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Funciones de varias variables.
PROBLEMAS RESUELTOS 1
(continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de
funciones de varias variables)
PROBLEMA 1
Estudiar la continuidad de la función :
2
2 2 ( ,^ )^ (0, 0) ( , )
0 ( , ) (0,
x y x y f x y (^) x y
x y
SOLUCIÓN
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
ρ cosθ
x
y sen
Así:
3 2 2 ( , ) (0,0) 0 2 0
cos lim ( , ) lim lim cos 0 x y
sen x y sen ρ ρ
l = f = = =
de donde se sigue que la función dada es continua en el origen, ya que
( , ) (0,0)
lim ( , ) (0, 0) 0 x y
f x y f →
Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.
PROBLEMA 2
Estudiar la continuidad de la función:
x y x y f x y x y
x y
SOLUCIÓN
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
ρ cosθ
x
y sen
Así:
cos cos lim ( , ) lim x y cos cos
sen sen x y ρ sen sen
l f
Por tanto, el límite depende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que la
función dada no es continua en el origen.
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PROBLEMA 4
Estudiar la continuidad de la función:
2
2 2 ( ,^ )^ (0, 0) ( , )
y x y f x y (^) x y
x y
SOLUCIÓN
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
ρ cosθ
x
y sen
Así:
2 2 2 ( x y , lim) (0,0)^ ( ,^ )^ lim 0 2
sen x y sen ρ
l f θ
Por tanto, el límite depende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que la
función dada no es continua en el origen.
Funciones de varias variables.
PROBLEMA 5
Estudiar la continuidad de la función:
3 3
2 2 ( ,^ )^ (0, 0) ( , )
x y x y f x y (^) x y
x y
SOLUCIÓN
Debemos estudiar la continuidad de la función en el origen. Para ello, estudiamos la
existencia del límite doble de f(x,y) en dicho punto.
Si construimos la curva paramétrica
x t
y t h t
^ =
donde lím , entonces: 0
t
th t →
3 3 3 3
( , ) (0,0) 0 2 2 2 0 2
x y t (^) ( ) t 1 ( )
t t h t t th t l lím f x y lím lím → → (^) t t h t → h t
por ello,
2
0 2
si ( ) 0 0 1
si ( ) lim 0 (^1 ) 1 ( )
0 si ( ) 0 0 1
t
h t l
t t h t h t h t l
h t
h t k l
→
Así, se concluye que el límite doble de la función vale l = 0. Por tanto, la función dada
es continua en (0, 0) puesto que
( , ) (0,0)
lim ( , ) (0, 0) 0 x y
f x y f →
Funciones de varias variables.
PROBLEMA 7
Estudiar la continuidad de la función:
3 ( , ) (0, 0) ( , )
x x y f x y (^) x y
x y
SOLUCIÓN
Empezamos por estudiar la existencia de límite doble en el origen. Para ello
consideramos la curva paramétrica
x t
y t h t
^ =
donde lím. Entonces: 0
t
th t →
3 2
( , ) (0,0) 0 0
x y t (^) ( ) t 1 ( )
t t l lím f x y lím lím → → (^) t th t → h t
por tanto,
si ( ) 0 0 1
si ( ) 0
0 si ( ) 0 0 1
h t l
h t l
h t k l k
Así, se concluye que el límite doble de la función vale l = 0 y que la función dada es
continua en (0, 0).
Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.
PROBLEMA 8
Estudiar la continuidad de la función:
2 2 ( ,^ )^ (0, 0)
xy x y f x y x y
x y
SOLUCIÓN
Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas
polares:
ρ cosθ
x
y sen
Así:
2
( , ) (0,0) 0 2
cos lim ( , ) lim cos x y
sen x y se ρ
l f θ n θ
por tanto, el valor de l depende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que
la función dada no es continua en el origen.
Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.
PROBLEMA 10
Estudiar la continuidad y la existencia de derivadas parciales de la función,
( )
6
2 2 6 ,^ 0,
−^ +
x si x y x y x
f x y
si x y
en el punto (0,0).
SOLUCIÓN
La función no es continua en (0,0) , ya que los límites según la recta y = x y la parábola
y = x
2 son, respectivamente,
( )
2 (^ )
6 6
0 2 2 6 0 2 3 4 6
6 6
0 2 2 2 6 0 6
x (^) x y x
x (^) x y x
x x lím lím x x x x^ x^ x^ x
x x lím lím x x x x
→ (^) →
→ (^) →
− + −^ +^ +
Al ser distintos los valores obtenidos, la función no tiene límite doble en (0,0), y por lo
tanto no es continua.
