Funciones Polinómicas: Afines, Cuadráticas y de Mayor Grado, Resúmenes de Matemáticas

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Las funciones polinómicas

Las funciones polinómicas

Una función polinómica es aquella que tiene por expresión un polinomio. En general, suelen estudiarse según el grado del polinomio:

Las funciones afines Una función afín es una función polinómica cuya expresión es un polinomio de grado 1, del tipo: f ( x ) = ax + b La gráfica de una función afín es una recta. Al número a se le denomina pendiente de la recta e informa de la inclinación de ésta. Por ejemplo:

Puntos de corte con los ejes: con el eje X: (– b / a ,0) con el eje Y: (0, b ) Crecimiento: la función es creciente si a > la función es constante si a = 0 la función es decreciente si a < 0 Un tipo especial de funciones afines son las funciones lineales: una función lineal es una función afín cuyo término independiente es 0. Su representación es una recta que pasa por el origen. Por ejemplo:

recta correspondiente a la función f ( x ) = 2 x

Las funciones cuadráticas Una función cuadrática es una función cuya expresión es un polinomio de grado 2. Su representación es una parábola, cuyos elementos esenciales son el eje de simetría, el vértice y las ramas:

Función f ( x ) = 3, cuya pendiente es 0, también denominada función constante.

Función g ( x ) = –2 x + 4, cuya pendiente, –2, es negativa y, por ello, es decreciente.

Función h ( x ) = 3 x – 4, cuya pendiente, 3, es positiva y, por ello, es creciente.

vértice de la parábola

ramas de la parábola

eje de simetría

El genio de Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707-1783) fue un matemático suizo cuyos trabajos más importantes se extendieron por casi todos campos de la matemática, e incluso por otras ciencias. Algunos de ellos se centraron en las funciones y fue el primer matemático que dio una definición de este concepto semejante a la actual. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, donde se licenció a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de Física en 1730 y de Matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de Matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas. En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770). La extensión de su trabajo es inmensa, y su mérito es aún mayor si se tiene en cuenta su accidentada vida y, especialmente, su ceguera parcial en los años finales de su existencia.

El matemático suizo Leonhard Euler

¿Qué es una función lineal y cuáles son sus características?

Una función lineal o de proporcionalidad directa es una función cuya

expresión es un polinomio de grado 1 sin término independiente, del tipo

f ( x ) = ax. La gráfica de una función lineal es una recta que pasa por el

origen de coordenadas. Al número a se le denomina pendiente de la recta.

Una función polinómica es aquella cuya expresión es un polinomio. El estudio de las funciones polinómicas se efectúa según el grado del polinomio; por lo tanto, se debe empezar por las funciones que tienen por expresión polinomios de grado 1. Una función lineal o de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión consiste en el producto de un número por la variable. Es decir, f es una función lineal (o de proporcionalidad directa) si f ( x ) = ax siendo a un número cualquiera Por ejemplo, son funciones lineales: g ( x ) = 2 x h ( x ) = 4 x s ( x ) = –3 x El número que multiplica a la variable se denomina razón de proporcionalidad. Así, la razón de proporcionalidad de la función g es 2, la de la función h es 4, y la de s es –3. Para estudiar la forma de la gráfica de una función lineal, se puede crear, en primer lugar, una tabla de la función g ( x ) = 2 x. Si se representan estos puntos, se obtiene esta gráfica:

Fácilmente puede observarse cómo si se pudiesen dibujar todos los puntos de la gráfica de la función, el resultado sería una recta que contendría el origen de coordenadas. En general, la gráfica de cualquier función lineal es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Puede demostrarse este hecho, ya que cualquier función lineal es de la forma f ( x ) = ax , siendo a un número cualquiera; si se busca la imagen del 0, f (0) = a · 0 = 0. Es decir, la imagen del 0 siempre ha de ser 0, luego el punto (0,0) siempre pertenece a la gráfica de la función. Así pues, para dibujar una función lineal cualquiera sólo deben seguirse estos pasos:

• Se encuentra la imagen de un valor cualquiera de la variable que no sea el 0 (que ya sabemos que es 0).
• Se marca el punto que corresponde a este par ordenado en el plano cartesiano.
• Se traza la recta que pasa por el punto (0,0) y por el punto anterior.

