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Facultad de Ciencias de la Salud U.2: Funciones
UNaF – Facultad de Ciencias de la Salud – Año Académico 2020 - Matemática I – Apuntes de cátedra Material elaborado y/o recopilado por el Esp.- Prof. Jorge Mora
UNIVERSIDAD NACIONAL DE FORMOSA
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD
CARRERAS:
- Técnico en Laboratorio de Análisis Clínico
- Licenciatura en Bromatología
ASIGNATURA
- MATEMÁTICA I: Apuntes de Cátedra
UNIDAD 2: Funciones
INTEGRANTES DE LA CÁTEDRA
Profesor Adjunto Ordinario (a Cargo de la Cátedra): Esp-Prof. Jorge Mora
Profesor Adjunto Interino: Esp-Prof. Mario E. Quintana
Jefe de Trabajos Práctico Interino: Prof. Teresa E. Cardozo
Jefe de Trabajos Práctico Interino: Prof. José H. Pereira
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ÍNDICE
Tema Pág.
Funciones (definición y condiciones…) …… … … … … … … … … … … … … … …. … 03
Función Numérica .. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 04
Clasificación de funciones …… .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … 05
Función Inversa ….. … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 06
Función pares e impares… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 07
Función creciente y función decreciente… … … … … … … … … … … … … … … … … 08
Función periódica … …… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 08
Función Lineal … … …… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 09
Casos particulares de función lineal .… … … … … … … … … … … … … … … … … … 09
Distintas formas de expresar la recta … … … … … … … … … … … … … … … … … ... 10
Ecuación de la recta que pasa por un punto… … … … … … … … … … … … … … … … 10
Condición de paralelismo y perpendicularidad .… … … … … … … … … … … … … …. 10
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos … … … … … … … … … … … … … … …. 11
Función Cuadrática …… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. 11
Función Exponencial…… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12
Función Logarítmica …… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 13
Matemática en Temas de salud … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14
Bibliografía … …… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 18
Recordemos símbolos y significados: Símbolos Significado
/ Tal que Pertenece a y
∨ o
∃ Existe
∀ Para Todo
∪ Unión
∩ Intersección
Entonces o implica
Si y sólo si, implica doblemente o doble implicación : Definida (para el caso de funciones) en (para el caso de funciones)
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Función Numérica Cuando en una función tanto el conjunto de partida como el conjunto de llegada están formados por conjuntos numéricos, estas reciben el nombre de función numérica.
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3}; B = {0, 1, 2, 3}
f : A B / f(x) = x – 1, lo que también puede escribirse como y = x – 1
La función expresada mediante sus pares ordenados será: f = {(1, 0); (2, 1); (3, 2)}, donde el conjunto dominio es Df = A = {1, 2, 3} y el conjunto imagen es Img = {0, 1, 2}, este último es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.
Esta función representada mediante diagramas de Venn resulta:
A f B 1 0
2 1 Img 3 2 3
Las funciones también pueden representarse en el plano, mediante un sistema de ejes cartesiano ortogonales, donde el eje horizontal es denominado eje de abscisas , en el cual se representa al dominio de la función y el eje vertical es denominado eje de ordenadas , en el cual se representa al conjunto de llegada. En ese caso, la gráfica de la función resulta ser el conjunto de puntos (x, y) del plano para los cuales resulta que y = f(x)
Para el ejemplo anterior la correspondiente representación
en el plano es la siguiente:
El conjunto dominio de una función numérica puede ser parte o coincidir con un conjunto numérico, la gráfica que corresponda a la representación en el sistema de ejes cartesiano de una función, dependerá del conjunto numérico con el que se trabaje.
Si el dominio es un conjunto discreto, es decir, parte o la totalidad de los conjuntos numéricos N y/o Z, la gráfica de la función en el plano estará dada por puntos aislados. En cambio, si el dominio es un conjunto denso de puntos (parte o la totalidad del conjunto numérico R, la gráfica de la función será un trazo continuo, (recta si la función es lineal, parábola si la función es cuadrática, parábola cúbica o simplemente una curva en otros casos)
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Z
Z
Para la representación gráfica de una función en un sistema de ejes, es importante encontrar, si existen, las intersecciones de dicha gráfica con cada uno de los ejes.
