Funcions periòdiques, Apuntes de Física

¡Descarga Funcions periòdiques y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!

Funcions de variable real

Joaquim Bruna

viii Joaquim Bruna

Els exemples m´es senzills s´on les ones elementals

f (x) = D sin(ωx + φ),

que tenen per´ıode T = (^2) ωπ , que estudiarem amb detall en la propera secci´o.

Observacions senzilles a tenir en compte s´on:

1. 0 ´es un per´ıode de tota f. Quan diem que f ´es peri`odica, sense especificar el per´ıode, volem dir que t´e un per´ıode no nul.
2. Una funci´o f ´es constant si i nom´es si tot T ∈ R ´es un per´ıode
3. Si T ´es un per´ıode de f , tamb´e 2T, 3 T , en general kT, k ∈ Z s´on per´ıodes. En efecte, per exemple per a 2T utilitzant dos cops que T ´es un per´ıode,

f (x + 2T ) = f ((x + T ) + T ) = f (x + T ) = f (x).

Per veure que −T ´es un per´ıode tan sols canviar x per x−T en f (x+T ) = f (x).

1. Tamb´e, si T 1 , T 2 s´on per´ıodes de f , T 1 ±T 2 s´on per´ıodes: f (x+T 1 +T 2 ) = f (x + T 1 ) = f (x)
2. Aix`o significa que el conjunt de per´ıodes de f ,

P (f ) = {T ∈ R : f (x + T ) = f (x), x ∈ R}, ´es un subgrup additiu de (R, +). Les funcions periodiques que ens in- teressen s´on les no constants, ´es a dir, 0 6 = P (f ) 6 = R. No podem parlar del per´ıode de f , pero dels per´ıodes de f.

1. Si f, g s´on funcions T - peri`odiques i a, b ∈ R, llavors la combinaci´o lineal

h(x) = af (x) + bg(x),

´es tamb´e T -periodica. Evidentment, iterant, aixo sera tamb´e cert per a un nombre qualsevol de sumands. Aixo significa que el conjunt ET de funcions T -peri`odiques ´es un espai vectorial sobre els reals.

En una secci´o posterior veurem que si f ´es cont´ınua peri`odica no constant, aleshores hi ha un per´ıode T 0 de f que ´es el m´es petit de tots els per´ıodes po- sitius, i de forma que P (f ) = T 0 Z. Aquest T 0 s’anomena el per´ıode fonamental de f. Pel cas d’una ona elemental f (x) = A cos(ωx + φ) una simple inspecci´o

1. funcions peri`odiques ix

del grafic ens permet veure que P (f ) consisteix en els m´ultiples enters de (^2) ωπ , de manera que aquest ´es el seu per´ıode fonamental. Tamb´e val la pena constatar que reescalant, ´es a dir, mitjan¸cant la trans- formaci´o g(x) = f (sx) passem de funcions f T -periodiques a funcions g que s´on Ts -periodiques perque

g(x +

T

s

) = f (s(x +

T

s

)) = f (sx + T ) = f (sx) = g(x).

Dit en altres paraules, triant s = T T^12 , l’aplicaci´o f −→ g ´es una bijecci´o de ET 1 en ET 2.

1.2 Ones elementals. Superposici´o d’ones elementals

Les ones elementals s´on les funcions peri`odiques de la forma

f (x) = D cos(ωx + φ), D > 0 , ω > 0

Una expressi´o D sin(ωx + φ) ´es tamb´e d’aquest tipus doncs

D sin(ωx + φ) = D cos(ωx + φ − π 2

El nombre D s’anomena l’amplitud de l’oscil·laci´o doncs en el grafic veiem que f oscil·la entre −D i D prenent tots els valors en mig. El per´ıode fonamental ´es T 0 = (^2) ωπ ; si pensem que x ´es temps, T 0 ´es el temps que tarda en fer una oscil·laci´o completa o cicle, de 0 a D, de D a −D, de −D a D i de D a 0; equivalentment, (^) T^10 = 2 ωπ ´es el nombre de cicles per unitat de temps. El parametre ω s’anomena la freq¨uencia de l’ona i ens indica com d’”apretada”´es l’ona. El parametre φ s’anomena la fase inicial. Com a conseq¨uencia de les observacions anteriors, una suma finita d’ones elementals de freq¨uencies diferents

f (x) =

j

Dj cos(ωj x + φj )

sera T -periodica si cada sumand ho ´es, ´es a dir, si T ´es m´ultiple enter de cada 2 π ωj ,^ T^ =^ kj^

