¡Descarga Análisis de funciones polinómicas: grado, interpolación y errores - Prof. Almeida y más Apuntes en PDF de Derecho solo en Docsity!
- Una funciÛn es polinÛmica de grado k si y solamente si kf es una funciÛn constante. =)) Sea f (t) = aktk^ + ak 1 tk ^1 + ::: + a 1 t + a 0. Entonces
f (x) = f (x h) f (x) = = ak (x h)k^ + ak 1 (x h)k ^1 + ::: + a 1 (x h) + a 0 akxk^ ak 1 xk ^1 ::: a 1 x a 0
donde el coeÖciente de xk^ es ak ak = 0, por lo que f es una funciÛn polinÛmica de grado menor o igual que k 1. Procedemos ahora por inducciÛn. En el caso k = 1, si f (t) = a 1 t + a 0 ,
f (x) = f (x h) f (x) = a 1 (x h) + a 0 a 1 x a 0 = a 1 h = constante
Suponiendo ahora que la implicaciÛn se cumpla para funciones polinÛmicas de grado 1 , ..., k 1 , si f es una funciÛn polinÛmica de grado k, por lo visto inicialmente f es una funciÛn polinÛmica de grado r k 1. Podemos aplicar pues la hipÛtesis de inducciÛn y:
Si r = k 1 : kf = r^ (f ) =constante Si r < k 1 : kf = k r ^1 (r^ (f )) = k r^ (constante) = 0
(=) Sea f una funciÛn tal que kf es una funciÛn constante. Llamemos K = kf (x) y Öjemos unos valores x 0 y h. Por la relaciÛn que hay entre las diferencias divididas y las progresivas, sabemos que:
f [x 0 ; x 0 + h; x 0 + 2h; :::; x 0 + mh] = mf (x 0 ) m!hm Por otro lado, por ser kf constante, para cualquier entero m > k, es mf =
Supongamos ahora que p (x) es el polinomio de interpolaciÛn de f en los puntos x 0 , x 0 +h, ..., x 0 +(k + 1) h. El error que se comete al sustituir f por este polinomio es:
f (x) p (x) = f [x 0 ; x 0 + h; :::; x 0 + (k + 1) h; x]
kY+
j=
(x x 0 jh)
Vamos a probar por inducciÛn sobre k que f [x 0 ; x 0 + h; :::; x 0 + (k + 1) h; x] =
Caso k = 1: entonces el polinomio es f (t) = a 1 t + a 0 y:
f [x 0 ; x 0 + h; x] = f [x 0 ; x 0 + h] f [x 0 ; x] x 0 + h x
f (x 0 ) f (x 0 +h) h ^
f (x 0 ) f (x) x 0 x x 0 + h x
=
a 1 x 0 +a 0 a 1 x 0 a 1 h a 0 h ^
a 1 x 0 +a 0 a 1 x a 0 x 0 x x 0 + h x
a 1 a 1 x 0 + h x
SuponiÈndolo cierto para polinomios de grado 1 , ..., k 1 :
f [x 0 ; x 0 + h; :::; x 0 + (k + 1) h; x] =
= f [x 0 ; x 0 + h; :::; x 0 + (k + 1) h] f [x 0 ; x 0 + h; :::; x 0 + kh; x] x 0 + (k + 1) h x pero
f [x 0 ; x 0 + h; :::; x 0 + (k + 1) h] =
f [x 0 ; x 0 + h; :::; x 0 + kh] f [x 0 + h; :::; x 0 + (k + 1) h] x 0 (x 0 + (k + 1) h)
k^ f (x 0 ) k!hk^ ^
k^ f (x 0 +h) k!hk (k + 1) h
K K
(k + 1) h
y, por la hipÛtesis de inducciÛn:
- Suponiendo que los siguientes valores yk pertenecen a un poli- nomio de 4o^ grado, predecir, de una manera sencilla, los tres valores siguientes:
k 0 1 2 3 4 5 6 7 yk 0 0 1 0 0
Si es un polinomio de 4o^ grado que tiene ceros en k = 0; 1 ; 3 ; 4 , entonces tiene que ser:
y (k) = Ak (k 1) (k 3) (k 4) Como y (2) = 1, tenemos:
1 = y (2) = A 2 1 ( 1) ( 2) = 4A =) A =
Por tanto:
y (k) =
k (k 1) (k 3) (k 4)
Y asÌ:
y (5) =
y (6) =
y (7) =
- Deducir la fÛrmula de Lagrange calculando los coeÖcientes ai desarrollando (^) Q nP^ (x) i=1^ (x xi)
como suma de fracciones parciales (^) x aixi siendo
P (x) polinomio de grado n 1. Desarrollamos de la forma indicada:
P (x) Q^ n i=
(x xi)
X^ n
i=
ai x xi
a 1 Q^ n i i=1 6 =
(x xi) + a 2 Q^ n i i=1 6 =
(x xi) + ::: + an Qn
i^ i=1 6 =n
(x xi)
Q^ n i=
(x xi)
P^ n i=
ai
Qn j= j 6 =i
(x xj )
Q^ n i=
(x xi)
De donde obtenemos:
P (x) =
Pn i=
ai
Qn j= j 6 =i
(x xj ) (^) (*)
Sustituyendo x = xi para i = 1; :::; n:
P (xi) = ai
Qn j= j 6 =i
(xi xj ) (^) (los dem·s sumandos son 0 )
Pero en x = x 1 ; :::; xn el polinomio de interpolaciÛn P (x) toma los mismos valores de la funciÛn interpolada, f (x 1 ) ; :::; f (xn). AsÌ podemos despejar:
ai = f (xi) Q^ n j= j 6 =i
(xi xj )
Sustituyendo en (*) queda la fÛrmula de Lagrange:
P (x) =
X^ n
i=
f (xi)
Y^ n
j= j 6 =i
x xj xi xj
- Cu·l es el grado m·s bajo posible de polinomio que toma los valores de las siguientes tablas:
k 0 1 2 3 4 5 yk 0 3 8 15 24 35
k 0 1 2 3 4 5 yk 0 1 1 1 1 0
Construimos la tabla de diferencias divididas correspondientes a la primera tabla: k yk 0 0 3 1 3 1 5 0 2 8 1 7 0 3 15 1 9 0 4 24 1 11 5 35 Por tanto, se puede construir un polinomio de grado 2 que toma los valores de la primera tabla. El polinomio es precisamente:
yk = 3k + k (k 1) = 2k + k^2 Repetimos el proceso con la segunda tabla: k yk 0 0 1 1 1 ^12 (^0 ) 2 1 0 241 0 0 0 3 1 0 241 0 ^16 4 1 ^12 1 5 0
Y vemos que se puede construir un polinomio de grado 4 que toma los valores de la segunda tabla. Este polinomio es:
yk = k
k (k 1) +
k (k 1) (k 2)
k (k 1) (k 2) (k 3)
=
k
k^2 +
k^3
k^4
Z (^) x
0
f (t) dt = x 0 6
f (0) + 4f
x 2
x 6
x 12
x 6
x^3 +
x^2 + 100x
Por tanto, la fÛrmula pedida es:
L (x) =
x^3 +
x^2 + 100x
x^3 +
x^2 +
x
La aplicaciÛn solicitada al caso x = 15 es inmediata:
L (15) = 84; 7222 l= m^2
- Calcular la cota m·xima de error en el intervalo [0; 12 ] del polinomio que interpola
la funciÛn y = senx deÖnida en los tres puntos siguientes: x 0 = 0; x 1 = 16 ; x 2 = (^12) Si llamamos:
M 1 = max
jy^000 j : x 2
M 2 = max
x
x
x
: x 2
una cota m·xima del error ser·: M 1 M 2 3! Calculemos pues ambos valores. Por un lado, jy^000 j = ^3 jcos xj luego M 1 = ^3. Por otro lado, consideramos la funciÛn:
g (x) = x
x
x
= x^3
x^2 +
x
cuya derivada, g^0 (x) = 3x^2 43 x+ 121 , se anula en a = 29 + 181
p 7 y b = 29 181
p 7 , puntos en los que g (x) toma los valores
g (a) =
p 7 = 0 ; 009780 61
g (b) =
p 7 = 0; 00292190
lo que indica que M 2 = 14585 + 29167
p 7 = 0; 009780 61. Finalmente, la cota pedida es:
M 1 M 2 3!
