8 = 2 ≡
3
Convertir las siguientes formas logarítmicas en exponenciales
a) 2
2
log 2 = − b) 2
log 25 5 =
Sin aplicar calculadoras, ni propiedades, salvo la propia definición y tanteo podemos
calcular algunos logaritmos.
Ejemplo 3.- Calcular los siguientes logaritmos:
a) log 2 ( 8 ); b) log( 0. 01 )y c) ln( e )
Solución: a) La base es 2, para conseguir log 2 ( 8 ) debemos pensar en un exponente y tal que
y , como 2 8
3 = , entonces 3= log 2 ( 8 );
b) Tenemos en este caso que la base es 10, recuerde que el logaritmo es el exponente y tal que
y , el cual se satisface con y=- 2. Así − 2 =log( 0. 01 ).
c) En este caso la base es e , se quiere conseguir y tal que y = ln( e ). Se lleva a la forma
exponencial: e e
y = , esto es
1 / 2 e e
y = , de aquí que ln( e ) = 1 / 2_._
Algunas ecuaciones exponenciales se pueden resolver pasándola a su forma logarítmica y
algunas logarítmicas se resuelven pasándolas a su forma exponencial. Veamos las siguientes
ecuaciones:
Ejemplo 4.- Resolver las siguientes ecuaciones
a) 2 5
1 3
− y ; b) 8
2
x e c) log 2 ( x − 1 )= 3 ; d) log (^) x ( 27 )= 3
Solución : a) y b) las pasamos a su forma logarítmica para resolverlas
a) 1 − 3 y =log 25. Esto es una ecuación lineal en y la cual resolvemos
2) Pase a la forma exponencial
2.1) log 2 64 = 6 ; 2.2)
2
log 3 3 = ; 2.3) 3
log( 3
log 5 = − ; 2.5) 5
ln 5
e
; 2.6) log( 10000 )= 4
3) Resuelva las siguientes ecuaciones:
3.1) ln( x − 1 )= 1 ; 3.2) log( x + 3 )− 2 = 0 ; 3.3) log 2 ( 2 x )=− 3 ;
3 1
− x + e ; 3.5) 2 4 1
1 ⋅ =
x + ; 3.6) 2 = 8
x ;
2
x
4) Calcular los siguientes logaritmos sin usar calculadora:
4.1) log( 100 ); 4.2) log 4 ( 4 ) ; 4.3) )
ln( e
; 4.4)) log( 0. 001 );
4.5)) log ( 4 )
3 2 4.6)^ ln(^ )
0 e ; 4.7) log 16 ( 4 ) ; 4.8) ) 27
log 3 (
APLICACIONES CIENCIAS SOCIALES
1) La población de un país P(t) en millones de habitantes, t años después de 1990, esta modelada
por
t P t Pe
- 02 ( )= 0 ¿Cuándo se duplicará la población? (Resp. 34. 6
- 02
ln( 2 ) t = ≈. En el año 2024).
2) La población de un país P(t) en millones de habitantes, t años después de 1999, esta modelada
por
t P t e
- 04 ( )= 22 ¿Cuándo la población llegará a los 35 millones de habitantes? Suponga que el
modelo permanece en el tiempo. (Resp. En el 2010).
APLICACIONES DE ECONOMÍA
1 ) Un economista predice que el poder de compra P(t) , de una unidad monetaria a los t años a partir
de hoy, será de P ( t )=(0.95 )
t
. ¿Cuándo ese poder de compra será la mitad de lo que es hoy? (Resp.
Dentro de 13.5 años).
2) Una cantidad de 150 UM es invertida a un interés compuesto anual del 5%. ¿Cuánto tiempo
tardará la inversión en valer 200 UM? (Resp. Tardará 5 años con aproximadamente 11 meses).
