¡Descarga GDC - concerte corba y más Apuntes en PDF de Geometría solo en Docsity!
1. Concepte de corba
1.1 Introducció
Tots tenim una idea intuïtiva de què és una corba, o en particular, què és una corba plana. És un bon exercici matemàtic plantejar una definició de corba plana que siga convenient per a poder treballar amb ella i que, alhora, permeta englobar la idea nascuda gràcies a la nostra intuïció.
Algunes corbes planes.
Ací tenim uns quants dibuixos. Només dibuixos. Uns subconjunts de R^2. Són aquests subconjunts corbes planes? El mateix fet de dibuixar-los ens diu que uns punts del subconjunts es dibuixen abans que altres. Hi ha un punt inicial, aquell en el que el llapis toca el full i comencem a dibuixar. Hi ha també un punt final, quan acabem de traçar la corba una estona de temps més tard. Entre el temps inicial i el final hem fet córrer el llapis per damunt el paper, sense mai alçar-lo d’ell. Cada punt del subconjunt està associat a un determinat temps, aquell per al qual el llapis el dibuixava. Tot això vol ressaltar el fet que distingeix el subconjunt de la nostra idea de corba. La corba, des del punt de vista matemàtica, no és el subconjunt. La corba és més que això: és una aplicació de la qual el subconjunt és la seva imatge. En aquest cas parametritzem cada punt del subconjunt per un nombre real, el temps. Així doncs, tenim un concepte intuïtiu de corba com a conjunt continu de punts en l’espai, o com a trajectòria recorreguda per un mòbil. En aquesta primera part de l’assignatura es formalitzarà matemàti- cament el concepte de corba, es restringirà la classe de corbes a estudiar a aquelles amb les quals es pot fer càlcul, o siga, es pot derivar, i s’estudiaran les propietats geomètriques que defineixen unívocament una corba, com són la curvatura i la torsió. Una corba parametritzada és una aplicació α : [a, b] → Rn. Ara bé, sense cap condició? No. Ha de ser una aplicació contínua. És un altre requeriment que ens diu la nostra intuició. Encara més, com ja diu el nom d’aquest text, geometria diferencial clàssica, farem càlcul diferencial amb els objectes que estudiem.
J. Monterde. Versió 2015/
És més estudiarem les corbes mitjançant derivades. Per això demanarem que les parametritzacions siguen diferenciables. Hem arribat, doncs, a una primera classe d’objectes a estudiar. A partir d’ara una corba serà, en aquesta assignatura, una aplicació α : I → Rn, on I és un interval obert, almenys de classe C^1 , és a dir, contínua, derivable i amb derivada contínua.
Definició 1.1 Una corba parametritzada diferenciable de classe Ck, k ∈ N∗, és una aplicació diferencia- ble de classe Ck, α :]a, b[→ Rn
d’un interval obert de la recta real, ]a, b[⊂ R, en Rn. Al conjunt imatge α(]a, b[) ∈ Rn^ l’anomenarem traça de la corba α.
La variable t es diu paràmetre de la corba. La paraula interval té el seu significat més general, o siga, els casos a = −∞ i/o b = +∞ estan inclosos. El nombre natural n serà, al llarg d’aquest text, o bé 2 o bé 3. És clar que podem definir corbes en qualsevol Rn, però ací només treballarem amb corbes planes (n = 2) o amb corbes en l’espai tridimensional (n = 3).
Nota 1.2 Hi haurà vegades en les que anirem més enllà de la primera derivada. Suposarem aleshores, encara que sense fer menció explícita, que la corba és suficientment derivable. És a dir, quan no es diga res sobre la classe de diferenciabilitat de la corba se suposarà que la corba és de classe Ck^ amb un k suficientment elevat per a que les operacions necessàries siguen vàlides.
Com ja hem dit abans, una corba paramètrica és una aplicació i no la seva traça, o siga, no el conjunt de punts que formen la imatge. Corbes paramètriques diferents poden tenir la mateixa traça.
Exemple 1.3 1. Recta. Donat un punt p = (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 i un vector director −→v = (a, b) ∈ R^2 una parametrització de la recta que passa per p i té com a vector director −→v és α : R → R^2 ,
α(t) = (x 0 , y 0 ) + t(a, b) = (x 0 + ta, y 0 + tb).