La intersección de la representación gráfica de una función con el eje de ordenadas (eje y), sí existe es única y se obtiene haciendo x = 0. Las coordenadas del punto de intersección es: (0; f(0))
La/las intersección/es con el eje de abscisas (eje x), si existen, corresponden a puntos en los cuales f(x) = 0. Los puntos del dominio para los cuales f(x) = 0, reciben el nombre de ceros de la función.
x 1 es cero de la función f f(x1) = 0
Las funciones usualmente se definen por medio de una fórmula que permite encontrar el valor que corresponde a la imagen “ f(x) ” de los elementos del dominio “x”
Ejemplos de funciones dadas por fórmula y en distintos conjuntos numéricos
a) f : Z Z / f(x) = - x + 1 , el conjunto dominio de la función es el conjunto de números enteros por lo tanto su representación gráfica corresponderá a puntos aislados.
La intersección con el “ y” ocurre en el punto de coordenadas (0; 1), a y = 1 se denomina ordenada al origen. La intersección con el eje “x” ocurre en el punto de coordenadas (1; 0), a x = 1 se denomina cero de la función.
b) g : R R / g(x) = x^2 – 4 , como el conjunto dominio de la función es el conjunto de números reales su representación gráfica corresponderá a un trazo continuo.
La intersección con el “ y” ocurre en el punto de coordenadas (0; - 4), a y = - 4 se denomina ordenada al origen. La intersección con el eje “x” ocurre en los puntos de coordenadas (-2; 0) y (2; 0), x 1 = -2 y x 2 = 2 son los ceros de la función.
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Otro ejemplo de función no inyectiva lo constituye la función valor absoluto, que se define del siguiente modo
f : R R / f(x) x R
Df = R , Img = R 0 , 3
Función no inyectiva
-3 3 R
- Función sobreyectiva o suryectiva Una función f : A (^) B es sobreyectiva o suryectiva si y sólo si todo elementos “ y” del conjunto de llegada es imagen de algún elemento “x” del dominio, es decir, f es función sobreyectiva cuando el conjunto imagen coincide con el conjunto de llegada.
Simbólicamente se indica: f : A B es sobreyectiva o suryectiva y B, x A/y f x
El ejemplo a) dado anteriormente corresponde a una función sobreyectiva
La función valor absoluto definida del siguiente modo f : R R 0 / f(x) x , también es
una función sobreyectiva
- Función biyectiva Una función f : A B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente. Simbólicamente se indica:
x 1 , x 2 A / x 1 x 2 f x 1 f x 2
f : A B es biyectiva y B, x A/y f x
Los siguientes casos son ejemplos de funciones biyectivas
a) f : Z Z / f(x) = - x + 1 b) g : R R / y = g(x) = 0.5 x – 2 c) h : R 0 R 0 / h(x) x
d) t : R R / y = t(x) = 2 x^3
Función Inversa
Si f : A B es biyectiva, entonces existe una función f -1^ : B A que se denomina inversa de f y tal que si (x; f(x)) f ( f(x); x) f -1^ , o bien si (x; y) f (y; x) f -1, es decir, que x = f -1(y). La representación gráfica de una función es simétrica de la de su inversa y el eje de simetría es la recta cuya ecuación es la función y = f(x) = x, conocida también como función identidad.
La función biyectiva es la única que admite inversa.
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Para obtener le ecuación de la función inversa de una dada se debe realizar lo siguiente:
- A partir de la fórmula dada y = f(x), se despeja la variable x
- luego se realiza un cambio de variables obteniéndose así f - Ejemplo:
A partir de y = f(x) = 0,5 x – 2 y = 2
^1 x – 2
Al despejar x resulta x = (y + 2).2 = 2.(y+2)
Efectuando el cambio de variables resulta f -1(x) = 2(x+2)
La representación gráfica de la función y su inversa es: Además al representar la recta de ecuación y = x se ob- serva que la misma resulta ser el eje de simetría.
