DIPLOMADO EN EL ÁREA DE ACCESO AL CONOCIMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS
SOBRE LOGARITMOS
Logaritmos
Autores: Alejandro Javier Díaz Barriga Casales / Andrés Alonso Flores Marín / María Rosa Hernández Mondragón / Luis Felipe de Jesús
Malacara Preciado / Ana Meda Guardiola / Diana Rivera Hernández / Francisco Rivera Ramírez / Carla Alejandra Rivera Ramírez /
Guadalupe Yañez Barrón / Diseño gráfico e instruccional: Carolina Nube Blanca Chávez Muñoz.
En general, dados un número y diferente de 1 y un número cualquiera, el exponente al
𝑎 > 0 𝑐 𝑏
que tenemos que elevar a para tener la igualdad
𝑎
𝑎𝑏= 𝑐
Se llama logaritmo con base del número y se denota por .
𝑎 𝑐 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐 = 𝑏
Podremos asegurar la existencia y unicidad de dicho número si pedimos que sea positivo y
𝑎
diferente de 1. En otras palabras, si le imponemos dichas condiciones al número tendremos una
𝑎
función.
Observa que si , no existe un número tal que para casi ningún valor de , salvo si
𝑎 = 0 𝑏 𝑎𝑏= 𝑐 𝑐
y algo similar pasa si .
𝑐 = 0 𝑎 = 1
Considerar el caso presenta dificultades enormes pues, entre otras cosas, las potencias
𝑎 < 0
naturales de números negativos van alternándose como números positivos y negativos según sea
𝑏
par o impar. De hecho, lo que sucede es que es imposible definir una función con buenas
𝑙𝑜𝑔𝑎·( )
propiedades si no cumple las condiciones que le hemos impuesto arriba.
𝑎
Una manera de asegurar la existencia de la función es utilizando el siguiente
𝑔 𝑥( ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥( )
teorema que nos limitamos a enunciar:
Teorema. – Si es continua y biyectiva, entonces su inversa es continua.
𝑓: 𝑅 → 𝑅>0 𝑓−1: 𝑅>0 → 𝑅
Recordando que nosotros definimos las funciones , las cuales cumplen con las hipótesis
𝑓 𝑥( ) = 𝑎𝑥
del teorema anterior siempre y cuando sea distinto de 1, podemos concluir que estas funciones
𝑎
tienen una función inversa continua, dicha función inversa es quien nos ayuda a definir
.
𝑔 𝑥( ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥( )
El teorema anterior puede refinarse un poco para obtener un teorema conocido como el teorema
de la función inversa que nos da información sobre la diferenciabilidad de las funciones, resulta
que la función también es diferenciable.
𝑔 𝑥( ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥( )
Un caso especial muy interesante es cuando la base es igual al número , el número de Euler; en
𝑎 𝑒
este caso denotaremos por al número , y lo conocemos como el logaritmo natural o
𝑙𝑛 𝑥( ) 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥( )
logaritmo neperiano de 𝑥.
En este caso particular, una forma muy geométrica de definir la función