- Circumferència amb centre (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 i radi r > 0 , α : R → R^2 ,
α(t) = (x 0 , y 0 ) + r(cos(t), sin(t)) = (x 0 + r cos(t), y 0 + r sin(t)).
- El.lipse amb centre (x 0 , y 0 ) ∈ R^2 i semieixos a, b ∈ R+, α : R → R^2 ,
α(t) = (x 0 + a cos(t), y 0 + b sin(t)).
- Folium de Descartes. α : R − {− 1 } → R^2 ,
α(t) = (
3 at 1 + t^3
3 at^2 1 + t^3
Segons la nostra definició, el folium de Descartes és la unió de dues corbes paramètriques. Una definida en ] − ∞, −1[. L’altra en ] − 1 , +∞[.
J. Monterde. Versió 2015/
La trocoide superior correspon a h > a i la inferior a h < a.
Una altra classe de corbes que també estudiarem són les que es diuen corbes diferenciables a trossos.
Definició 1.5 Una corba diferenciable a trossos és una aplicació contínua α : [a, b] → R^2 tal que existeix- en t 0 = a < t 1 < · · · < tn = b de manera que per a qualsevol i = 0,... , n − 1 , l’aplicació α|[ti,ti+1] és de classe C^1.
Un exemple de corba diferenciable a trossos és el quadrat:
Exemple 1.6 Una parametrització del quadrat amb vèrtexs els punts {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)} és la següent α : [0, 4[→ R^2 ,
α(t) =
(t, 0) si t ∈ [0, 1] (1, t − 1) si t ∈ [1, 2] (3 − t, 1) si t ∈ [2, 3] (0, 4 − t) si t ∈ [3, 4[.
Aprofitem també per a donar més terminologia relacionada amb corbes.
Definició 1.7 Un segment de corba paramètrica no és més que la restricció d’una corba paramètrica α : ]a, b[→ Rn^ a un subinterval tancat [c, d] ⊂ ]a, b[.
Aquesta definició vol evitar els problemes que comporta la definició de funció diferenciable quan aquesta està definida en un interval tancat. D’ara endavant, si parlem de α : [c, d] → R^2 com a corba paramètrica, volem dir, segment de corba.
Definició 1.8 Una corba α : [c, d] → Rn^ es diu que és tancada si α(c) = α(d).
Definició 1.9 Un punt de la traça d’una corba es diu que és un punt doble si existeixen dos valors distints del paràmetre, t 0 i t 1 , que tenen per imatge aquest punt(sempre que no siguen els extrems de l’interval tancat on està definida la corba). Una corba es diu simple si no té punts dobles.
Exemple 1.10 1. El Folium de Descartes, exemple 1.3, malgrat la seua aparença, és una corba simple.
- La lemniscata^1 de Gerono, α(t) = a sin t(1, cos t), t ∈ [0, 2 π], no és una corba simple
(^1) “Lemniscus”: cinta que adornava la corona dels vencedors.
Concepte de corba
ja que α(0) = α(π) = α(2π) = (0, 0) és un punt doble.
Notació. El producte escalar de vectors de Rn^ el denotarem per
< −→u , −→v >= u 1 · v 1 + u 2 · v 2 + · · · + un · vn,
on −→u = (u 1 , u 2 ,... , un) i −→v = (v 1 , v 2 ,... , vn).
Definició 1.11 El vector velocitat d’una corba paramètrica diferenciable α :]a, b[→ Rn^ en t 0 ∈ ]a, b[ és el vector
α′(t 0 ) =
dα dt
t=t 0.
√^ La velocitat de^ α^ en^ t^ =^ t^0 és el mòdul del vector velocitat, i ho denotarem per^ ‖α′(t^0 )‖^ = < α′(t 0 ),α′(t 0 ) >. Aquells punts en els quals la velocitat siga nul·la es diran punts singulars de la corba.