Resp: 1.1) -4=log(0.0001); 1.2) − 4 =log 2 ( 1 / 16 ); 1.3) log 16 4=1/2; 1.4) 4 = log 3 ( 81 );
1.5) ln(1/e)=-1; 1.6) 3 = log( 1000 ) 2.1 ) 2
6 =64; 2.2) 3 2
1 / 2 = ; 2.3) 3
2 / 3
− ; 2.4)
2
− ; 2.5) 5
e
e =
− ; 2.6) 10 10000
4 = ; 3.1) e+1; 3.2) 97; 3.3) 1/16; 3.4) 3
1 − ln 4 ;
; 4.6) 1; 4.7) 2
; 4.8) 2
GRÁFICAS DE FUNCIONES LORGARITMICAS
Por ser y = log (^) a ( x ) la función inversa de
x y = a , usamos la técnica de obtención de la
gráfica de
− 1 f a partir de la de f por medio de la reflexión en torno a la recta y=x , como muestra la
siguiente figura, para a>1 :
Para 0< a< 1 tenemos
En resumen, las formas generales de las gráficas del logaritmo son dos, dependiendo si la
base es mayor o menor que 1. A continuación presentamos cada una con su reporte.
a > 1
Reporte de la gráfica de la función, y = log (^) a ( x )con
a> 1:
1) El dominio es el conjunto de los reales positivos. El
rango es el conjunto de todos los números reales
2) La intercepción con el eje x es el punto (1,0)
3 ) La función crece de izquierda a derecha.
4) La recta x =0 (el eje y ) es una asíntota vertical, esto
quiere decir que la gráfica de la función se acerca cada
vez más a esta recta.
gráfica. El siguiente ejemplo ilustra como calcular dominio de funciones en donde aparece un
logaritmo
Ejemplo 2.- Calcular el dominio de las siguientes funciones a) log( 2 )
2 y = x − x −
b) y = x log( x − 1 )
Solución:
a) Para calcular el dominio de log( 2 )
2 y = x − x − sólo debemos plantear y resolver la
desigualdad cuadrática 2 0
2 x − x − > .Para ello factorizamos y hacemos un estudio de signo de los
factores
( x − 2 ) ( x + 1 )> 0
b) Para calcular el dominio de esta función debemos plantear la parte común del dominio de x y
del dominio de log( x − 1 ). Esto es la intersección de los dos dominios. El dominio de y= x esta
dado por [0, ∞ ). Para el dominio de log( x − 1 )debemos plantear la desigualdad x − 1 > 0 , cuya
solución es x > 1.
Ejercicio de desarrollo .- Calcular el dominio de la siguiente función x
x x y
log( 2 )
2 − =
EJERCICIOS
1) Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones. Realice un reporte de la gráfica
1.1) y = log( x − 2 ) ; 1.2) y = log (^1) / 2 ( x + 3 ) ;
1.3) y = −log( x )+ 1 ; 1.4 ) y = log 2 ( x − 2 )− 3
Así el dominio de f es el intervalo (1, ∞) por
ser la parte común entre los dominios de los dos
factores.
Recuerde que los pares de paréntesis
arriba de la recta real lleva el signo de los
factores en el intervalo definido por las raíces, y
el paréntesis de abajo lleva el signo del producto
de signos en el intervalo respectivo. De la figura
vemos entonces que la solución de la desigualdad
planteada es:
Dom f= (- ∞ ,-1)U(2, ∞)
2) Encuentre el dominio de las siguientes funciones:
2.1) ( ) log( 9 )
2 f x = x − ; 2.2) log( 3 )
x
x f x ; 2.3) f ( x )= 1 − x log( x + 2 ) ;
2.4)
x x x
x y 5 6
ln( 1 )
3 2 − +
= ;^ 2.5)^ log( 1 ) 1
1 ( ) − +
= x x
g x ;^ 2.6)^ (^ ) ln(^6 )
2 h x = x x − x − ;
2.7)
log( 1 )
x
f x
Respuestas:
2.1) ( −∞, − 3 )∪( 3 ,∞); 2.2) ( 3 , 4 )∪ ( 4 ,∞); 2.3) (-2,1]; 2.4) ( − 1 , 0 )∪( 0 , 2 )∪( 2 , 3 )∪( 3 ,∞)
Observe que en la propiedad 2 se refiere al logaritmo de un cociente, esto es estamos
evaluando el logaritmo en un número expresado como cociente:
n
m
. El logaritmo de un cociente no
es el cociente de los logaritmos:
log ( )
log ( ) log ( ) n
m
n
m
a
a a ≠^.
Para los logaritmos de una suma, log (^) a ( m + n ),y una diferencia, log (^) a ( m − n ), no hay
propiedades generales.