Analicemos la existencia de derivadas parciales en el origen,
6
4 6
0 0 0 2
0 0
x (^) h h h
y (^) k k
h f h f (^) h h h f lím lím lím h h
f k f f lím lím k k
→ → →
→ →
h
luego f(x,y) admite derivadas parciales en (0,0) sin ser continua en dicho punto.
NOTA
La representación gráfica de la función f(x,y) es,
10
0
2
4
0
1
Funciones de varias variables.
PROBLEMA 11
Dada la función
4 4
2 2 ,^ 0, ,
x y arctg x y f x y x y
a x y
a) Determinar el valor de a para que la función sea continua en el origen.
b) Para este valor de a calcular (0, 0), (0, 0)
f f
x y
c) Hallar la derivada direccional (1, 0)
f
s
, siendo s la dirección que forma un
ángulo de 60
º con la parte positiva del eje OX.
SOLUCIONES (Resuelto en clase el viernes día 26 de marzo. Observa que el apartado
c) se expresa y resuelve aquí de modo “diferente” a lo visto en clase, ¡pronto
aprenderemos muchas cosas más!).
a) Si aplicamos el cambio
x t
y t h t
^ =
donde lím , entonces: 0
t
th t →
4 4 4 2 2 4
( , ) (0,0) 0 2 2 2 0 2
x y t (^) ( ) t 1 ( )
t t h t t t h t l lím f x y lím arctg lím arctg → → (^) t t h t → h t
por ello,
2
2 2 2 2
0 2
0
si ( ) 0 1
si ( ) 0 1 1 ( )
0 0 si ( ) 0 0 1 0
t
t
h t k l arctg k
t t h t h t h t l lím arctg
h t
h t l lím arctg
−>
−>
Así,
( , ) (0,0)
−>
x y
lím f x y
Para que f(x,y) sea continua en (0,0) debe ocurrir que el límite anterior coincida con
f(0,0) , es decir, que
Funciones de varias variables.
PROBLEMA 12
Sea
2 2 0 ó 0 ( , )
0 0
ó 0
^ −^ ≠^ ≠
y x x arctg y arctg x y f x y x y
x y
Estudiar la existencia en el origen de las derivadas: f (^) x , f (^) y , f (^) xy , fyx
SOLUCIÓN
i)
2
0 0
→ →
x =^ = h h
h arctg f h f (^) h f lím lím h h
ii)
2
0 0
→ →
y =^ = k k
k arctg f k f (^) k f lím lím k k
iii)
0
→
x x xy (^) k
f k f f lím k
Calculamos primeramente f x ( 0, k )
2 2
0 0
2 2 0 0 0
2
→ →
→ → →
x (^) h h
h h h
k h h arctg k arctg f h k f k (^) h k f k lím lím h h
h h arctg k (^) k k lím harctg k lím k lím h h h
k k k
Sustituyendo en (1),
0
→
xy^ =^ = − k
k f lím k
iv)
0
→
y y yx (^) h
f h f f lím h
Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.
Calculamos primeramente f y ( h , 0)
2 2
0 0
2 2 0 0 0
2
→ →
→ → →
y (^) k k
k k k
k h h arctg k arctg f h k f h (^) h k f h lím lím k k
k k arctg h h h h lím lím karctg h lím k k k
h h h
Sustituyendo en (2),
0
→
yx^ =^ = h
h f lím h
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PROBLEMA 14
Dada la función:
2 3
2 2 ( ,^ )^ (0, 0) ( , )
yx y x y f x y (^) x y
x y 0)
Se pide:
a) Determinar la continuidad de f.
b) Estudiar la continuidad de las derivadas parciales de f. ¿De los resultados
obtenidos puede deducirse la diferenciabilidad de f en el origen?.
