¡Descarga Funcions de Variable Real - 02 Funcions- UZ y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Capítulo 2
Funciones reales de una variable real.
Generalidades
2.1. Primeros conceptos
2.1.1. Funciones. Clases particulares de funciones
Recordemos que una aplicación f : A → B se define en términos conjuntistas como una terna ( A , B , G (^) f ), donde A , B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominio o conjunto final de f , y G (^) f , denominado gráfico o gráfica de f , es un subconjunto del producto cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento único y ∈ B de modo que ( x , y ) ∈ G (^) f (ese elemento y unívocamente asociado a x suele denotarse por f ( x ) y se llama valor de la aplicación f en el punto x o imagen de x por f ).
Definición 2.1.1. Una función real de variable real es una aplicación f : A → B con A, B ⊆ R_._
Informalmente, dar una función f supone dar:
a) su dominio de definición A = dom f ;
b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atención en este curso);
c) una regla de correspondencia o regla de definición que permita asignar inequívocamente a cada elemento x de A , sin excepción, un elemento f ( x ) de B perfectamente determinado por x y f.
Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la regla de definición) hace que la función cambie. Por ejemplo, si tenemos una función f : A → B y consideramos un subconjunto S de A , la restricción de f a S es la función f | S : S → B tal que f | S ( x ) = f ( x ) para cada x ∈ S , que no es la misma función f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por la misma regla de correspondencia (a cada x de S , la restricción f | S hace corresponder el mismo valor que f ). En la práctica raras veces se muestra una función como una terna, tal como requeriría su definición formal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la función en cada elemento del dominio (ver los comentarios de [ B ARTLE -S HERBERT , sec. 1.2, págs. 22–25]). En cuanto al conjunto final de una función, cuando no se mencione explícitamente se sobrentenderá que dicho conjunto es R.
17
18 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
Suele chocar al principiante que a veces la regla de definición de una función aparece dividida en varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante fórmulas), tendiendo a interpretar incorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglas se enuncien. Por ejemplo, la función f : R → R tal que
f ( x ) =
x , si x ≥ 0; − x , si x < 0 ,
es una sola función, la función valor absoluto , y no dos funciones, aunque sus valores coincidan en parte de su dominio (no en todo) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g ( x ) = x ∈ R y h : x ∈ R → h ( x ) = − x ∈ R. Dada una función f , emplearemos la expresión « f está definida en S » como sinónimo de que S es un subconjunto de dom f. El dominio de f es, en este sentido, el mayor subconjunto de R en el que f está definida.
Definición 2.1.2. Sea f una función con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R_. Llamamos_ conjunto imagen de S por f al conjunto f ( S ) = { f ( x ) : x ∈ S },
y conjunto antiimagen de T por f al conjunto
f −^1 ( T ) = { x : f ( x ) ∈ T },
que será un subconjunto (eventualmente vacío) de A. El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene
im f = f (dom f ) = { f ( x ) : x ∈ dom f }.
Una función f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre imágenes distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x '= y se sigue f ( x ) '= f ( y ) ; o, equivalentemente, si dados x, y ∈ dom f , de f ( x ) = f ( y ) se sigue x = y. Una función f : A → B se dice suprayectiva si f ( A ) = B, o sea, si el conjunto final y el conjunto imagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de algún (o algunos) elemento(s) de A. Una función se dice biyectiva si es simultáneamente inyectiva y suprayectiva.
Ejemplos. La función identidad id : x ∈ R → id( x ) = x ∈ R es trivialmente biyectiva. La función parte entera , que asocia a cada x ∈ R su parte entera (vista como aplicación de R en R) no es inyectiva ni suprayectiva.
Definición 2.1.3 (función inversa). Dada una función inyectiva f : A → B, se llama función inversa de f a la función f −^1 : f ( A ) → A tal que f −^1 ( y ) = x si y solo si f ( x ) = y.