De nuevo estas propiedades son fáciles de demostrar al pasar las formas logarítmicas en
exponenciales. Por ejemplo la propiedad 4: (^) a a = ⇔ a = a
1 log ( ) 1.
Los siguientes ejercicios serán de utilidad más adelante. Por medio de las propiedades se
pide reescribir una expresión con logaritmos:
Ejemplo 1.- Expresar log( x x )en términos de log( x )
Solución: Tal como está expresado log( x x ) lo podemos interpretar como el logaritmo de un
producto y entonces aplicar la propiedad 1. Pero alternativamente podemos rescribir
3 / 2 ( x x )= x
y aplicar la propiedad 3:
log( ) 2
log( ) log( )
3 / 2 x x = x = x.
Ejemplo 2.- Expresar )
2
log(
3
x
x x en términos de log( x ), log( x + 1 )y log( x − 2 )
Solución: La forma de resolver este tipo de ejercicio es analizando cual es la última operación que
se realiza en la expresión que se le toma logaritmo. En este caso es un cociente, por tanto se aplica
la propiedad 2 del cociente:
) log( 1 ) log( 2 ) 2
log(
3
3
= + − − −
x x x x
x x .
log( ) log( 1 ) log( 2 )
3 = x + x + − x −
log( 1 ) log( 2 ) 2
= 3 log( x )+ x + − x −
Ejercicio de desarrollo: Expresar
( 2 )
( 3 ) ln
2
x x
x en términos de ln( x ), ln( x + 2 )y ln( x + 3 )
El primer término del lado derecho es un producto,
por tanto aplicamos la propiedad 1 del producto
El primer término ahora es una potencia, por tanto
aplicamos esta regla. El segundo que es un radical
Lo expresamos como una potencia y también le
aplicamos esta propiedad
ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES
Las propiedades de los logaritmos permiten solucionar algunas ecuaciones logarítmicas.
Básicamente tendremos dos tipos de formas y deberemos llevar la ecuación planteada a una de
estas dos formas a través de las propiedades de los logaritmos:
Forma 1: log^ a ( g ( x ))= c. La recomendación para resolverla es llevarla a la forma
exponencial.
Forma 2: log^ a ( g^ ( x ))=^ log a ( f ( x )). Para resolverla usamos el hecho que la función
logarítmica es biunívoca entonces esta expresión ocurre si y sólo si g ( x )= f ( x ), la cual es la
que resolveremos.
Comentarios:
1) Al llevar una ecuación a la forma 1 o 2 podríamos estar agregando solución, así que debemos
siempre verificar que las soluciones satisfacen la ecuación original.
2) La forma 1 o 2 también se resuelven elevando ambos miembros en base a.
Veamos los siguientes ejemplos donde debemos llevar la ecuación que se nos presente a
una de estas dos formas usando las propiedades de los logaritmos.
Ejemplo 1.- Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) log( 3 x + 1 )−log( x )− 1 = 0 ; b) 2 log( x )= log( x + 1 )+log( x + 2 )
Solución:
a) Esta ecuación la llevamos a la forma 1:
log( 3 x + 1 )−log( x )= 1
log( =
x
x
Ahora la llevamos a su forma exponencial
x
3 x 1 10
Esta es una ecuación racional, multiplicamos ambos lados por x y así obtenemos una ecuación
lineal:
10 x = 3 x + 1
Cuya la solución es:
7
x =.
Esta solución debe ser verificada en la ecuación racional pues puede ser una solución
añadida. En la ecuación logarítmica original, se debe sustituir la solución en cada expresión
logarítmica para verificar que cada expresión a la que se le toma logaritmo sea mayor que cero. El
lector puede verificar que cumple con la ecuación racional y que 3 x +1>0 con
7
x =.