En realitat tenim una nova corba paramètrica diferenciable
α′^ : ]a, b[→ Rn,
definida per α′(t) = dα dt |t. Si el vector velocitat en un punt no s’anul.la, α′(t 0 ) 6 = 0, podem definir la recta que passa per α(t 0 ) i que té com a vector director el vector velocitat. Esta recta és la recta tangent a la corba α en t 0. L’existència en cada punt de la corba de tal recta és fonamental per a l’estudi de la geometria diferencial de la corba. És per això que restringirem la classe de corbes a estudiar a aquelles que no tenen punts singulars.
Definició 1.12 Una corba regular és una corba parametritzada diferenciable, α :]a, b[→ Rn, tal que α′(t) 6 = 0 per a tot t ∈ ]a, b[.
Una corba regular no és necessàriament injectiva, però sí que ho és localment, o siga, per a cada valor del paràmetre, t 0 , existeix un ǫ > 0 i un entorn ]t 0 − ǫ, t 0 + ǫ[ per al qual l’aplicació α : ]t 0 − ǫ, t 0 + ǫ[→ Rn sí que és injectiva. La corba α : ]0, 4 π[→ R^2 , definida per α(t) = (cos t, sin t) és regular però no és injectiva.
Concepte de corba
Donada una corba regular α :]a, b[→ Rn, i una reparametrització g : ]c, d[→ ]a, b[, podem definir una altra corba β : ]c, d[→ Rn^ com β(r) = α(g(r)).
Aquesta corba, β, l’anomenarem reparametrització de α per g. És clar que la traça de la corba β és la mateixa que la de la corba α.
Exemple 1.18 Continuant amb l’exemple 1.15, és clar que les aplicacions que transformen la corba α en alguna de les altres són gβ (t) = −t, gγ (t) = 2t, gǫ(t) = t + π 2 i gδ (t) = t^3. Les tres primeres sí que són reparametritzacions, mentre que no ho és la darrera.
Propietat 1.19 Siga g :]c, d[→]a, b[ una reparametrització, aleshores, la corba β = α ◦ g : ]c, d[→ Rn^ és regular si i només si α és regular.
Demostració. És clar que la composició d’α amb g és una corba paramètrica diferenciable. Allò que hem de comprovar és que β′(r) 6 = 0 per a tot r ∈ ]c, d[. Aplicant la regla de la cadena,
dβ dr
(r 0 ) =
dα dt
(g(r 0 ))
dg dr
(r 0 ).
Aquest últim factor no s’anul.la perquè si derivem l’expressió
g−^1 (g(r)) = r
obtindrem dg−^1 du
(g(r))
dg dr
(r) = 1,
i això vol dir que dg dr (r) 6 = 0 per a tot r ∈ ]c, d[. Com el vector α′(t) no s’anul.la per a tot t ∈ ]a, b[, llavors tampoc s’anul.larà β′(r) per a tot r ∈ ]c, d[.
La recta tangent és una propietat geomètrica del conjunt imatge d’una corba regular i no depèn de la parametrització, és a dir, un canvi de paràmetre no canvia la recta tangent. Allò que sí pot canviar és el signe del vector tangent.
−→ t (^) β (r 0 ) =
‖β′(r 0 )‖
β′(r 0 ) =
‖ dα dt (g(r 0 )) dg dr (r 0 )‖
dα dt
(g(r 0 ))
dg dr
(r 0 )
dg dr (r^0 ) | dg dr (r 0 )|
dα dt (g(r^0 )) ‖ dα dt (g(r 0 ))‖
dg dr (r^0 ) | dg dr (r 0 )|
t (^) α(g(r 0 )) = ±
t (^) α(g(r 0 )).
El signe depèn de si la reparametrització és orientada positiva(g′^ > 0 )o negativa(g′^ > 0 ).
1.2 Longitud d’una corba parametritzada
Una de les primeres magnituds que podem associar a una corba parametritzada és la seua longitud. Anem a associar a cada segment de corba regular, definit en un interval tancat, α : [a, b] → Rn, un nombre real, ℓ(α).
J. Monterde. Versió 2015/
Definició 1.20 La longitud d’un segment de corba parametritzada α : [a, b] → Rn^ és
ℓ(α) =
∫ (^) b
a
dα dt
‖ dt ∈ R.
Exemple 1.21 Siga γ :] − 2 π, 4 π[→ R^3 la corba parametritzada definida per γ(t) = (r cos(t), r sin(t), b), a on r > 0 , b ∈ R.