^3
1458 +^
7 2916
p 7
- La funciÛn f (x) toma los siguientes valores:
xi 1 1 ; 5 1 ; 7 2 ; 2 f (xi) 1 1 ; 2209 1 ; 2932 1 ; 3117
por el procedimiento de Aitken calcular el valor que toma la funciÛn para x = 2. Construimos la tabla correspondiente: xi 2 xi f (xi) p (2; x 0 ; xi) p (2; x 0 ; x 1 ; xi) p (2; x 0 ; x 1 ; x 2 ; x 3 ) 1 1 1 1 ; 5 0 ; 5 1 ; 2209 1 ; 4418 1 ; 7 0 ; 3 1 ; 2932 1 ; 41886 1 ; 38445 2 ; 2 0 ; 2 1 ; 3117 1 ; 25975 1 ; 31176 1 ; 34084 El valor pedido es, pues, f (2) ' 1 ; 34084.
- Dada la siguiente tabla de valores: yi 0 0 ; 7071 1 ; 0000 0 ; 7071 0 xi 0 0 ; 25 0 ; 50 0 ; 75 1
Calcular los valores de z 2 , z 3 y z 4 para construir el spline c˙bico natural. Hallar la expresiÛn s (x) en el intervalo [0; 25 ; 0 ; 50]. La funciÛn interpoladora s (x) est· deÖnida como:
s (x) =
s 1 (x) x 2 [0; 0 ; 25] s 2 (x) x 2 [0; 25 ; 0 ; 50] s 3 (x) x 2 [0; 50 ; 0 ; 75] s 4 (x) x 2 [0; 75 ; 1]
donde cada si (x) es una funciÛn polinÛmica c˙bica; s (x) tiene que ser continua y admitir primera y segunda derivada continuas. Los valores zi se deÖnen como:
zi = s^00 i (xi) zi+1 = s^00 i (xi+1) = s^00 i+1 (xi+1)
para i = 1; :::; 4
El spline c˙bico natural se construye tomando z 1 = z 5 = 0. Para calcular el resto de los zi tenemos en cuenta que, por ser cada si (x) una funciÛn polinÛmica c˙bica, su segunda derivada es una funciÛn lineal que ser·:
s^00 i (x) = zi
xi+1 x xi+1 xi
x xi xi+1 xi
Integrando dos veces esta expresiÛn para i = 1; 2 ; 3 ; 4 , teniendo en cuenta los valores yi y la continuidad de la primera derivada de si (x) construimos este sistema de ecuaciones:
z 2 + 0; 25 z 3 = 6^1 00 ;; 257071 60 ; 07071 ; 25 = 9 ; 9408 0 ; 25 z 2 + z 3 + 0; 25 z 4 = 6^0 ;^70710 ; 25 1 61 00 ;; 257071 = 14 ; 0592 0 ; 25 z 3 + z 4 = 6^0 00 ;; 257071 60 ;^70710 ; 25 1 = 9 ; 9408
cuya soluciÛn es:
Y ahora, teniendo en cuenta los valores yi y la continuidad de las dos primeras
- s^001 (x) = 6 a 3 x + 2a - s^002 (x) = 6 b 3 x + 2b - s^003 (x) = 6 c 3 x + 2c - s^004 (x) = 6 d 3 x + 2d