En términos más formales, f −^1 sería la función dada por la terna ( f ( A ), A , G (^) f − 1 ), donde G (^) f − 1 = {( y , x ) : ( x , y ) ∈ G (^) f }, y G (^) f es, por supuesto, la gráfica de f. Para ser rigurosos, deberíamos compro- bar que tal terna define efectivamente una función; esto es una consecuencia inmediata de que f es inyectiva. En muchos textos aparece definida la función inversa solamente para funciones biyectivas. Sin embargo, la práctica usual en análisis matemático recomienda ampliar la definición a todas las funcio- nes inyectivas, como acabamos de hacerlo. Obsérvese que, en cualquier caso, lo que hemos definido
20 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
Función monótona no creciente Función estrictamente creciente
Esta nomenclatura puede variar de unos textos a otros: por ejemplo, algunos autores llaman fun- ciones crecientes a las que nosotros denominamos monótonas no decrecientes, mientras que otros utilizan el nombre de funciones crecientes para las que hemos definido como monótonas estrictamen- te crecientes. Hemos elegido por ello los nombres que nos parecen menos ambiguos para cada uno de los tipos considerados.
Observación. La monotonía no es una propiedad puntual de la función, sino que es una propiedad global. Esto significa que solo tiene sentido decir que una función es monótona en un determinado conjunto, no que es monótona en un punto del conjunto. La expresión función monótona en un punto carece de significado.
Ejemplo. Probar que la función f : R \ { 0 } → R definida mediante f ( x ) = 1 / x es estrictamente decreciente en (−∞, 0 ) y en ( 0 , +∞). Pero no es estrictamente decreciente en R \ { 0 }, porque − 1 < 1 y sin embargo f (− 1 ) < f ( 1 ).
En general, dados dos conjuntos A , B ⊆ R y una función f : A ∪ B → R, si f es estrictamente decreciente en A ∪ B , puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A y que f es estrictamente decreciente en B. Pero si f es estrictamente decreciente tanto en A como en B , no puede asegurarse que f sea estrictamente decreciente en A ∪ B. Lo mismo puede decirse con los demás tipos de monotonía.
Definición 2.1.5. Se dice que una función f está acotada superiormente si su conjunto imagen está acotado superiormente. En otras palabras, si existe un número fijo M ∈ R tal que, simultáneamente para todos los x ∈ dom f , se tiene f ( x ) ≤ M (por comodidad, suele decirse entonces que f está acotada superiormente por M o que M es una cota superior de f , en lugar de decir que el conjunto imagen de f está acotado superiormente por M o que M es una cota superior de dicho conjunto). Enteramente análoga es la definición de función acotada inferiormente. Por último, una función acotada es aquella que está acotada superior e inferiormente, es decir, aquella cuyo conjunto imagen está acotado, de manera que existen constantes m, M ∈ R tales que para cada x ∈ dom f se tiene m ≤ f ( x ) ≤ M; equivalentemente, f está acotada si y solo si existe un K ∈ R tal que | f ( x )| ≤ K para todo x ∈ dom f.
El estudio de una función se simplifica cuando posee algún tipo de repetición. Concretamos esta idea en las siguientes definiciones.
2.1. Primeros conceptos 21
Definición 2.1.6. Sea f una función definida en R_. Se dice que f es_
a) par si para cada x ∈ R se cumple f (− x ) = f ( x ) (su gráfica es entonces simétrica respecto del eje de ordenadas); b) impar si para cada x ∈ R se cumple f (− x ) = − f ( x ) (su gráfica es entonces simétrica respecto del origen de coordenadas);
c) periódica de periodo T (T ∈ R \ { 0 } ) si para cada x ∈ R se cumple f ( x + T ) = f ( x ) (su gráfica puede obtenerse entonces por traslación reiterada de la gráfica en cualquier intervalo de longitud | T | ).
Función par Función impar
Observación. Toda función f : R → R puede escribirse, además de manera única, como suma de una función par (su componente par ) y una función impar (su componente impar ). Concretamente, las componentes par e impar son
f (^) P ( x ) = f ( x ) + f (− x ) 2
f (^) I ( x ) = f ( x ) − f (− x ) 2
Es inmediato comprobar que f (^) P es par, f (^) I es impar y f = f (^) P + f (^) I. Para ver que la descomposición es única, supongamos que f = g + h , con g par h impar. Entonces,
f (^) P ( x ) =
f ( x ) + f (− x ) 2
[ g ( x ) + h ( x )] + [ g (− x ) + h (− x )] 2
g ( x ) + h ( x ) + g ( x ) − h ( x ) 2 = g ( x )
y de la misma manera se comprueba que f (^) I = h.
Nótese que la definición de función par y de función impar puede ampliarse de manera obvia a funciones f cuyo dominio sea simétrico (respecto al origen de coordenadas), es decir, tal que − x ∈ dom f siempre que x ∈ dom f.