ℓ(γ[0, 2 π]) =
∫ (^2) π
0
‖(−r sin(t), r cos(t), 0)‖ dt =
∫ (^2) π
0
r dt = 2πr.
Exemple 1.22 Calculem ara la longitud d’un arc de la corba cicloide, exemple 1.4, concretament entre 0 i 2 π. Aprofitarem que ja hem calculat la norma del vector velocitat en l’exemple 1.14:
ℓ(α[0, 2 π]) =
∫ (^2) π
0
a
1 − cos t dt.
Fent servir ara la fórmula del cosinus de l’angle doble
1 − cos t = 1 − cos(
t 2
cos^2 (
t 2
) − sin^2 (
t 2
= 2 sin^2 (
t 2
Per tant
ℓ(α[0, 2 π]) =
∫ (^2) π
0
2 a sin(
t 2
) dt = − 4 a cos(
t 2
]t=2π
t=
= 8a.
8a
2 pa
Per la mateixa definició, la longitud d’un segment de corba és una propietat geomètrica de la traça de la corba, és a dir, no depén de la parametrització. Anem a veure ara, que això també es pot provar utilitzant la fórmula anterior.
Propietat 1.23 Siga g : ]c, d[→ ]a, b[ una reparametrització i siga α : [a, b] → Rn^ un segment de corba parametritzada. La longitud del segment de corba parametritzada α és la mateixa que la longitud del segment de corba parametritzada β = α ◦ g : [c, d] → Rn.
Demostració. És evident que β = α ◦ g és també un segment de corba regular.
J. Monterde. Versió 2015/
Demostració. Anem a fer una demostració constructiva. Donat que cerquem una aplicació g : ]c, d[→ ]a, b[ tal que la corba
β = α ◦ g : ]c, d[→ Rn
estiga parametritzada per la longitud d’arc, és a dir, tal que ‖β′(s)‖ = 1, i com que
β′(s) = α′(g(s)) · g′(s),
aleshores el que necessitem és una funció g amb g′(s) > 0 , tal que ‖α′(g(s))‖ · g′(s) = 1, és a dir,
g′(s) =
‖α′(g(s))‖
Ací és on comença realment la demostració. Definim f : ]a, b[→ R com a la funció
f (t) =
∫ (^) t
a
‖α′(u)‖ du.
L’aplicació f és una aplicació bijectiva de ]a, b[ en un altre interval ]c, d[ i és una reparametrització. En efecte, pel teorema fonamental del càlcul, f ′(t) = ‖α′(t)‖ > 0 i per tant és una funció estrictament creixent, i en conseqüència, és una bijecció. A més, si α és de classe Ck^ també ho són f i f −^1. Per tant, agafarem com a reparametrització, g = f −^1. Com que f (g(s)) = s, llavors f ′(g(s))·g′(s) = 1 i ja tenim el que volíem. Donat que g′(s) > 0 , llavors g és un difeomorfisme que conserva l’orientació i la corba β és reco- rreguda en el mateix sentit que la corba α.
La demostració d’aquesta proposició indica com reparametritzar una corba regular pel seu paràmetre longitud d’arc. Donada una corba regular α(t), es calcula primer la funció s(t) =
∫ (^) t t 0 ‖α
′(u)‖ du i després
es calcula la funció inversa t = t(s). La corba reparametritzada per la longitud d’arc és β(s) = α(t(s)). El problema en aquest procés teòric és que només és això, teòric. En la pràctica hi ha molt poques corbes que es puguen reparametritzar per la longitud d’arc de manera senzilla. I això passa per dues raons, primera: en general no es podrà expressar la integral
∫ (^) t t 0 ‖α
′(u)‖ du fent servir funcions elementals, i segona, en
cas que es puga integrar, no es podrà expressar l’aplicació inversa fent servir funcions elementals. (Vegeu Exercici 5 d’aquest tema.) Tanmateix, des d’un punt de vista teòric, sempre podem suposar que una corba qualsevol està parame- tritzada per la seua longitud d’arc, i així les deduccions són de vegades més senzilles com assenyala el tercer apartat del següent corol·lari.