- s 1 (x 1 ) = y 1 =) s 1 (0) = 0 =) a 0 = derivadas de s (x):
- s 1 (x 2 ) = y 2 =) s 1 (0; 25) = 0; 7071 =) 0 ; 015625 a 3 + 0; 0625 a 2 + 0; 25 a 1 + a 0 = 0;
- s 2 (x 2 ) = y 2 =) s 2 (0; 25) = 0; 7071 =) 0 ; 015625 b 3 + 0; 0625 b 2 + 0; 25 b 1 + b 0 = 0;
- s 2 (x 3 ) = y 3 =) s 2 (0; 50) = 1; 0000 =) 0 ; 125 b 3 + 0; 25 b 2 + 0; 5 b 1 + b 0 = 1;
- s 3 (x 3 ) = y 3 =) s 3 (0; 50) = 1; 0000 =) 0 ; 125 c 3 + 0; 25 c 2 + 0; 5 c 1 + c 0 = 1;
- s 3 (x 4 ) = y 4 =) s 3 (0; 75) = 0; 7071 =) 0 ; 421875 c 3 + 0; 5625 c 2 + 0; 75 c 1 + c 0 = 0;
- s 4 (x 4 ) = y 4 =) s 4 (0; 75) = 0; 7071 =) 0 ; 421875 d 3 + 0; 5625 d 2 + 0; 75 d 1 + d 0 = 0;
- s 4 (x 5 ) = y 5 =) s 4 (1) = 0 =) d 3 + d 2 + d 1 + d 0 =
- s^01 (x 2 ) = s^02 (x 2 ) =) s^01 (0; 25) = s^02 (0; 25) =) 0 ; 1875 a 3 + 0; 5 a 2 + a 1 = 0; 1875 b 3 + 0; 5 b 2 + b
- s^02 (x 3 ) = s^03 (x 3 ) =) s^02 (0; 50) = s^03 (0; 50) =) 0 ; 75 b 3 + b 2 + b 1 = 0; 75 c 3 + c 2 + c
- s^03 (x 4 ) = s^04 (x 4 ) =) s^03 (0; 75) = s^04 (0; 75) =) 1 ; 6875 c 3 + 1; 5 c 2 + c 1 = 1; 6875 d 3 + 1; 5 d 2 + d
- s^001 (x 1 ) = 0 =) s^001 (0) = 0 =) 2 a 2 =
- s^001 (x 2 ) = s^002 (x 2 ) =) s^001 (0; 25) = s^002 (0; 25) =) 1 ; 5 a 3 + 2a 2 = 1; 5 b 3 + 2b
- s^002 (x 3 ) = s^003 (x 3 ) =) s^002 (0; 50) = s^003 (0; 50) =) 3 b 3 + 2b 2 = 3c 3 + 2c
- s^003 (x 4 ) = s^004 (x 4 ) =) s^003 (0; 75) = s^004 (0; 75) =) 4 ; 5 c 3 + 2c 2 = 4; 5 d 3 + 2d
- s^004 (x 5 ) = 0 =) s^004 (1) = 0 =) 6 d 3 + 2d 2 =
- a 0 = 0 b 0 = 0 ; 0448 c 0 = 0 ; 552 d 0 = 1 ; Tenemos que:
- a 1 = 3; 1344 b 1 = 3; 672 c 1 = 6; 7152 d 1 = 11;
- a 2 = 0 b 2 = 2 ; 1504 c 2 = 8 ; 2368 d 2 = 14 ;
- a 3 = 4 ; 896 b 3 = 2 ; 0288 c 3 = 2; 0288 d 3 = 4;
s 1 (x) = 4 ; 896 x^3 + 3; 1344 x s 2 (x) = 2 ; 0288 x^3 2 ; 1504 x^2 + 3; 672 x 0 ; 0448 s 3 (x) = 2 ; 0288 x^3 8 ; 2368 x^2 + 6; 7152 x 0 ; 552 s 4 (x) = 4 ; 896 x^3 + 14 ; 688 x^2 + 11; 5536 x 1 ; 7616
Los valores zi pedidos son:
z 2 = s^001 (0; 25) = s^002 (0; 25) = 7 ; 344 z 3 = s^002 (0; 50) = s^003 (0; 50) = 10 ; 3872 z 4 = s^003 (0; 75) = s^004 (0; 75) = 7 ; 344