Función periódica
2.1. Primeros conceptos 23
Funciones constantes
Son las que asignan a todos los valores de su dominio un mismo valor fijo, es decir, aquellas funciones f para las que existe un a ∈ R tal que f ( x ) = a para todos los x ∈ dom f. ¿Puede una función constante ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Cómo es su representación gráfica? ¿Es monótona? ¿De qué tipo? ¿Es acotada? ¿Es par, impar, periódica?
Función identidad
Dado un conjunto A ⊆ R, la identidad en A es la función tal que f ( x ) = x para cada x ∈ A. ¿Es la identidad siempre inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Es monótona? ¿Es acotada? ¿Cómo es su representación gráfica? ¿Cuál es su inversa?
Potencias de exponente entero
Dado un número natural n , la función f : x ∈ R → x n^ ∈ R (producto de n funciones iguales a la identidad) tiene distinto comportamiento según n sea par o impar. Para n = 2 k − 1, k ∈ N, la función g : x ∈ R → x^2 k −^1 ∈ R es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva. También es suprayectiva, aunque ahora no estamos todavía en condiciones de demostrarlo fácilmente. Sin embargo, la función h : x ∈ R → x^2 k^ ∈ R no es inyectiva (es una función par), aunque la restricción de h a [ 0 , +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [ 0 , +∞), como justificaremos más adelante. La potencia de exponente 0 es la función constante con valor siempre igual a 1. Para exponente negativo, n = − m con m ∈ N, se define
x ∈ R \ { 0 } → x n^ =
x m
x − n
∈ R.
Raíces
Dado k ∈ N, se puede probar que la función g : x ∈ R → x^2 k −^1 ∈ R es biyectiva. Por tanto, posee una función inversa f : R → R, denominada raíz ( 2 k − 1 ) -ésima ; su valor en un punto x ∈ R se denota por 2 k −^1
x o x^1 /(^2 k −^1 )^. De acuerdo con su definición, se tiene y = 2 k −^1
x si y solo si y^2 k −^1 = x. Sin embargo, puesto que la función h : x ∈ R → x^2 k^ ∈ R no es inyectiva, no puede hablarse de raíz 2 k -ésima en todo R. No obstante, la restricción de h a [ 0 , +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [ 0 , +∞): su inversa es la que llamamos función raíz 2 k - ésima , de modo que dicha función tendrá ahora por dominio [ 0 , +∞). Es decir, solo está definida en un número real x si x ≥ 0: su valor en dicho punto se representa por 2 k
x o x^1 /(^2 k )^ excepto para el caso k = 1 (raíz cuadrada), que se usa abreviadamente
x. Nótese que siempre es
x ≥ 0 y, en general, 2 √ kx ≥ 0.
Funciones polinómicas y funciones racionales
Las funciones que pueden obtenerse mediante sumas y productos de funciones constantes y de la identidad en R reciben el nombre de funciones polinómicas. Por tanto, f es una función polinómica (o polinomio ) si y solo si existen a 0 , a 1 ,... , an ∈ R tales que
f ( x ) = a (^) 0 + a (^) 1 x + · · · + a (^) n x n
24 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
para cada x ∈ R (también suelen denominarse funciones polinómicas las restricciones de las anteriores a cualquier subconjunto de R.) Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de dos funciones polinómicas. Su dominio es todo R salvo un conjunto finito (quizás vacío): el conjunto de los ceros o raíces del denominador. Es habitual utilizar el mismo nombre para las restricciones de estas funciones a subconjuntos cualesquiera.
Funciones algebraicas
Reciben este nombre las funciones tales que se pueden encontrar polinomios p (^) 0 , p (^) 1 ,... , pn de manera que para todo x ∈ dom f se verifica
p (^) 0 ( x ) + p 1 ( x ) f ( x ) + · · · + p (^) n ( x ) f ( x ) n^ = 0.
Obsérvese que las raíces anteriormente definidas quedan dentro de esta clase.
2.2. Funciones trascendentes
Las funciones que vamos a describir ahora, aunque quedan como las anteriores dentro de las que suelen denominarse genéricamente funciones elementales , y en buena parte son conocidas por el lector, requieren para su construcción técnicas de las que no disponemos todavía. No podemos, pues, definirlas, pero vamos a emplearlas admitiendo de momento que existen y tienen las propiedades que enunciamos.