Funciones pares e impares
Una función es par si y sólo si x Df se cumple que f(x) = f(-x). La representación gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de las ordenadas
Ejemplos de funciones pares
a) f(x) = x^2 b) g(x) x
c) h(x) = cos x
Una función es impar si y sólo si x Df se cumple que f(x)= -f(-x). La representación gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
Ejemplos de funciones impares
d) f(x) = x e) g(x) = x^3 f) h(x) = sen x
Función creciente y función decreciente
Una función escalar definida de A en B es creciente si y sólo si para todo par de puntos x 1 A x 2 A se cumple que si x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). La función es estrictamente creciente si y sólo si x 1 A x 2 A : ( x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 )).
Una función escalar definida de A en B es decreciente si y sólo si para todo par de puntos x 1 A x 2 A se cumple que si x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). La función es estrictamente decreciente si y sólo si x 1 A x 2 A : ( x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 )).
y=0.5 x – 2
f -^1 (x) =2(x+2) y = x
h(x) = cos x
h(x) = sen x
x 1 < x 2
Ejemplo
x 1 < x 2
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b
a x
y 1 P 1 (x 1 ; y 1 )
x 1 x
Distintas formas de expresar la recta
La fórmula o ecuación y = m x + b, recibe el nombre de forma explicita de la recta. Si a partir de ella se iguala a cero la ecuación y se reemplazan los coeficientes y término independiente por A , B y C respectivamente, se obtiene Ax + By + C = 0 , donde A , B y C son constantes tales que los dos primeros no sean nulos a la vez. Tal expresión recibe el nombre de forma general o implícita de la recta.
y
Es importante aclarar que, únicamente se pueden expresar mediante la forma segmentaria las rectas que no pasen por el origen del sistema.
Ecuación de la recta que pasa por un punto y
Sea r : y = m x + b ecuación de todas las rectas del plano para indicar la ecuación de una recta del plano bastará con dar a conocer su pendiente m 1 y uno de sus puntos P 1 (x 1 ; y 1 )
Si el punto pertenece a la recta ( P 1 r), las coordenadas del mismo satisfacen la ecuación de la recta, es decir que y 1 = m 1 x 1 + b (^) b= y 1 - m 1 x 1 reemplazando en la primer ecuación m por m 1 y b por su equivalente obtenido en la última igualdad resulta:
y = m 1 x + y 1 - m 1 x 1 y - y 1 = m 1 (x - x 1 ) y = m 1 (x - x 1 ) + y 1 Ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 (x 1 ; y 1 ) y tiene pendiente m 1.
Para una pendiente cualquiera será: y = m (x - x 1 ) + y 1 ecuación del haz de rectas que pasan por P 1 (x 1 ; y 1 )
Condición de paralelismo y perpendicularidad
Sean r 1 y r 2 dos rectas cuyas ecuaciones son: r 1 : y = m 1 x + b 1 r 2 : y = m 2 x + b 2 Teniendo en cuenta que dos rectas son paralelas si y sólo sí sus pendientes son iguales resultará que: r 1 // r 2 m 1 = m 2
Considerando que si dos rectas son perpendiculares, sus pendientes, son recíprocos y
de signos contrarios, resultará que: r 1 r 2 m 2 = m 1
Ejemplos: las rectas dadas en a) y c) son paralelas y las de los casos a) y b) son perpendiculares
a) y = 2 x + 1 b) y = 2
x + 1 c) y = 2 x - 2
La expresión 1 b
y a
x , recibe el nombre de forma segmentaria,
donde a y b representan los puntos de intersección de la recta con los ejes x e y respectivamente ( a 0 y b 0 ), a recibe el nombre de “ abscisa al origen ” y b el de “ordenada al origen”. Tanto a como b indican el valor donde la recta interseca a los ejes x e y respectiva- mente, determinando sobre los ejes segmentos con uno de sus extremos en el origen del sistema.