2 π ωj , kj^ ∈^ Z. Aix´ı, si^ kj^ ∈^ Z,

f (x) =

j

Dj cos(kj

2 π T x + φj )

1. funcions peri`odiques xi

Tamb´e hom t´e que ((cos t + i sin t)′^ = − sin t + i cos t = i(cost + i sin t). Per aquest motiu, Euler va introduir la notaci´o

eix^ = cos x + i sin x,

perqu`e les propietats anteriors s’escriuen

ei(t+s)^ = eiteis, (eit)′^ = ieit,

que s´on completament an`alegs a les que ja sabem quan els exponents s´on reals

ea(t+s)^ = eateas, (eat)′^ = aeat.

Observem que de la regla anterior es dedueix tamb´e que e−ix^ ´es l’invers de eix i que eimx^ = (eix)m^ per a tot m ∈ Z.

Aix´ı,

ei^

π 4

(1 + i), ei^

π 2 = i, ei^

π 6

• i

La notaci´o eix^ d’Euler t´e molta utilitat per a manipular expressions trigo- nom`etriques. Per exemple, de

(cos x + i sin x)n^ = (eix)n^ = einx^ = cos nx + i sin nx,

igualant parts reals i imaginaries i utilitzant el binomi de Newton (que ´es conseq¨uencia de l’aritmetica, val en qualsevol cos), hom troba l’expressi´o de cos nx, sin nx en termes de sin x, cos x i llurs potencies. Per exemple,

cos 5x = <(cos x + i sin x)^5 = cos^5 x − 10 cos^3 x sin^2 x + 5 cos x sin^4 x,

sin 5x = =(cos x + i sin x)^5 = 5 cos^4 x sin x − 10 cos^2 x sin^3 x + sin^5 x.

Tamb´e permet introduir la forma polar d’un nombre complex z 6 = 0. El nombre (^) |zz| t´e m`odul 1 i s’escriu per tant

z |z|

= eit,

on t ´es l’angle que forma l’eix positiu del Ox amb la semirecta que va de O a z. De fet hi ha molts t′s complint aix`o, s’anomenen els arguments de z, i s´on de la forma t = t 0 + 2πk, k ∈ Z, on t 0 ´es l´´unic complint t 0 ∈ (−π, +π], anomenat argument principal de z.

xii Joaquim Bruna

L’expressi´o z = |z|eit^ s’anomena la forma polar de z. El producte amb un w = |w|eis^ s’ent´en molt millor amb la forma polar:

zw = |z||w|eiteis^ = |z||w|ei(t+s),

veiem que z → zw consisteix en una dilataci´o de ra´o |w| seguida d’un gir d’angle s.

La forma polar ´es ´util per a manipular productes i pot`encies. Per exemple, per a calcular (1 +

3 i)^500 l’escrivim en forma polar. Com que 1 +

3 i = 2ei^ π 3 ,

(1 +

3 i)^500 = 2^500 (ei^

π 3 )^500 = 2^500 ei^

5003 π .

Com que 5003 π difereix de 83 voltes senceres (166π en 23 π, hom t´e que

(1 +

3 i)^500 = 2^500 ei^ (^23) π = 2^500 (− 12 +

√ 3 2 i).

1.4 Altres formes d’expressar ones elementals

Tornant a l’ona elemental, la podem escriure

D cos(ωx + φ) = 0 D cos(ωx + Ψ) A cos ωx + B sin ωx, A, B ∈ R Ceiωx^ + Ce−iωx, C ∈ C

s´on expressions equivalents de les ones elementals de freq¨u`encia ω. En la segona expressi´o veiem que s´on combinacions lineals de sinus i de cosinus.