b) Esta ecuación la llevamos a la forma 2 : log (^) a ( g ( x ))= log a ( f ( x )). Para ello en el lado
izquierdo usamos la regla de la potencia y en el lado derecho la propiedad de la suma:
2 log( x )= log( x + 1 )+log( x + 2 )
log( ) log ( ( 1 )( 2 ))
2 x = x + x +
log( 5 ) log( 2 ) log( 5 ) 3 log( 2 ) log( 5 )
2 2 x − x = − +
(log( 5 ) log( 2 )) 2 log( 5 ) 3 log( 2 )
2 x − = −
log( 5 ) log( 2 )
2 2 log(^5 )^3 log(^2 )
x = ;
log( 5 ) log( 2 )
2 log( 5 ) 3 log( 2 ) ≈ −
x =±. Puede confirma que
log(
log(
x = ±
b) Para resolver
1 2
2
x x , primero expresamos 4 como potencias de 2
1 2 2
(^2) + +
x x
1 2 ( 2 ) 2 2 2
2
= ⋅
x x
. Aplicamos logaritmo en base 2 a ambos lados de la ecuación
log ( 2 ) log( 2 2 )
2 ( 2 ) 2
1 2
(^2) + + = ⋅
x x .
( 1 )log ( 2 ) log ( 2 ) log ( 2 )
2 ( 2 ) 2 2 2
2 +
x
x
( 2 ) 1 ( 2 4 )log 2 ( 2 )
2 x + = + x +
2
x + = x +
2 3 0
2 x − x − =
Las soluciones son x = 3 y x =− 1.
Ejercicio de desarrollo: Resolver las siguientes ecuaciones:
a)
x 1 32 x 8 2
2
x 1 32 x 5 4 2
FORMULA DE CAMBIO DE BASE
Si tenemos un número expresado como logaritmo de una base y queremos expresarlo en
otra base usamos la fórmula
que permite hacer este cambio de base.
a
x x
b
b a log
log log =
Se saca factor común x
2 y se despeja
Demostración: Supongamos y = log (^) a ( x ), llevamos esta forma a su forma exponencial
y x = a
Tomando logaritmo en base b a ambos lados, tenemos
y log (^) b x =log ba
Al aplicar la propiedad de la potencia y despejar y obtenemos
log (^) b x = y log b a
Finalmente sustituimos y por su valor para alcanzar la igualdad.
En particular, las fórmulas de cambio de base a la decimal y a la logarítmica viene
expresada por las siguientes
a
x a x log
log log =
a
x a x ln
ln log =
Ejemplo 1.- Expresar los siguientes logaritmos en base 10: a) log 2 ( 10 ) b) ln( x )
Solución: Aplicamos la fórmula de cambio de base en ambos casos:
a) log 2 ( 10 )=
log 2
log 2
log 10 =. b) ln( x ) e
x
log
log
APLICACIONES A LA ECONOMÍA
Ejemplo 1.- Si se invierte 5000UM a un interés compuesto continuamente de 8% anual y otro
capital de 4000UM se invierte en un bono de mayor riesgo pero con un interés compuesto
continuamente de 10% ¿Cuándo se tendrá la misma cantidad de dinero en las cuentas
Solución: En la primera inversión como el interés es compuesto continuamente al 8%, el monto
acumulado está dado por
t At e
- 08 = 5000 ⋅
En la segunda inversión el monto acumulado será de
t Bt e
- 1 = 4000 ⋅
Se tendrá el mismo capital en ambas cuentas cuando
At = B t
t t e e
- 08 0. 1 5000 ⋅ = 4000 ⋅.
Esto es una ecuación exponencial, lo llevamos a la forma
g ( x ) f ( x ) a = c ⋅ a y tomamos logaritmos
neperianos a ambos lados
a
x y
b
b
log
log
APLICACIONES A LAS CIENCIAS NATURALES
Ejemplo 1 .- La presión atmosférica, en milibares, para h kilómetros sobre el nivel del mar está
dada aproximadamente por
h P h e
- 13 ( ) 1013
−
¿A qué altura la presión atmosférica será la mitad de la presión sobre el nivel del mar?
Solución: En este caso nos preguntan h tal que
2
P
P h =. La presión sobre el nivel del mar es
P 0 (^) = 1013. Así que la ecuación a resolver es:
h e
- 13 1013 2
Tomando logaritmos, tenemos
−ln( 2 )=− 0. 13 h
h = 5. 28 km.
La altura cuya presión corresponde a la mitad sobre el nivel del mar es 5280metros.