Esta recta debe ser la gráfica de la función lineal. La gráfica de cualquier función debe contemplarse de izquierda a derecha. Dicho esto, si dibujamos varias funciones lineales, como las siguientes f ( x ) = –2 x , g ( x ) = – x , h ( x ) = –1/2 · x , s ( x ) = 1/3 · x , t ( x ) = 2 x y r ( x ) = 3 x , puede observarse cómo varía la inclinación o pendiente de la recta:

• Si la razón de proporcionalidad es positiva, la recta crece con mayor rapidez, cuanto mayor es la razón.

x f( x ) –1 – –0,8 –1, –0,6 –1, –0,4 –0, –0,2 –0, 0,2 0, 0,4 0, 0,6 1, 0,8 1, 1 2

Una vez conocido este hecho, es fácil representar una función afín a partir de su expresión algebraica:

• Se buscan dos pares ordenados que pertenezcan a la gráfica de la función.
• Se representan estos puntos en el plano cartesiano.
• Se unen los puntos mediante una recta.

Esta recta debe ser la gráfica de la función afín. En la gráfica de una función afín, f , debe destacarse dos puntos:

• La intersección de la recta con el eje de ordenadas, que puede encontrarse resolviendo f (0). El punto en cuestión será, pues, (0, f (0)). Por ejemplo, la intersección de f ( x ) = 3 x – 2 con el eje de ordenadas es (0, f (0)), es decir, (0,–2). Puede observarse que f (0) es, siempre, el término independiente de la expresión de la función afín.
• La intersección de la recta con el eje de abscisas, que puede encontrarse resolviendo f ( x ) = 0; si x ' es la solución de esta ecuación, el punto de intersección con el eje de abscisas será ( x ',0). Por ejemplo, la función 3 x – 2 corta al eje de abscisas en un punto cuya coordenada de ordenadas cumple f ( x ) = 0, es decir, 3 x – 2 = 0; resolviendo esta ecuación x = 2/3. El punto de intersección es, pues, (2/3,0).

El siguiente gráfico muestra ambos puntos de intersección.

Estas funciones: ( x ) = 3 x g ( x ) = 3 x + 1 h ( x ) = 3 x + 2 s ( x ) = 3 x – 1 tienen la misma pendiente; si observamos su representación comprobaremos que son rectas paralelas: Es decir, la única modificación gráfica que se observa al cambiar el término independiente de una función consiste en el desplazamiento paralelo de la recta. Además, se puede observar que una función lineal no es más que una función afín cuyo término independiente es 0, o bien es aquella función afín que pasa por el origen. De esta manera podremos observar que las funciones afines pueden o bien mantenerse paralelas al eje X, o bien ir creciendo a medida que desplazamos la vista hacia la derecha, o bien ir decreciendo a medida que desplazamos la vista hacia la derecha.

punto de corte con el eje de abscisas (2/3,0)

punto de corte con el eje de ordenadas (0,–2)

Además, las funciones afines que van creciendo a medida que se desplaza la vista hacia la derecha, denominadas funciones crecientes, son aquellas que tienen la pendiente positiva. En cambio, las funciones afines que van decreciendo a medida que desplazamos la vista hacia la derecha, denominadas funciones decrecientes, son aquellas que tienen la pendiente negativa. Evidentemente, las funciones afines que son paralelas al eje X tienen la pendiente igual a 0. En este gráfico observamos una función creciente, una decreciente y una paralela al eje X.

En definitiva, una función es creciente cuando, a medida que aumenta el valor de la x , también aumenta el valor de la y. De manera semejante, una función es decreciente cuando, a medida que aumenta el valor de la x , disminuye el valor de la y. Finalmente, una función es constante cuando el valor de la y no cambia al variar el valor de la x. A veces es necesario descubrir la función afín que contiene dos puntos determinados. Veamos cómo se realiza siguiendo un ejemplo: supongamos que queremos encontrar una función afín cuya gráfica contiene los puntos (1,–1) y (–2,–7). Se denomina a a la pendiente de la función y b a su término independiente. De esta manera, la expresión de esta función debe ser f ( x ) = ax + b. Se debe buscar un sistema de ecuaciones para encontrar a y b : Como el punto (1,–1) es de la gráfica de la función: f (1) = –1, es decir, a + b = –1. Como el punto (–2,–7) es de la gráfica de la función: f (–2) = –7, es decir, –2 a + b = –

Se resuelve el sistema que ha surgido de las anteriores condiciones: a + b = – –2 a + b = – cuyas soluciones son a = 2 y b = –3. En este caso, pues: f ( x ) = 2 x – 3.