Corol.lari 1.27 Siga α(t) una corba regular, siga s = s(t) el seu paràmetre longitud d’arc i siga β(s) = α(t(s)), llavors
1.- ds dt (t) = ‖α′(t)‖,
2.- dα dt (t) = ds dt (t)
t (^) α(t),
3.-
t (^) β (s) = dβ ds (s).
Concepte de corba
Demostració. Només demostrarem el tercer apartat. Els altres són conseqüències senzilles de la definició del paràmetre longitud d’arc. Calculem el vector velocitat de β,
dβ ds
(s) =
d(α ◦ t) ds
(s) =
dα dt
(t(s))
dt ds
(s)
dα dt
(t(s))
‖α′(t(s))‖
= −→ t (^) α(t(s)) = −→ t (^) β (s),
ja que la tangent és la mateixa, excepte el signe, per a una corba i les seues reparametritzacions, i en aquest cas, també el signe és el mateix perquè la derivada de la reparametrització és positiva.
El següent és un exemple del procés de reparametrització d’una corba per la seua longitud d’arc.
Exemple 1.28 Siga α : ] − 2 π, 2 π[→ R^2 la corba α(t) = (r cos(t), r sin(t)), amb r ∈ R estrictament positiu. La traça és una circumferència centrada en l’origen de radi r.
dα dt
‖ = ‖(−r sin(t), r cos(t))‖ = r.
Per tant, el paràmetre longitud d’arc és s : ] − 2 π, 2 π[→] − 2 rπ, 2 rπ[,
s = s(t) =
∫ (^) t
0
r du = rt.
La funció inversa és t = t(s) = s r , i per tant
β(s) = α(t(s)) = α(
s r
) = (r cos(
s r
), r sin(
s r
Per tal de comprovar que aquest procés no sempre és tan senzill, vegem un altre exemple
Exemple 1.29 Considerem la cicloide definida en l’interval ]0, 2 π[. Recordant el que ja hem fet en l’exem- ple 1.22 tenim que
s = s(t) =
∫ (^) t
0
2 a sin(
u 2
) du = − 4 a cos(
u 2
]u=t
u=
= 4a(1 − cos(
t 2
La funció inversa és t = t(s) = 2 arccos(1 − 4 sa ), i per tant
β(s) = α(t(s)) = α(2 arccos(1 − 4 sa ))
= a(2 arccos(1 − 4 sa ) − sin(2 arccos(1 − 4 sa )), 1 − cos(2 arccos(1 − 4 sa ))).
Definició 1.30 Una corba regular es diu corba natural si està parametritzada per la longitud d’arc.
D’entre totes les corbes regulars que tenen la mateixa traça i la mateixa orientació, la natural és l’única que té velocitat constant igual a la unitat.
Concepte de corba
b) I les hipèrboles
x^2 a^2
y^2 b^2
c) I les paràboles y = ax^2 + bx + c?
- Hem demostrat que tota corba regular es pot reparametritzar per la seua longitud d’arc (Propie- tat 1.26). Hem comentat, però, que el procés teòric de reparametrització no sempre és possible explícitament. Intenta reparametritzar les el·lipses, hipèrboles i paràboles del problema anterior pel paràmetre longitud d’arc i digues quin punt del procés de reparametrització no es pot completar explícitament.
- Calcula la longitud de la corba α : [0, π] → R^3 definida per
α(t) = (et^ cos(t), et^ sin(t), et).
- Siga α : R → R^2 , α(θ) = (cos(θ), sin(θ)), la parametrització de la circumferència centrada en l’origen i de radi 1. Siga β : R → R^2 la corba definida per
β(t) = (
1 − t^2 1 + t^2
2 t 1 + t^2
a) Demostra que la traça de β és un subconjunt de la traça d’α. b) Determina exactament de quin subconjunt es tracta. c) Els dos primers apartats indiquen que α (restringida a l’interval adient, I) i β són dues parametritza- cions d’un subconjunt de la circumferència. Podries determinar quina és la funció canvi de paràme- tre? És a dir, quina és la funció f : R → I tal que β(t) = (α ◦ f )(t). (Ajuda: recorda les tècniques de canvi de variable en integració.) d) Demostra que f és un canvi admissible de paràmetre (definició 1.16).
- Reparametritza per la seua longitud d’arc la corba β de l’exercici anterior.