ESCALA DE RICHTER
Existen diversas escalas para medir la intensidad de los terremotos. La medida apropiada
debería ser la energía liberada. Sin embargo esta medida se escapa de la noción intuitiva del
desastre. El terremoto de mayor intensidad ha liberado una energía aproximada 2x
17 joules, esto
es exorbitantemente grande comparado con un ligero movimiento. Se ha convenido en estandarizar
la energía por
- 4 E 0 (^) = 10 joules, que corresponde a la energía liberada por un leve movimiento. Más
específicamente la magnitud M en la escala de Richter se define como:
log( ) 3
E 0
E
M =
Ejemplo 1.- ¿Cuál fue la magnitud en la escala de Richter del terremoto más intenso?
Solución: )
10
log( 3
- 4
17 x M =
(log 2 log 10 ) 3
log( 210 ) 3
= x = + = +
=8.
Ejemplo 2.- Si la energía liberada por un terremoto es 1000 veces la de otro terremoto ¿Cómo se
pueden comparar las lecturas en la escala de Richter?
Solución: E 1 (^) = 1000 E 2. Calculemos M (^) 1 como función de M (^) 2.
log( 3
0
2 1 E
E
M =
(log( ) log( 10 )) 3
0
2 1 =^ + E
E
M
3 log( 10 ) 3
log( ) 3
0
2 1 =^ + ⋅ E
E
M
M 1 = M 2 + 2.
Así el terremoto de mayor intensidad mide 2 puntos más en la escala de Richter.
ESTIMACION DE LA EDAD
El carbono 14 se mantiene constante en los tejidos de los seres vivos. Una vez que el
organismo muere empieza a disminuir su presencia de acuerdo a la siguiente ley:
kt C t Ce
− ( )= 0 ,
donde k =0.000121. y C 0 es la cantidad inicial del carbono 14 al momento de morir.
Observación: Gracias a que la cantidad de carbono 12 permanece en el organismo aún después de
miles de años muerto y que las plantas fijan el carbono 14 y 12 en la misma proporción que está en
el aire se puede predecir la cantidad inicial de carbono 14, asumiendo que la composición del aire
ha permanecido en el tiempo.
Ejemplo 1 .- Si se ha encontrado un fósil que ha perdido la mitad de su Carbono 14. Calcule la
edad del fósil.
Solución: Recuerde que (^) C (^) 0 es la cantidad de carbono 14 en el momento de morir. Se debe
conseguir t tal que
2
C 0
C t = , que es la mitad del carbono 14 inicial. Se sustituye la fórmula del
decaimiento del carbono 14:
kt Ce
C −
0
2
Simplificando
kt e
−
2
Tomando logaritmos y despejando tenemos
− ln 2 =− kt
t = 5728. 48 años.
Este tiempo es lo que se conoce como la vida media del C14.
EJERCICIOS
1) Expresar )
log( 2
2
x
x − en términos de log( x ), log( x − 1 )y log( x + 1 )
2) Expresar ln( 2 x ( x − 1 ) ( x + 3 ))en términos de ln( x ), ln( x − 1 )y ln( x + 3 )
3) Expresar )
( 2 )
log(
3
x x
x en términos de log( x ), log( x − 1 )y log( x + 2 )
4) Expresar )
( 2 )
ln( −
x
x x en términos de ln( x ), ln( x + 1 )y ln( x − 2 ).
PROBLEMAS ECONOMIA
1) Hace un año se depositó 1500 UM a un interés constante compuesto mensualmente, si al cabo
de un año el monto total era de 1655UM. ¿Cuál es la tasa de interés? (9.87%)
2) Se está promocionando una inversión al 8% compuesto anualmente por tiempo indefinido.
¿Cuánto dinero debería invertirse para que al cabo de 5 años el monto total de la inversión sea de
3000UM (2041,75UM)
3) Calcule la tasa de interés compuesto capitalizable trimestralmente equivalente a una tasa anual
del 7%.
4) Calcule la tasa efectiva de una inversión del 6% compuesto semestralmente.
5) Un capital de 150.000 UM fue depositada hace 15 años a un interés compuesto anualmente de
r x100%. Si en los actuales momentos tiene 355.000. ¿A qué interés fue depositada el capital, si
suponemos que la tasa se mantuvo constante todos estos años? Resp 5.91%
6) Alicia quiere hacer un viaje dentro de 5 años que le costará 6.000 UM. ¿Cuánto debería invertir a
un interés compuesto anual del 7% para tener la cantidad suficiente para el momento del viaje?