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P 2 (x 2 ; y 2 )
P 1
y 2 - y 1
x 2 - x 1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Sean P 1 (x 1 ; y 1 ) y P 2 (x 2 ; y 2 ) dos puntos del plano, para determinar la ecuación de la recta que pasa por esos puntos partimos de: y = m (x - x 1 ) + y 1 , ecuación de la infinitas rectas que pasan por P 1 y tienen pendiente m, de todas esas rectas habrá sólo una que pase por P 2 ,
sabiendo además que (a partir del análisis del gráfico) m (^) = tg = 2 1
2 1 x x
y y
y
reemplazando en la ecuación m por la expresión equivalente resultará:
y = 2 1
2 1 x x
y y
(x - x 1 ) + y 1
Ecuación de la recta que pasa por los puntos P 1 (x 1 ; y 1 ) y P 2 (x 2 ; y 2 )
Función Cuadrática
Las funciones definidas del siguiente modo f : R R / f(x) = a x^2 + b x + c, con a 0 (también suele expresarse mediante y = a x^2 + b x + c ) reciben el nombre de función cuadrática, su representación gráfica es una curva llamada parábola ( o parte de ella, según como este definida la función)
Para la representación gráfica se deben tener en cuenta los siguientes aspectos.
a) concavidad: si a > 0 , la parábola es cóncava , se suele decir que las “ramas o brazos” de la parábola se dirigen hacia arriba. En ese caso generalmente el conjunto imagen es un intervalo del conjunto de números reales que va desde el vértice de la parábola a infinito, [ yv; )
si a < 0 la parábola es convexa , se suele decir que las “ramas o brazos” de la parábola se dirigen hacia abajo. En ese caso generalmente el conjunto imagen es un intervalo del conjunto de números reales que va desde menos infinito al vértice de la parábola a (- ; yv ]
b) Intersección con el eje x
Se obtiene igualando la función a cero, es decir, a x^2 + b x + c = 0 , resolviendo la ecuación de segundo grado, se obtiene/n el/los punto/s de intersección de la parábola con el eje x. (a) Si la ecuación tiene 2 raíces x 1 y x 2 reales y distintas, la parábola corta al eje x en dos puntos.
(b) Si las raíces son reales e iguales, hay un solo punto de intersección con el eje x , (c) si las raíces son complejas no hay intersección entre la parábola y el eje x.
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Su representación Gráfica es:
Función Logarítmica
La función logarítmica es de la forma f : R+^ R / f(x) = log b x , con b > 0 b 1.
El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos, Df = R+^ El conjunto imagen es el conjunto de los números reales Img = R. La función es biyectiva.
Si la base b > 1 , la curva es creciente, los números entre 0 y 1 tienen logaritmo negativo; los número mayores a 1 tienen logaritmo positivo. El cero o raíz de la función es x 1 = 1
Ejemplo: f : R+^ R / y = f(x) = log 2 x
Una tabla de valores correspondiente puede ser:
Si la base b < 1 , la curva es decreciente, los números entre 0 y 1 tienen logaritmo positivo; los número mayores a 1 tienen logaritmo negativo. El cero o raíz de la función es x 1 = 1
Ejemplo: f : R+^ R / y = f(x)= x 2
log 1
Una tabla de valores correspondiente puede ser:
Las funciones f(x) = b x^ y f(x) = log b x son funciones inversas.
En las siguientes representaciones gráficas se evidencia la simetría existente en cada caso:
Su representación Gráfica es:
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Matemática en Temas de salud Representación gráfica del Índice de Masa corporal ( IMC )
Figura 1. Cambios del IMC con la edad de las niñas españolas. Se señalan los valores correspondientes a los percentiles más relevantes en la práctica clínica.
Figura 2. Cambios del IMC con la edad de los niños españoles. Se señalan los valores correspondientes a los percentiles más relevantes en la práctica clínica.
Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/IMC-ninos3.jpg
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2.- Gráficos, Curvas de crecimiento en niños
3.-
4.-
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5.-
Fuente: http://www.excesodepeso.com.ar/tablas-de-pesos-y-medidas/ https://www.google.com.ar/search?q=graficas+de+lejarraga+y+orfila
Representaciones Gráficas de la evolución de casos de coronavirus en Marzo 2020
En la representación anterior, al unir los puntos que representan los casos acumulados al 16/03 se evidencia que se aproxima a una función exponencial.