2.2.1. Funciones exponencial y logarítmica
Función exponencial
La función exponencial , exp : R → R,
que construiremos más adelante, aparece en la descripción de los fenómenos en los que la variación de una magnitud es proporcional al valor de dicha magnitud. El número exp( 1 ) se denota por e. Es irracional; más todavía, es trascendente , lo que significa que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que se anule en e. Sus primeras cifras decimales son 2 , 7182818284590452353602874713526624977572...
(sobre su historia, ver [ M AOR ]). En lugar de exp( x ) suele escribirse ex^.
Proposición 2.2.1 (propiedades de la exponencial). a) e^0 = 1_._
b) Para cada x ∈ R , 1 ex^
= e − x^ ,
y, en particular, ex^^ '= 0_._
c) Dados x, y ∈ R , e x + y^ = e x^ · ey^.
26 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
log
exp
Las funciones exponencial y logaritmo
Proposición 2.2.4 (propiedades de las potencias). Dados a , b , x , y ∈ R con a > 0 , b > 0 ,
a) ( ab ) x^ = a x^ b x^.
b) ( a x^ ) y^ = axy^.
Definición 2.2.5. Dado a > 0 , a '= 1 , la función logarítmica de base a se define en ( 0 , +∞) mediante la fórmula
log a x = log x log a
Es inmediato comprobar que esta función es la inversa de la función exponencial de base a. Como propiedad adicional interesante se tiene: dados a , b , x ∈ R con 0 < a '= 1 y b > 0,
log (^) a ( bx^ ) = x log a b.
2.2.2. Funciones trigonométricas. Funciones trigonométricas inversas
Funciones trigonométricas
Reciben este nombre una serie de funciones de origen geométrico, ligadas con las medidas de ángulos y la descripción de fenómenos periódicos. La función seno sen : R → R
y la función coseno cos : R → R
serán definidas más adelante. De momento, admitimos sin demostración que satisfacen las propieda- des que pasamos a enunciar.
2.2. Funciones trascendentes 27
Proposición 2.2.6 (propiedades del seno). a) El seno es una función impar, mientras que el co- seno es una función par: cualquiera que sea x ∈ R se tiene
sen(− x ) = − sen x , cos(− x ) = cos x.
b) Para cada x ∈ R es sen^2 x + cos^2 x = 1.
c) Existe un número real positivo, denotado por π , tal que sen π = 0 y sen x '= 0 si 0 < x < π. Este número π es irracional (y trascendente) y sus primeras cifras decimales son
3 , 14159265358979...
El número π , «área del círculo de radio 1, es de lejos la constante más célebre de las mate- máticas. Aparecida inicialmente en Geometría, interviene hoy en los dominios más variados: análisis, teoría de números, probabilidades y estadística, combinatoria, etc. Los más grandes matemáticos se han interesado desde hace más de 2000 años por los problemas planteados por este número» ([ LE LIONNAIS , pág. 50]).
d) cos π = − 1_._
e) Las funciones sen y cos tienen por conjunto imagen el intervalo [− 1 , 1 ].
f) Dados x, y ∈ R tales que x^2 + y^2 = 1 , existe un α ∈ R de modo que
cos α = x , sen α = y
(gráficamente, esto significa que las funciones seno y coseno que hemos definido se correspon- den con las utilizadas en trigonometría).
g) Fórmulas de adición: dados x , y ∈ R ,
sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y sen( x − y ) = sen x cos y − cos x sen y cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y cos( x − y ) = cos x cos y + sen x sen y
h) Las funciones sen y cos son periódicas de periodo 2 π.
i) La función sen es estrictamente creciente en [ 0 , π/ 2 ] y estrictamente decreciente en [π/ 2 , π].
j) La función cos es estrictamente decreciente en [ 0 , π/ 2 ] y estrictamente creciente en [π/ 2 , π].
Damos ahora una tabla de algunos valores particulares de estas funciones.