- Demostra que f : ]0, +∞[→]0, 1[, definida per f (t) = t
2 t^2 +1 és un canvi admissible de paràmetre.
- Demostra que si f : I → J és un canvi admissible de paràmetre, aleshores la seua inversa f −^1 : J → I també ho és.
- Siga α(t) una corba parametritzada que no passa per l’origen, O. Si P = α(t 0 ) és el punt de la traça
d’α més prop a l’origen i α′(t 0 ) 6 = 0, demostra que el vector posició
OP és ortogonal a α′(t 0 ).
- Siga α : ]0, π[→ R^2 la corba definida per
α(t) = (sin(t), cos(t) + ln(tan
t 2
J. Monterde. Versió 2015/
La traça de la corba s’anomena tractriu o corba de persecució. a) Demostra que el paràmetre t és l’angle que forma l’eix y amb el vector velocitat de la corba. b) Demostra que α és una corba parametritzada diferenciable, regular tret del punt t = π 2. c) Calcula la longitud del segment de la recta tangent en cada punt comprés entre el punt de tangència i l’eix y. d) Calcula el paràmetre longitud d’arc de la corba α. (Sol.: s(t) =
∫ (^) t π 2 ||α′(u)||^ du^ = ln(sin^ t).)
e) Reparametritza la corba per la seua longitud d’arc. (Sol.: β(s) =
2 es 1+e^2 s^ ,^
1 −e^2 s 1+e^2 s^ +^ s
- Considerem els cilindres x^2 + (z − 1)^2 = 1 i y^2 + z^2 = 1. La corba de Gergonne és la corba intersecció entre els dos cilindres.
Demostra que α(t) = (
2 cos t − cos^2 t, sin t, cos t), t ∈ ] − π 2 , π 2 [ és una parametrització diferen- ciable, però parcial, de la corba de Gergonne tal que la seua traça conté el punt (1, 0 , 1). Troba una altra parametrització diferenciable tal que la seua traça continga el punt (0, 1 , 0).
- De vegades hem parlat de corbes com a trajectòries descrites per punts mòbils. El següent exercici demostra que la velocitat del punt mòbil és arbitrària (dins d’unes certes condicions naturals). Siga α : I → R^2 una corba parametritzada per la seua longitud d’arc i siga p : R → R una funció contínua estrictament positiva i tal que limt→±∞ p 6 = 0. Demostra que existeix un interval I′^ i una corba paramètrica β : I′^ → R^2 amb la mateixa traça que α i tal que ||β′(t)|| = p(t) per a tot t ∈ I′. (Ajuda: Considera una reparametrització arbitrària de la corba α, β(t) = α(g(t)), i troba el canvi de variable g(t) fent servir la condició ||β′(t)|| = p(t).)
J. Monterde. Versió 2015/
La seua traça recorda la forma d’un cor i per això el seu nom. Parametritza la cardioide per la seua longitud d’arc. (Ajuda: Considera la parametrització de la cardioide restringida a [−π, π] i recorda que
1 + cos u =
2 cos u 2 si u ∈ [−π, π]. La reparametrització final és
β(s) = (2 −
3 s^2 8
s^4 64
, s(1 −
s^2 16
(^32) ), s ∈ ] − 4 , 4[ .)
- La següent figura representa les trajectòries de quatre gossos, inicialment col·locats en els vèrtexs del quadrat major i que encalcen cadascun el company que té a l’esquerra.
2
4
6
G 1 G 2
G G 3 4
G 1
G 2
R
L’espiral logarítmica com a corba de persecució.
Demostrarem que la corba que descriuen és l’anomenada espiral logarítmica. Ho farem, però, en uns quants passos.
(a) Respecte de la pròpia corba, quina és la recta, R, que uneix un gos amb el següent?
(b) Suposant que α(t) = ρ(t)(cos t, sin t), calcula l’equació paramètrica de la recta, R, de l’apartat anterior.
(c) Si el punt G 1 té coordenades (x 1 , y 1 ), aprofita una simetria de la figura per a saber quines són les coordenades dels altres punts G 2 , G 3 i G 4.
(d) Finalment, fes servir la condició G 2 ∈ R per a trobar la funció ρ(t).