Función f ( x ) = 3, cuya pendiente es 0, también denominada función constante.

Función g ( x ) = –2 x + 4, cuya pendiente, –2, es negativa y, por ello, es decreciente.

Función h ( x ) = 3 x – 4, cuya pendiente, 3, es positiva y, por ello, es creciente.

Es decir, a ambos lados de x = 0,5, los valores de la función se repiten. Este hecho se puede observar también visualmente, dibujando una recta perpendicular al eje X que pase por x = 0,5; la parte de la gráfica que queda a la izquierda de esta recta es la imagen reflejada de la parte derecha. Esta propiedad se denomina simetría. Así, una parábola es siempre simétrica respecto a una recta, denominada eje de simetría.

El vértice

La intersección entre la parábola y el eje de simetría se denomina vértice de la parábola. En el ejemplo, el vértice de la parábola coincide con el punto de coordenada x = 0,5, y coordenada y = –6,75, es decir, el punto (0,5,–6,75). En general, el vértice de la parábola que representa la función f ( x ) = ax^2 + bx + c , tiene como coordenada de abscisas: x = – b /2 a en el ejemplo, siendo f ( x ) = 3 x^2 – 3 x – 6, sabemos que a = 3, b = –3 y c = –6; por tanto, la coordenada x del vértice es x = –(–3)/(2 · 3) = 0,5, tal como ya habíamos anunciado.

Las ramas

A partir del vértice de la parábola, ésta se desarrolla con dos trazos simétricos, cada uno de los cuales se denomina rama. En el caso del ejemplo, las dos ramas se dirigen hacia arriba, pero en otros casos podrían dirigirse hacia abajo.

¿Cómo se construye la gráfica de una función cuadrática?

Para hallar la gráfica de una función cuadrática se debe buscar, en primer

lugar, el vértice de dicha gráfica. A continuación, se deben buscar pares de

puntos equidistantes del vértice; cuantos más pares de puntos se

encuentren, más precisa será la representación de la parábola. Además, en

toda parábola es conveniente señalar los puntos de cortes con los ejes.

Dada la expresión de una función cuadrática, estos son los pasos para conseguir su representación en el plano cartesiano:

1. Se encuentra el vértice de la parábola, que tiene como coordenada x = – b /2 a. Por ejemplo, si se quiere representar la función cuadrática f ( x ) = 4 x^2 − 4 x – 35, su vértice tiene coordenada x = 4/(2 · 4) = 1/2, cuya coordenada y será f (1/2) = 4 · (1/2) 2 − 4 · (1/2) – 35 = –36. Por lo tanto, el vértice es (1/2, –36).
2. Se encuentran diferentes pares de puntos de la función que tengan la coordenada x equidistante respecto de la coordenada x del vértice, y se representan estos puntos juntamente con el vértice. Es suficiente representar dos puntos equidistantes del vértice para hacernos una idea de la forma de la parábola. Por ejemplo, dos números equidistantes de 1/2, podrían ser el –1 y el

vértice de la parábola

2; sus imágenes son: f (−1) = f (2) = –27 (ya sabemos que valores equidistantes de la coordenada x del vértice tienen la misma imagen).

3. Se unen estos puntos mediante una curva parabólica: el vértice no debe ser de forma puntiaguda, sino redondeada; además, las ramas de la parábola deben elevarse (o dirigirse hacia abajo) de manera que siempre se vayan abriendo más y más. Esta podría ser la representación de la parábola del ejemplo:

En todo caso, existen muchos programas informáticos que permiten representar de manera más precisa una parábola a partir de su expresión algebraica. Junto con el vértice, otros puntos importantes de una parábola son las intersecciones de ésta con los ejes coordenados.

• Toda parábola tiene una única intersección con el eje de ordenadas; para hallarla tan sólo es necesario calcular la imagen de x = 0; el punto intersección será (0, f (0)). Por ejemplo, en el caso de la función f ( x ) = 3 x^2 – 3 x – 6, f (0) = –6. Así pues, la intersección de la parábola con el eje Y será (0,–6).