SOLUCIÓN
a)
{ }
( )
cos 2 3 3 2 3 3
( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 ( , ) (0,0)^2
3 2 3 2 ( , ) (0,0) 2 ( , ) (0,0)
cos
- ( , )
cos cos
ρ θ ρ θ ρ θ θ ρ θ
ρ
ρ θ θ θ ρ θ ρ
=
→ → →
→ →
x y sen
x y x y x y
x y x y
f
yx y sen sen lím f x y lím lím x y
sen sen lím lím (^) ( sen )
2
( , ) (0,0)
( , ) (0,0)
cos 2 0
− θ θ
ρ θ θ →
→
x y
x y
sen
lím sen
f lím f x y
Luego f(x,y) es continua en (0,0).
b) i.- Analicemos la continuidad de la derivada parcial con respecto a x, en el origen
( ) (^ )^ (^ )
( ) ( )
2
0 0
(^2 2 2 3 )
2 2 2 2 2 2
→ →
=^ =^ =
∂ +^ −^ −
=^ =
h h
f f h f (^) h lím lím lím x h h
f x y xy x^ y^ yx^ y^ x xy
x (^) x y x y
→ 0
h (^) h
entonces podemos escribir,
( )
3
2 2 2
xy x y f x y x x y
Funciones de varias variables.
analicemos su continuidad en el origen,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 4 3 3 , 0,0 , 0,0 2 2 2 0 4
, (^4 4) cos ) 4 ρ
cos θ θ
x y (^) ∂ x y +
f a x
f x y (^) xy sen b lím lím lím sen x (^) x y
luego ( ) ( )
, 0,
→
x y ∂
f x y lím x
no existe, de lo que se deduce que
f x y
x
no es continua en
ii.- Analicemos la continuidad de la derivada parcial con respecto a y, en el origen:
( ) (^ )(^ )^ (^ )
( ) ( )
3
2 3
0 0 0 3
(^2 2 2 2 2 3 4 4 )
2 2 2 2 2 2
→ → →
=^ =^ =
=^ =
∂^ + +
k h h
k f f k f (^) k k lím lím lím y k k k
f x y x^ y^ x^ y^ yx^ y^ y^2
x y x y
y (^) x y x y
resulta que,
( )
4 4 2 2
2 2 2
−^ =
x y x y x y f x y y x y
analicemos su continuidad en el origen,
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 4 2 2 4 4 4 4 4 2 2
, 0,0 , 0,0 2 2 2 0 4
4 4 2 2
, (^4) cos 4 cos )
cos 4 cos
ρ
→ → →
x y x y
f a y
f x y (^) x y x y sen sen b lím lím lím x (^) x y
sen sen
luego ( ) ( )
, 0,
→
x y ∂
f x y lím y
no existe, de lo que se deduce que
f x y
y
no es continua en
Por tanto, de los resultados obtenidos no puede deducirse la diferenciabilidad de
f(x,y) en el origen, (ninguna de las parciales es continua en el origen).
Funciones de varias variables.
entonces, v = ( v (^) 1 , 2 , − 1 )siendo
G
v v v = 1. Por ejemplo, en la dirección del vector
d) Calculemos
2
2
9 2
9 2
−
−
G G
D
t
t
T x t T x t T t t t te
t e
cuya derivada con respecto de t es,
2
9 9 2 2
9 2 2
9 2
+^ −
G
D
G
D
t t
t
t
d T x e te dt
d T x (^) e t
dt e
t
Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.
PROBLEMA 16
Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones,
a) Sea
2 f : R → R. Si ( ) ( )
, 0,
→
x y
lím f x y , entonces ( )
0
→
x
lím f x.
b) La derivada direccional de la función
2 2 z = x + y en la dirección del vector
(1,1) en el punto (0,0) es 2 2.
c) La función ( )
2 f x y , = x seny verifica el teorema de Schwartz para todo
2 x , y ∈ R.
d) La superficie de un lago viene representada por una región D en el plano XY.
Su profundidad (en metros) en el punto (x,y) viene dada por la función
2 2 p x y , = 400 − 3 x y. Si un bañista está en el punto (1,-2) , determinar en
qué dirección debe nadar para que la profundidad aumente lo más rápido
posible.
SOLUCIÓN
a) Sí, por la unicidad del límite.
b) Falso pues si consideramos el vector unitario a
G
G
G
u
u
u y el punto
P(0,0), obtenemos como derivada direccional,
G G
G
G
u G x x u
u d f f f f u
NOTA
Podemos aplicar esta expresión de la derivada direccional por ser diferenciable la
función.
c) Veamos si verifica las condiciones del teoremas de Schwartz
}
2
2
, Función continua
Funciones continuas '( , ) cos
''( , ) 2 cos Función continua
x
y
xy
f x y x seny
f x y xseny
f x y x y
f x y x y
entonces existe f (^) yx ''( , x y )y además es igual a f (^) xy ''( , x y ).
