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CAPITULO 3
FUNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE REAL (ESCALAR)
3.1 Definición
Una función vectorial de variable real se define como un conjunto de pares ordenados tal
que la primera componente es un número real y la segunda componente es un vector de
dimensión "𝑛", cuando los valores de 𝑛 son 2 y 3 se presentan los casos de curvas en el
plano y el espacio respectivamente.
𝑛
t
f t ( )
Son curvas en el espacio de dimensión n
Casos 1: 𝑓: ℝ → ℝ
2
Casos 2: 𝑓: ℝ → ℝ
3
x
y
x
y
z
f t ( )
f t ( )
f t ( ) x t ( ), ( ) y t
f t ( ) x t ( ), ( ), ( ) y t z t
3.2 Gráfica de una función vectorial de variable real
Existen dos formas, tabulando valores para las variables 𝑡 y 𝑓
(𝑡) para el dominio se deben
intersectar los dominios de las funciones que definen a sus componentes.
𝑓
⃗
𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡)
𝑧(𝑡)
Ejemplo: Graficar
cos 𝑡 , sin 𝑡 , 𝑡
𝜋
6
√
3
2
1
2
𝜋
6
Existe la alternativa de eliminar el parámetro
𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 , 𝑧 = 𝑡
2
2
= cos
2
𝑡 + sin
2
2
2
3 1
6 2 2 6
2 2
4 2 2 4
1 3
3 2 2 3
t x y z
x
y
z
f t ( )
f t ( ) cos , sin , t t t
x
y
z
f t ( )
0
f ( t )
1
f ( t )
ds
S
x
y
z
ds
dx
dy
dz
2
2
2
2
/ ÷
2
2
2
2
2
2
2
′
′
2
′
2
′
′
𝑆
0
′
𝑡
1
𝑡
0
′
𝒕 𝟏
𝒕 𝟎
Problema 44 Calcule la longitud de curva de la función vectorial
𝑡
cos 𝑡 , 𝑒
𝑡
sin 𝑡 , 𝑒
𝑡
[
]
Solución:
x
y
f t ( )
S
0
f t ( )
1
f t ( )
′
𝑡
cos 𝑡 − 𝑒
𝑡
sin 𝑡 , 𝑒
𝑡
sin 𝑡 + 𝑒
𝑡
cos 𝑡 , 𝑒
𝑡
′
𝑡
cos 𝑡 − 𝑒
𝑡
sin 𝑡
2
𝑡
sin 𝑡 + 𝑒
𝑡
cos 𝑡
2
𝑡
2
′
2 𝑡
[(cos 𝑡 − sin 𝑡)
2
2
+ 1 ]
′
2 𝑡
( 1 − sin 2 𝑡 + 1 + sin 2 𝑡 + 1 )
′
𝑡
′
𝑡
1
𝑡
0
𝑡
2 𝜋
0
𝑡
0
2 𝜋
2 𝜋
Problema 45 Halle la longitud de curva entre los puntos de intersección de la curva
3
2
, 1 ) y el plano: 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0.
Solución:
x
y
z
f t ( )
f a ( )
f t ( )
s t ( )
′
𝒕
𝒂
Derivación bajo el signo integral, sea la función 𝐹(𝑥) una función de la integral,
para hallar su derivada
𝑑
𝑑𝑥
= 𝐹′(𝑥) se emplea la regla de Leibniz, como sigue:
𝑣(𝑥)
𝑢(𝑥)
′
[
]
′
[
)]
Ejemplo:
cos 𝑡
𝑥
4
′
cos 𝑡
𝑥
4
𝑥 ⋅ [
cos 𝑥
′
cos 4
′
] →
′
cos 𝑡
𝑥
4
𝑥 ⋅ [
cos 𝑥
cos 4
⋅ 0 ] → 𝒚′ =
𝒙
𝟒
Ahora sabemos que:
′
𝑡
𝑎
′
′
′
′
′
′
′
Empleando regla de la cadena:
′
′
′
En consecuencia es posible hallar 𝑡 = 𝑡(𝑠)
Definamos nuevamente a la función vectorial 𝑓
(𝑡) pero con la dependencia de 𝑡 = 𝑡(𝑠),
de esta manera se genera a la función vectorial 𝐹(𝑠) que depende de la longitud de arco:
Sea 𝐹
[
)]
[
)]
[
)]
[
)])
′
′
[𝑡(𝑠)]𝑡
′
′
[𝑡(𝑠)]𝑡
′
′
[𝑡(𝑠)]𝑡
′
′
′
[
)]
′
[
)]
′
[
)])
′
′
′
Reemplazando (𝛽) en (𝛾)
′
′
′
′
En consecuencia, podemos observar que cuando la curva depende de la longitud de arco es
decir 𝐹(𝑠) el vector tangente a eta curva 𝐹
′
𝑑
𝑑𝑠
𝐹(𝑠) es un vector unitario.
