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MATEMÁTICAS 1
EXAMEN CUESTIONES
21 ENERO 2010
1.- Dada la función: f ( ) x = 2 − x y denotando por D ( f )el dominio de definición de la
función, decir cuales de las siguientes opciones son verdaderas:
a) D ( f ) = { x ∈ / x < 2 }
b) D ( f ) = ( −∞ −, 2 )
c) D ( f ) = ( −∞, 2]
d) D ( f ) = −[ 2, 2]
e) D ( f ) = ( −2, 2)
f) D ( f ) = { x ∈ / x ≤ 2 }
Respuesta:
Son verdaderas c) y f)
2.- Dada la función ,
[ ]
2
f
x x
f x x x
<^ ≤
¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) ( )
1
lim 1 x
f x →
b) f continua en x = 1
c) ( )
1
lim 1 x
f x →+
d) No existe la derivada de la función en el punto x = − 1
e) f continua en x = − 1
f) f ' 1( ) = 1
Respuesta:
Son verdaderas c) y e)
3.- Si 1
f f y 1
g g cuando ( )
0
x → x , cual de las siguientes afirmaciónes son ciertas:
a) 1 1
f + g f + g cuando ( )
0
x → x
b) 1 1
f − g f − g cuando ( x → x 0 )
c) 1 1
f g. f g. cuando ( )
0
x → x
d)
1
1
f f
g g
cuando ( x → x 0 )
Respuesta : c), d)
4.- ¿Es ( )
ln ln 3 3 3
F t = t + t − una primitiva de ( )
f t t t
? Justificar la respuesta.
Respuesta:
Si es una primitiva puesto que F '( ) t = f ( ) t en efecto: ( )
F t t t
5.- Determinar la ecuación de la recta perpendicular a la superficie
2 2 2 x + y + z = 12 en el
punto ( 2, 2, − 2 )
Respuesta:
2 2 2
x − y − z + = = −
6.- Sea f una función de dos variables que tiene límite doble en un cierto punto. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones son ciertas?
a) Existen necesariamente los dos límites reiterados
b) Los dos límites reiterados, si existen, son distintos del límite doble
c) Los dos límites reiterados, si existen, son iguales al límite doble
d) Ambos límites reiterados existen necesariamente y tienen signos opuestos
e) Ambos límites reiterados existen necesariamente y su suma es positiva
Respuesta:
Es cierta c)
7.- Sea
2
f : D ⊂ → , D abierto, tal que z = f ( x y , )y ( a b , )∈ D. Escribe la definición
de derivada parcial 1ª de f con respecto a x en el punto ( a b , ).
Respuesta:
Se llama derivada parcial 1ª de f con respecto a x en el punto ( a b , ), al límite:
'
0
, lim x (^) h
f a h b f a b f a b → h
= , si este límite existe.
8.- ¿Cuál de las siguientes operaciones es válida y cual no?
a)
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a ka a a
k a a a ka a a
a a a ka a a
=
b)
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a ka a a
k a a a a ka a
a a a a a ka
=
c)
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a ka ka ka
k a a a ka ka ka
a a a ka ka ka
=
d)
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
a a a ka ka ka
k a a a a a a
a a a a a a
=
Respuesta: c)
9.- ¿Es la ecuación diferencial (^) ( )
2 3 x + 2 y dx + 2 xydy = 0 exacta?. Comprobarlo.
Respuesta:
2
M x y , = 3 x + 2 y , N ( x y , )= 2 xy
No es exacta pues 4 2
M N
y y y x
10.- ¿Es la aplicación f ( x y z , , ) = (1, 0, 0 )de
3 en
3 lineal?. Comprobarlo.