grados x sen x cos x 0 0 0 1 15 π/ 12 14 (
30 π/ 6 1/
45 π/ 4
60 π/ 3
90 π/ 2 1 0
2.2. Funciones trascendentes 29
− 2 π −π −^1
π 2 2 π
3 π π 2
− 3 π 2
π 2
La función cosecante
3 π 2 −π^
π 2
3 π π 2
π 2 − 2 π 2 π
La función secante
La función seno no es inyectiva, por lo que no puede hablarse estrictamente de inversa de la función seno. Sin embargo, la restricción de la función seno al intervalo [−π/ 2 , π/ 2 ] es estrictamente creciente, luego inyectiva en particular, y su conjunto imagen es el intervalo [− 1 , 1 ] (igual conjunto imagen que la función seno). La función arco seno , arc sen : [− 1 , 1 ] → [−π/ 2 , π/ 2 ],
es, por definición, la inversa de la restricción de la función seno al intervalo [−π/ 2 , π/ 2 ], de manera que será una función estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ [− 1 , 1 ]
arc sen x = y ⇐⇒
y ∈ [−π/ 2 , π/ 2 ] sen y = x ,
con lo cual sen(arc sen x ) = x para todo x ∈ [− 1 , 1 ] = dom arc sen
(es decir, la función arco seno es una inversa por la derecha de la función seno), mientras que
arc sen(sen x ) = x ⇐⇒ x ∈ [−π/ 2 , π/ 2 ].
Pasando a la función coseno, su restricción al intervalo [ 0 , π] es una función estrictamente decre- ciente cuyo conjunto imagen es [− 1 , 1 ]. Análogamente a lo anterior, la función arco coseno
arc cos : [− 1 , 1 ] → [ 0 , π]
es por definición la inversa de la restricción de la función coseno al intervalo [ 0 , π]. Es una función estrictamente decreciente y acotada, con el mismo dominio que la función arco seno, pero con distinto codominio. Dado x ∈ [− 1 , 1 ], se tiene
arc cos x = y ⇐⇒
y ∈ [ 0 , π] cos y = x ,
30 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
con lo cual cos(arc cos x ) = x para todo x ∈ [− 1 , 1 ] = dom arc cos
(es decir, la función arco coseno es una inversa por la derecha de la función coseno), mientras que
arc cos(cos x ) = x ⇐⇒ x ∈ [ 0 , π].
−π/ 2
π/ 6
π/ 4
π/ 3
π/ 2
1 2 √^1 2
√ 3 2
La función arco seno
π
π/ 3 π/ 4 π/ 6
1 2 √^1 2
√ 3 2
π/ 2
La función arco coseno
De manera similar, la función arco tangente
arc tg : R → (−π/ 2 , π/ 2 )
es por definición la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo abierto (−π/ 2 , π/ 2 ). Es una función estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ R
arc tg x = y ⇐⇒
y ∈ (−π/ 2 , π/ 2 ) tg y = x ,
con lo cual tg(arc tg x ) = x para todo x ∈ R = dom arc tg
(es decir, la función arco tangente es una inversa por la derecha de la función tangente), mientras que
arc tg(tg x ) = x ⇐⇒ x ∈ (−π/ 2 , π/ 2 ).
Aunque se usa menos que las anteriores, podemos también definir: la función arco cotangente
arc ctg : R → ( 0 , π)
es la inversa de la restricción de la función cotangente al intervalo ( 0 , π). Las funciones arco secante y arco cosecante se usan raras veces. Su definición, con las notaciones sec −^1 y cosec−^1 , puede verse en [ S PIEGEL -A BELLANAS ].
32 Capítulo 2. Funciones reales de una variable real. Generalidades
La función coseno hiperbólico
La función seno hiperbólico
Definición 2.2.10. La función tangente hiperbólica , tgh : R → R , se define como
tgh x = senh x cosh x
ex^ − e − x ex^ + e − x^
e^2 x^ − 1 e^2 x^ + 1
Es una función impar, estrictamente creciente y acotada: su conjunto imagen es el intervalo abierto (− 1 , 1 ).
1
La función tangente hiperbólica
Definición 2.2.11. La función cotangente hiperbólica , ctgh : R \ { 0 } → R , está dada por
ctgh x =
cosh x senh x
ex^ + e − x ex^ − e − x^
e^2 x^ + 1 e^2 x^ − 1
La función secante hiperbólica es sech =
cosh
La función cosecante hiperbólica es cosech =
senh
2.3. Ejercicios 33
Funciones hiperbólicas inversas
Definición 2.2.12. La función argumento coseno hiperbólico , arg cosh : [ 1 , +∞) → [ 0 , +∞) , dada por arg cosh x = log( x +
x^2 − 1 ),
es la inversa de la restricción de la función coseno hiperbólico al intervalo [ 0 , +∞). La función argumento seno hiperbólico , arg senh : R → R , dada por
arg senh x = log( x +
x^2 + 1 ),
es la inversa de la función seno hiperbólico. La función argumento tangente hiperbólica , arg tgh : (− 1 , 1 ) → R , dada por
arg tgh x =
log
1 + x 1 − x
es la inversa de la función tangente hiperbólica. La función argumento cotangente hiperbólica , arg ctgh : (−∞, − 1 ) ∪ ( 1 , +∞) → R , dada por
arg ctgh x =
log
x + 1 x − 1
es la inversa de la función cotangente hiperbólica.