Problema 46
Para la función vectorial 𝑓
2
2
2
determine explícitamente la longitud de
arco "𝑠" luego resuelva para "𝑡" como función de "𝑠", escriba el vector de posición 𝑓(𝑡)
en función de "𝑠" y demuestre que
𝑑
𝑑𝑠
Solución:
Calculamos la longitud de arco:
𝑑𝑠
𝑑𝑡
′
, arbitrariamente elegiremos la longitud de
arco desde 𝑡 = 1 , hasta cualquier punto 𝑡
′
′
2
2
2
2
𝑡
1
2
1
𝑡
2
2
3.6 La curvatura
Juega un papel importante en las Ciencias e Ingeniería, en el diseño de montañas rusas,
en óptica, en la biología la curvatura del ADN guarda características que hasta el día de
hoy se siguen estudiando.
Matemáticamente se busca una relación que permita mostrar como la curva tiende a
doblarse o cuan curva es en cada punto. Para la curva 𝑓
(𝑡) sabemos que el vector 𝑓
′
es un vector tangente a la curva que describe, sin embargo gracias a la reparametrización en
función a la longitud de curva se logra hallar 𝐹
(𝑡(𝑠)) y vimos que 𝐹′(𝑠) es un vector
unitario también tangente a la trayectoria, definimos al vector tangente unitario:
x
y
z
f t ( )
T
0
T t ( t )
0
T t ( )
T
Debido a que 𝑇
es un vector unitario para todo "𝑡", su dirección cambia cuando "𝑡" se
incrementa, la razón de cambio angular para 𝑇
es precisamente:
lim
Δt → 0
Δθ
Δt
En el infinitésimo: lim
∆→ 0
∆𝜃
‖Δ𝑇
⃗⃗ ‖
= 1 tratamos de calcular:
Demostración: Por el teorema de cosenos:
2
2
2
‖ cos ∆𝜃 = 1 + 1 − 2 ⋅ 1 ⋅ 1 cos Δ𝜃
‖ = √ 2 − 2 cos ∆𝜃
lim
∆𝑡→ 0
= lim
∆𝑡→ 0
√ 2 − 2 cos ∆𝜃
= lim
∆𝑡→ 0
2 ( 1 − cos ∆𝜃)
2
1
2
Sabiendo esto calculamos:
lim
∆𝑡→ 0
= lim
∆𝑡→ 0
= lim
∆𝑡→ 0
⋅ lim
∆→ 0
= 1 ⋅ ( lim
∆𝑡→ 0
Como ∆𝑡 es positivo, se concluye que:
lim
∆𝑡→ 0
= lim
∆𝑡→ 0
La curvatura "𝒌" de una curva 𝑪 se define como la razón de cambio angular en la dirección
del vector 𝑻
por unidad de cambio en la distancia a lo largo de la curva:
lim
∆𝑡→ 0
Ejemplo: Calcule la curvatura de una circunferencia de radio "𝑎"
La circunferencia puntada se denomina circunferencia de curvatura o también
circunferencia osculatriz (del latín osculari "besar"), veremos más adelante que el centro
"𝑂" de esta circunferencia se encuentra en la dirección del vector normal unitario 𝑁
con
un radio 𝜌 (radio de curvatura), esta circunferencia se encuentra contenida en el plano
osculador.
Teorema: Si 𝑓
‖ = 𝑐𝑡𝑡𝑒 se verifica que: 𝑓
′
Demostración: Sabemos que:
2
pero como
𝑑
𝑑𝑡
′
′
′
′
′
3.7 Fórmula alterna para la Curvatura
′
× 𝑓
′
3
Demostración:
Sabemos que 𝑻
(𝒕) es un vector unitario su módulo es constante
= 1 en
consecuencia por el teorema anterior se sabe que 𝑇
(𝑡) y 𝑇
′
son vectores ortogonales:
(𝑡) × 𝑇
′
′
(𝑡)‖ sin 90° = 1 ⋅ ‖𝑇
′
(𝑡) × 𝑇
′
′
y sabemos que:
′
′
′
′
Demostración: Sabemos que: 𝑓
(𝑡) y 𝑣(𝑡) = ‖𝑓
𝑑𝑠
𝑑𝑡
′′
2
2
′
Ahora efectuamos el producto:
′
× 𝑓
′′
× [
2
2
]
′
(𝑡) × 𝑓
′′
2
2
(𝑡) × 𝑇
0
⃗⃗⃗
2
(𝑡) × 𝑇
2
(𝑡) × 𝑇
′
(𝑡) × 𝑓
′′
2
(𝑡) × 𝑇
2
′
2
′
𝑑𝑠
𝑑𝑡
′
× 𝒇
′′
𝟑
3.8 Vector Normal Unitario
Entre los vectores ortogonales al vector tangente unitario 𝑇
(𝑡) hay uno de particular
importancia que apunta en la dirección en la cual gira la curva, como bien sabemos
‖ = 1 , si tomamos la dependencia respecto de la longitud de arco, entonces:
2
2
𝑑
𝑑𝑠
′
′
Definición: Se define al vector normal unitario, donde 𝑘 es la curvatura
Ahora buscamos una forma alterna para el cálculo del vector normal
′
′
Si un objeto se mueve con rapidez constante sus vectores velocidad y aceleración son
ortogonales.