Para hallar la intersección de la parábola con el eje de abscisas, debe igualarse la función a 0; de esta manera se obtiene una ecuación de segundo grado, denominada ecuación asociada a la función cuadrática. En el caso de la función f ( x ) = 3 x^2 – 3 x – 6, la intersección de la parábola con el eje de abscisas se halla resolviendo 3 x^2 – 3 x – 6 = 0. En este caso, las soluciones son x = –1 y x = 2. Por lo tanto, la parábola corta al eje en (–1,0) y (2,0). En esta ilustración se pueden observar todos los puntos de corte de la función f ( x ) con los ejes. Es sabido que una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución; las intersecciones de una función cuadrática con el eje X se corresponden con las soluciones de la ecuación asociada. Por lo tanto, una parábola puede tener dos, una o ninguna intersección con el eje X. Gráficamente, estos casos se corresponden con las representaciones siguientes:

De izquierda a derecha, están representadas las funciones f ( x ) = 3 x^2 – 3 x – 6, g ( x ) = x^2 – 4 x + 4 y h ( x ) = 2 x^2 – 3 x + 6:

• La función f ( x ) = 3 x^2 – 3 x – 6 corta al eje X en dos puntos porque la ecuación 3 x^2 – 3 x – 6 = 0 tiene dos soluciones: x = –1, x = 2.
• La función g ( x ) = x^2 – 4 x + 4 corta al eje X en un solo punto porque la ecuación x^2 – 4 x + 4 = 0 tiene una única solución: x = 2.

observarse en la ilustración. Evidentemente, el vértice también cambia al modificarse el coeficiente de grado 2.

Funciones f ( x ) = 3 x^2 + 3 x + 2, g ( x ) = 2 x^2 + 3 x + 2 y h ( x ) = 6 x^2 + 3 x + 2

¿Qué es una función polinómica y cuáles son sus

características?

Una función polinómica es una función cuya expresión es un polinomio;

por ello, a veces, se le denomina simplemente polinomio. En la gráfica de

una función polinómica pueden diferenciarse dos elementos: las ramas y la

parte central. En la parte central la función polinómica se pliega varias

veces, como mucho tantas como el grado del polinomio.

Una función polinómica es una función cuya expresión es un polinomio; por ello, a veces, se le denomina simplemente polinomio. Las funciones afines y las funciones cuadráticas son ejemplos de funciones polinómicas. Ahora bien, también existen funciones polinómicas de mayor grado. Por ejemplo, ésta es una función polinómica de grado 3: f ( x ) = 2 x^3 – 5 x^2 – 4 x + 10 Para realizar la gráfica de esta función podemos crear una tabla con un buen número de puntos y, posteriormente, representarlos. Una representación de una tabla de esta función (que no se añade por su extensión) y la gráfica dibujada de un solo trazo en el intervalo [–2,3] son:

otros ejemplos de gráficas de funciones polinómicas pueden ser estos:

correspondientes a las funciones: f ( x ) = 4 x^4 – 3 x^3 – 5 x^2 – x – 12, g ( x ) = 5 x^5 – x^4 – 3 x^3 + 5 x^2 – x – 3 y h ( x ) = –3 x^6 – 5 x^5 + 3 x^4 + 3 x^3 + 8 x^2 – x – 10. Normalmente, pueden diferenciarse, de manera genérica, dos zonas en la gráfica de una función polinómica:

• Las ramas No son nunca rectas, aunque puedan parecerlo si el dominio representado es muy extenso. Pueden dirigirse ambas hacia arriba, ambas hacia abajo, o bien, una rama hacia arriba y otra hacia abajo. Si se representase la gráfica de un polinomio en un intervalo mayor, la forma de los extremos prácticamente no variaría; es decir, los extremos de una gráfica nos dan una idea de cómo continúa la gráfica de una función polinómica. Estos ejemplos muestran los extremos de las gráficas anteriores:

Las ramas de la función f ( x ) = 4 x^4 – 3 x^3 – 5 x^2 – x – 12 se dirigen ambas hacia arriba;

tiene 3 pliegues en la parte central. Las ramas de la función g ( x ) = 5 x^5 – x^4 – 3 x^3 + 5 x^2 – x – 3 se dirigen una hacia abajo y la otra hacia arriba; tiene 2 pliegues. Las ramas de la función h ( x ) = –3 x^6 – 5 x^5 + 3 x^4 + 3 x^3 + 8 x^2 – x – 10 se dirigen ambas hacia abajo; tiene3 pliegues. Unas simples normas nos bastarán para conocer hacia dónde debe dirigirse el extremo de una función polinómica:  La rama de la derecha se dirige hacia arriba cuando el coeficiente de grado máximo es positivo, y hacia abajo cuando es negativo.