La idea basica de Fourier ´es que els sinus i cosinus sin ωx, cos ωx s´on les funcions periodiques elementals a partir de les quals es formen per superposici´o (suma) totes les altres. El que veurem ara ´es que s´on linealment independents, ´es a dir, que cap d’elles es pot expressar com a combinaci´o lineal dels altres.

xiv Joaquim Bruna

on c ´es el coeficient de ηN N −^1. Pero aquest coeficient, per la hipotesi d’inducci´o ´es (−1)N^ −^1

j

1. funcions peri`odiques xv

Corol.lari 1.3. Una combinaci´o lineal

f (x) =

j

Aj cos ωj x + Bj sin ωj x

´es periodica si i nom´es si les freq¨uencies ωj s´on commesurables

L’enunciat de Fourier, que aqu´ı no podem encara demostrar, estableix que si acceptem que les sumes puguin ser ¨ınfinites”, aleshores l’anterior ´es l’expressi´o general d’una funci´o periodica: tota funci´o f T -periodica s’expressa

f (x) = B 0 +

∑^ ∞

j=

Aj cos(j 2 π T

x) + Bj sin(j 2 π T

x).

Dit en altres paraules, les ones elementals cos(j (^2) Tπ x), sin(j (^2) Tπ x), j = 0, 1 , 2 , · · · formen una base de l’espai de les funcions T -peri`odiques.

1.5 El grup de per´ıodes d’una funci´o

Ja hem comentat abans que P (f ) ´es un subgrup additiu de (R, +). Veurem en aquesta secci´o que aquests subgrups tenen una descripci´o bastant simple.

Definici´o 1.4. Diem que un punt p ´es adherent a un conjunt A ⊂ R si ´es l´ımit d’una successi´o (xn) de punts d’A, ´es a dir, si ´es aproximable per punts d’A. Aixo equival a dir que tot entorn (p − δ, p + δ) de p talla A. S’anomena adherencia d’A, designat A el conjunt de punts adherents a A.

En altres paraules, A ´es tot allo que ´es aproximable per A. Evidentment, A ⊂ A. Quant A = A, ´es a dir, quan A ´es el m´es petit possible, diem que A ´es tancat. Quan ´es el m´es gran possible, ´es a dir, quan A = R, diem que A ´es dens. De la definici´o es segueix que A ´es dens si i nom´es si A t´e intersecci´o no buida amb tot interval obert I. Per exemple, els racionals i els irracionals s´on densos. Tamb´e ho s´on els nombres diadics, els que obtenim afegint als enters els seus punts mitjos, els punts mitjos dels anteriors i aix´ı successivament.

Teorema 1.5. Un subgrup P additiu de (R, +), P 6 = 0, o b´e ´es dens o b´e consisteix en els m´ultiples enters d’un nombre estrictament positiu τ , P = τ Z.

Demostraci´o. Estem suposant que P compleix que −x ∈ P si x ∈ P i que x + y ∈ P si x, y ∈ P. Com que suposem que P t´e punts diferents de zero en

1. funcions peri`odiques xvii

Teorema 1.7. Suposem que f ´es una funci´o peri`odica i cont´ınua, no cons- tant. Aleshores P (f ) consta dels m´ultiples enters d’un τ > 0 que s’anomena el per´ıode fonamental de f.

Demostraci´o. Observem que P (f ) ´es tancat: en efecte, si Tn s´on periodes de f i Tn → T aleshores per a tot x i per continu¨ıtat de f ,

f (x + T ) = lim n f (x + Tn) = lim n f (x) = f (x),

per tant T ´es un per´ıode. Segons el teorema anterior, P (f ) ´es o b´e dens o b´e consta dels m´ultiples d’un τ. Com que P (f ) ´es tancat, tenim d’una banda P (f ) = P (f ) i de l’altra, si fos dens, que P (f ) = R, per tant P (f ) = R i f seria constant.