Respuesta:
f es lineal si se verifica
3 f u + v = f u + f v , ∀ u v , ∈
3
f λ u = λ f u ,∀ u ∈
u x y z v x y z
f u v f x x y y z z
f u f v
MATEMÁTICAS 1
EXAMEN PROBLEMAS
21 ENERO 2010
1.- Dada la función:
3
x senx x x f x
x
Estudiar:
a) Dominio de definición, cortes con los ejes y simetrías
b) Continuidad
c) Derivabilidad. Escribir la función derivada
d) Asíntotas y posición de la curva respecto de las asíntotas
Solución:
a) D ( f )=
cortes con los ejes: ( )
f = , luego
es el punto de corte con el eje OY
además ∃ ∈ x / f ( x )= 0 luego no corta al eje OX
Simetrías: ( ) ( )
3 ;^33 3 (^ )
x senx x^ sen^ x^ x^ senx x senx f x f x f x x (^) x x x
− −^ −^ −^ −^ − −
Luego es simétrica respecto del eje OY
b) Continuidad
El único punto conflictivo es x = 0 luego a priori podemos afirmar que la función es
continua en −{ } 0 , estudiamos la continuidad en x = 0
0 0 0 0 0
0 1 cos 0 0 cos 1 lim lim * lim * lim * lim x x (^) 0 x (^) 3 0 x (^) 6 0 x 6 6
x senx x senx x f x x x x → +^ → +^ → +^ → +^ →+
0
lim x 6
f x →−
- aplicamos la regla de L’Hôpital
Además ( )
f = , luego podemos afirmar que f continua en x = 0 y por lo tanto en
D ( f )=
c) Derivabilidad y función derivada
El único punto conflictivo lo mismo que ocurría en el apartado b) es x = 0 luego
podemos afirmar que la función es derivable en −{ } 0 , estudiamos la derivabilidad en x = 0
3 3
4 0 0 0
lim lim lim * x (^) 0 x x 6 0
x senx
f x f (^) x senx x x
x x x → +^ → +^ →+
2
0 3 0 2 0
0 0
6 6 cos 3 0 6s 6 0 6 cos 6 0 lim * lim * lim * 24 0 48 0 96 0
lim 0 lim 96 0
x x x
x x
x x enx x x
x x x
senx f^ x^ f
x
→ → →
→ →
- aplicamos la regla de L’Hôpital
Luego f derivable en x = 0 y f ' 0( ) = 0
Función derivada
4
3 cos 2 0 '
senx x x x x f x (^) x
x
−^ −
d) Asíntotas y posición de la curva respecto de las asíntotas
No tiene asíntotas verticales ( )
0
0
/ lim x x
x f x → ±
Generales: y = mx + n
A la derecha
4 3
1 cos lim lim lim * lim 0 x x x x 4
x senx
f x (^) x senx x x m x x x x →∞+ →∞ +^ →∞+ →∞+
Nota: 1 − cos x es una función acotada
( ( ) ) (^3 )
1 cos lim lim * lim 0 x x x 3
x senx x n f x mx x x →∞+ →∞+ →∞+
Luego la función tiene una asíntota horizontal y = 0 a la derecha.
El razonamiento a la izquierda es el mismo, luego podemos concluir que y = 0 es
asíntota horizontal a la izquierda y a la derecha.
Posición de la curva respecto de la asíntota
f ( x ) > 0,∀ ∈ x , por lo tanto la curva siempre está por encima de la asíntota
2.- Dadas las funciones:
x
g x
x
f x
a) Hallar el área comprendida entre estas funciones y las rectas x 1 = a , x 2 (^) = 1 ,
0 < a < 1.
b) ¿Qué ocurre si a=0? ¿cuál es el área en este caso?
c) Calcular el área para el caso que x 1 = a , x 2 = b , 0 < a < 1 , b > 1.
Solución:
Si x = 1 ,
Por lo tanto los puntos estacionarios son: ( ) ( )
b) Calculamos las derivadas parciales segundas para despues calcular el hessiano y poder
clasificar los puntos críticos.
''
''
''
xx
yy
xy
f x y y
f x y y
f x y x
Punto ( 0, 0)
'' ''
'' ''
xx xy
xy yy
f f H f f
, por lo tanto ( 0, 0, 0 )es un punto silla
Punto ( 2, 0)
'' ''
'' ''
xx xy
xy yy
f f H f f
= = = − < , por lo tanto ( 2, 0, 0 )es un punto silla
Punto
'' ''
'' ''
xx xy
xy yy
f f
H
f f
y como
f xx
se trata de un mínimo relativo. El valor mínimo es:
f
Punto
'' ''
'' ''
xx xy
xy yy
f f
H
f f
^ ^ ^
y como
xx
f
se trata de un máximo relativo. El valor máximo es
f
4.-
a) Dada la matriz
C
y la matriz
X
calcula la matriz Y sabiendo
que se verifica la igualdad
1 X Y C
−
b) Halla los valores de a y b para que el rango de la matriz A sea 3.
a b
A ab
b a
Solución:
a)
1
Y C X
−
^ ^ ^
Calculamos la inversa de
1 Y
−
( )
1
1
t adj Y
Y Y
−
−
= ; (^) ( ) ( )
1 1
t adj Y adj Y
− −
= ⇒ ^ =
1
Y
−
= = luego
Y
b)
a b a
A ab b a
b a a
2
a
A b a b a a
a
2 A = 2 b a − 1 a + 2 ≠ 0 si a ≠ 1; a ≠ −2; b ≠ 0
En este caso el rango de la matriz A es 3