− 5 −^4 −^3 −^2 −^1 1 2 3 4
La función argumento seno hiperbólico
2.3. Ejercicios
Ejercicio 2.1. Probar que la función f : R → R definida por f ( x ) = 2 x + | x − 3 | es biyectiva y demos- trar que su función inversa puede escribirse en la forma f −^1 ( x ) = ax + b − | cx + d | para ciertos valores a , b , c , d ∈ R.
Ejercicio 2.2. Describir la gráfica de g en términos de la gráfica de f , en los casos siguientes: a) g ( x ) = f ( x ) + c b) g ( x ) = f ( x + c ) c) g ( x ) = c f ( x )
d) g ( x ) = f (− x ) e) g ( x ) = − f ( x ) f) g ( x ) = f (| x |)
g) g ( x ) = | f ( x )| h) g ( x ) = m´ax{ f ( x ), 0 } i) g ( x ) = m´ın{ f ( x ), 0 }
2.3. Ejercicios 35
Ejercicio 2.9. Dibujar las gráficas de las funciones sen ◦ arc sen y arc sen ◦ sen.
Ejercicio 2.10. Probar que para todo x ∈ [− 1 , 1 ] es
arc sen x + arc cos x = π 2
Ejercicio 2.11. Probar que dados a , b ∈ R tales que a , b , a + b ∈ dom tg,
tg( a + b ) = tg a + tg b 1 − tg a tg b
¿Puede deducirse de aquí, haciendo tg a = x y tg b = y e invirtiendo, que
arc tg x + arc tg y = arc tg
x + y 1 − xy
Precisar la respuesta.
Ejercicio 2.12. Indicar el dominio de las siguientes funciones:
a)
x − 2 x + 2
x − 1 √ 1 + x
b)
1 − | x | 2 − | x |
c)
( x − 1 )( x − 2 ) ( x − 3 )( x − 4 )
− 1 d)
arc sen( x − 1 )
e) log
x^2 − 5 x + 6 x^2 + 4 x + 6 f)
log
5 x − x^2 4 Ejercicio 2.13. Sabiendo que el dominio de la función f es [ 0 , 1 ], hallar el dominio de las funciones: a) f ( x^2 ) b) f (sen x ) c) f ( x − 5 ) d) f ( 2 x + 3 ) e) f (tg x )
Ejercicio 2.14. Probar que:
a) Si f ( x ) = (^1) −^1 x , entonces ( f ◦ f ◦ f )( x ) = x.
b) Si f ( x ) = ax + b , con a '= 1, entonces ( f ◦ f ◦.. .( n ) ◦ f )( x ) = a n^ x + b a n (^) − 1 a − 1. c) f ◦ g '= g ◦ f , donde f ( x ) =
x y g ( x ) = x^2.
Ejercicio 2.15. Demostrar que si f es periódica con periodo T y a '= 0, entonces la función g ( x ) = f ( ax + b ) es periódica con periodo Ta.
Ejercicio 2.16. Hallar el periodo de las siguientes funciones: a) f ( x ) = tg 2 x b) f ( x ) = sen^4 x + cos 4 x c) f ( x ) = ctg 2 x
d) f ( x ) = | cos x | e) f ( x ) = sen( 2 π x ) f) f ( x ) = 2 cos x − 3 π
Ejercicio 2.17. Estudiar si son pares o impares las siguientes funciones: a) f ( x ) = | x + 1 | − | x − 1 | b) f ( x ) = a x^ + a − x^ ( a > 0)
c) f ( x ) = log 11 +− xx d) f ( x ) = log( x +
1 + x^2 )
Ejercicio 2.18. Hallar la inversa de las funciones siguientes y determinar su dominio:
a) f ( x ) = ex^ − e − x ex^ + e − x^
b) f ( x ) = 2 x 1 + 2 x^
c) f ( x ) = 3
1 − x^3
d) f ( x ) =
x 1 − | x | e) f ( x ) = x 2 +
x^2 4 −^1 f)^ f^ ( x ) =^
√ (^31) − x 3