Resp. 4083,5UM
7) La ecuación A=P(1.08)
t da el valor A, al final de t años de una inversión de P UM compuesta
anualmente a una tasa de interés de 8%. ¿Cuántos años tomará para que una inversión se duplique?
Dé su respuesta al año más cercano. Resp. 9 años
8 ) La función de demanda de un producto está dada por
ln( 1 )
q
p. ¿Cuántos artículos serán
demandados a un precio de 10UM.? (Resp 1 147
5 e − ≈ )
9) La función de demanda de un artículo está dada por
q p e
- 002 150
− =. ¿Cuántos artículos serán
demandados a un precio de 10UM.? (Resp. 1354
- 002
ln 15 ≈ artículos)
10) El poder adquisitivo de una cantidad inicial P 0 decae según el modelo
t P Pe
006 0
− = , donde t
está medidos en años. ¿Cuánto tiempo tardará en depreciarse ese capital en la mitad? (Resp.
ln 2 ≈ años)
PROBLEMAS DE CIENCIAS NATURALES
1) El crecimiento de los árboles en ocasiones es modelado usando el modelo logístico. Suponga que
cierta variedad sigue el siguiente modelo, t e
h t
- 3 1 210
−
= donde h ( t )es la altura en metros
después de t años de sembrado. ¿Qué altura tendrá a los 10 años de sembrado? ¿Cuánto tiempo
tiene que transcurrir para que su altura sea de 25 metros) (9.6; 17.8 años)
2) El yodo radioactivo tiene una ley de decrecimiento exponencial con un tiempo de vida de 20.9 h.
Si a una persona se inyecta yodo 133 y tiene una tiroides sana ella absorbe todo el iodo a) Después
de 24 horas de haberse inyectado yodo a una persona sana ¿Qué porcentaje de yodo 133 debería
encontrarse en la tiroides? b) Si al paciente se le detectó el 43% de yodo 133 inyectado. ¿Qué
porcentaje queda en el cuerpo? (45%, 2%)
3) El terremoto de San Francisco liberó una energía aproximada de 5.96x
16 joules. ¿Cuál fue su
magnitud en la escala de Richter? (8.25)
4) El mayor terremoto registrado hasta ahora fue de 8.6 en la escala de Richter. Si un terremoto es
de 7.5 en la escala de Richter. ¿Cuántas veces más intenso es este terremoto con respecto a uno de
7.5? (Sugerencia: Calcule la energía liberada por ambos terremotos y haga el cociente entre ellas.
5) La presión atmosférica, en milibares, para h kilómetros sobre el nivel del mar está dada
aproximadamente por
h P h e
- 13 ( ) 1013
− = .Si la presión del aire fuera de un avión que está volando
es de 700mb ¿A qué altura está volando? (2.84km)
6) El porcentaje de árboles en una plantación frutal que se ha infectado por una enfermedad está
dada por
t e
P t
- 05 1 20
−
donde t es el número de días, medido a partir del momento en que se descubrió el contagio.
¿Cuántos días tardará en infectarse el 80% de la plantación? ( 87. 6
- 05
ln( 80 ) t = ≈ días).
Respuestas:
1) log( x -1)+log (x+ 1)-2log x ; 2) ln 2 + ln x +ln( x − 1 )+ 1 / 3 ln( x + 3 );
3) [ 3 log( 1 ) log log( 2 )]
2
x − − x − x + ; 4) ln x + 1 / 2 (ln( x − 1 )−ln( x − 2 ))
5.1) 2, (-5 no es solución);
5.2 ) -4 no es solución; 5.3) 2 (-2 no es solución); 5.4) 4; 5.5) -19/8 no es solución;
5.6) -2;4; 5.7)
3
2
ln
− ln 5 ≈ 1.71; 5.8) 4(0 no es solución) 5.9 ) 1/3 ; 5.10) 2
2
1 e
e
;
5.11 ) ± 2 ; 11.- 25ln(35/22) ≈ 11.6; 5.12) 1, e
log 3
; 6.2) log e
log 5 ; 6.3) ln 10
ln 12 ; 6.4) ln 4