 La rama de la izquierda se dirige hacia abajo bien cuando el polinomio es de grado par y el coeficiente de grado máximo es negativo, bien cuando el polinomio es de grado impar y el coeficiente de grado máximo es positivo. En caso contrario, el extremo de la izquierda se dirige hacia arriba.

• La parte central En esta parte la gráfica se pliega varias veces; el número de pliegues depende del grado del polinomio (cuanto mayor sea, la gráfica puede tener más). El máximo de pliegues de una función polinómica es su grado menos 1; así, como sabemos, un polinomio de grado 1 no puede tener ningún pliegue; en cambio, un polinomio de grado dos tiene exactamente un pliegue; un polinomio de grado 3 tiene, como máximo, dos pliegues.

Como sabemos, la gráfica de una función debe contemplarse de izquierda a derecha. Así, por ejemplo, observando la siguiente gráfica, correspondiente a la función f ( x ) = 2 x^3 + 3 x^2 – 12 x + 3, comprobamos que al principio la función se dirige hacia arriba, después hacia abajo y, finalmente, otra vez hacia arriba. De manera más rigurosa podemos decir:

• La función se denomina creciente cuando, a medida que aumenta la x , el valor de la función también aumenta.
• La función se denomina decreciente cuando, a medida que aumenta la x , el valor de la función disminuye.

Así pues, en el ejemplo anterior, la función es creciente cuando x es menor que –2, es decreciente entre –2 y 1, y vuelve a ser creciente a partir de 1, como muestra la ilustración.

Los puntos más destacados de una gráfica son:

Ejercicios

1. Sabemos que una función lineal cumple que f (4) = 12. ¿Cuál es la función?

2. Una función afín cumple que f (2) = 5 i f (0) = 1 , cuál es la expresión de esta

función?

3. ¿Existe alguna función lineal que cumpla que f (2) = − 4 i f ( 5)− = − 10?

4. Da la expresión de esta función afín:

5. Encuentra el vértice de la parábola: f ( ) x = 3 x^2 − x + 1.

6. Encuentra la expresión de una parábola que cumpla:

f

f

f

7. Encuentra la expresión de una parábola, f^ ( ) x^ , que tenga una raíz en x = 2 y su

vértice en x = − 1. Además, el valor en el vértice es f ( 1)− = − 27.

8. Encuentra la expresión de esta parábola:

Soluciones

1. f ( ) x = ax , por lo tanto, si f (4) = 12 , entonces, a = 3.

2. La función debe ser f ( ) x = ax + b , por lo tanto, si f (2) = 5 y f (0) = 1

a b

b

por lo tanto, a = 2. Así la función es f ( ) x = 2 x + 1.

3. La función debe ser f ( ) x = ax + b , por lo tanto f (2) = − 4 y f ( 5)− = − 10 ,

entonces:

a b

a b

si restamos las ecuaciones comprobamos que − 7 a = − 6. Por lo tanto,

a =.

Sustituyendo en las dos ecuaciones anteriores comprobamos que 𝑏 = −

40 7

. Por

lo tanto, la función es 𝑓(𝑥) =

6 7

40 7

4. La función pasa por los puntos (0,-6) i (2,0), por lo tanto, f (0) = − 6 y f (2) = 0.

Con un procedimiento parecido al anterior y resolviendo el sistema resultante, la

función es: f ( ) x = 3 x − 6.

5. Usando la fórmula del vértice obtenemos que es el punto

6. Si la parábola es f ( ) x = ax^2 + bx + c , usando que f^ (0)^ =^1 podemos asegurar que

c = 1. Si aplicamos las otras dos condiciones:

f

f

obtenemos que

a b

a b

y resolviendo el sistema obtenemos que la expresión es 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 𝑥 + 1.

7. En este caso, la parábola es f ( ) x = a x ( − 2)( x − b ). Sabemos que las raíces son

equidistantes del vértice, por lo tanto, si la raíz 2 se encuentra a 3 unidades del

vértice -1, la otra raíz también se encontrará a la misma distancia. Por lo tanto, la

otra raíz es x = − 4. De esta manera, podemos asegurar que la función es

f ( ) x = a x ( − 2)( x + 4). Si, además, f ( 1)− = − 27 , entonces, es fácil deducir que

a = 3 y, por lo tanto, f ( ) x = 3( x − 2)( x + 4).

8. Tan solo debemos observar que pasa por (-5,0), (1,0) i (0,-15). Resolviendo el

sistema resultante, obtenemos que f^ ( ) x^^ =^ 3(^ x^ −^ 1)(^ x +^ 5).