2
2
𝑑
𝑑𝑡
′
′
′
′
𝑎⃗⃗ (𝑡)
3.10 Componentes Tangencial y Normal de la aceleración y Torsión
x
y
z
T
a t ( )
N
T
a
N
a
f t ( )
Teorema: Los vectores unitarios 𝑻
(𝒕) y 𝑵
pueden utilizarse para descomponer el
vector aceleración en una componente tangencial y una componente normal, es decir:
2
Demostración: Sabemos que:
Derivando esta última expresión:
𝑑
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
[𝑣(𝑡)𝑇
] =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑇
⃗⃗
𝑑𝑡
𝒌𝑵
⃗⃗⃗ ( 𝒕
)
𝑣
2
𝑎 𝑇
2
𝑎
𝑁
2
Donde: 𝑎 𝑇
𝑑𝑣
𝑑𝑡
es la aceleración tangencial (o componente tangencial) y 𝑎
𝑁
2
es la
denominada aceleración normal o centrípeta (o componente centrípeta o normal).
3.11 El triedro Móvil
Los vectores 𝑻
se utilizan para definir a un nuevo vector: 𝑩
× 𝑁
(el vector
binormal unitario) que por su manera de concepción es ortogonal a los vectores
tangente y normal unitarias además de tener modulo igual a la unidad; los
vectores: 𝑻
forman un triedro trirectángulo a derecha en cualquier punto de la curva
"𝐶", es decir un sistema de coordenadas derecha en cada punto dela curva, representando
las direcciones positivas a lo largo de la tangente, la normal principal y la binormal
respectivamente.
f t ( )
B
T
N
B
T
N
B
T
N
B
T
N
B
T
N
′
′
× 𝑓
′′
; 𝜼 = 𝜷 × 𝜶
3.13 Fórmulas de Frenet Serret y Torsión:
El capítulo concluye con la presentación de las célebres fórmulas de Frederic Jean Frenet
(1816-1900) y Joseph Alfred Serret (1819-1885) que relacionan a los vectores unitarios
con sus derivadas, sabemos que:
Sabemos que 𝐵
× 𝑁
derivando respecto de la longitud de arco:
× 𝑵
×
× 𝑵
𝟎
⃗⃗⃗
×
×
Pero sabemos que 𝑵
al ser un vector unitario su derivada
𝑑𝑵
⃗⃗⃗
𝑑𝑠
es ortogonal a 𝑵
en esa
lógica
𝑑𝑵
⃗⃗⃗
𝑑𝑠
se encuentra en el plano rectificante o uno paralelo a este, es decir:
Reemplazando (3) en (2)
× (𝑘𝑻
× 𝑻
𝟎
⃗⃗⃗
× 𝑩
−𝑵
⃗⃗⃗
Finalmente: 𝑁
× 𝑇
derivando respecto de la longitud de arco:
× 𝑻
×
× 𝑻
× 𝑘𝑵
× 𝑻
−𝑩
⃗⃗⃗
× 𝑵
−𝑻
⃗⃗⃗
Las ecuaciones:
B
T
N
Se conocen como las fórmulas de Frenet que constituyen una de las herramientas
fundamentales en el estudio de la geometría diferencial de las curvas en el espacio, el
escalar 𝝉(𝒕) que aparece en la fórmula de la derivada de la binormal y normal principal
se denomina torsión.
3.14 La Torsión
Es una expresión matemática que mide la cantidad que la curva se dobla en el sentido de
que el sistema formado por 𝑻
(triedro) parece girar alrededor de "𝐶" conforme el
punto se ,mueve a lo largo de la curva, en términos simples la torsión nos refleja que tanto
se dobla la curva pero en el espacio, es decir como la curva se escapa del plano que lo
contiene en un punto específico, en consecuencia la torsión de una curva contenida en un
plano vale cero.
f t ( )
Nota: Una curva que se encuentra contenida en un plato tiene torsión cero.
f t ( )
