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LA LÍNEA RECTA Una línea recta de acuerdo con los Axiomas Euclides tiene 2 propiedades: Por dos puntos distintos pasa una y sólo una recta. Dos rectas distintas se cortan en un sólo punto o bien son paralelas. Es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. La representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación es de primer grado en dos variables es una línea recta. Determinada si se conocen dos condiciones: Conociendo dos de sus puntos: P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ) Conociendo un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular). La pendiente de una línea recta es la tangente del ángulo que la recta forma con el sentido positivo del eje X. La magnitud de la pendiente m puede ser positiva o bien negativa. Si el ángulo θ es agudo, entonces la pendiente será positiva, pero si el ángulo θ es obtuso, entonces la pendiente será negativa 2.1 ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE La recta AB de pendiente m que pasa por el punto fijo P 1 (x 1 , y 1 ) y P(x, y) es otro Punto de coordenadas desconocidas que se localiza sobre la misma recta, entonces la Expresión m = y − y 1 x − x 1 Es la pendiente de la recta que pasa por el punto P 1 (x 1 , y 1 ). Quitando el denominador, se obtiene: y-y 1 =m (x – x 1 ) la ecuación de la recta solicitada debe satisfacer todos los puntos P(x, y) que están sobre la recta
2.2 ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Una recta queda perfectamente definida por dos puntos cualesquiera y analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada conociendo las coordenadas de
dos puntos. Sea la recta AB que pasa por los puntos P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ) , siendo R(x,
y) otro punto de la recta tiene por ecuación: y −^ y 1 =^
y 2 − y 1 x 2 − x 1
( x − x 1 )
2.3 ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA
Sea a ≠ 0 y b ≠ 0 los segmentos de una recta determinada sobre los ejes X y Y ; es decir, sus
intersecciones con los ejes coordenados, entonces A(a, 0) y B(0, b) son dos puntos de la recta.
Por tanto, el problema de obtener la ecuación de una recta, cuando se conocen los segmentos que interceptan los ejes coordenados se reduce a calcular la ecuación de una recta que pasa por dos puntos, esto es: y −^ y 1 =^ y 2 − y 1 x 2 − x 1
( x − x 1 )
y − 0 = b − 0 0 − a ( x − a ) Aplicando la formula se obtiene: y = − b a ( x − a ) Ordenando términos: ay − bx + ab bx + ay = ab bx ab
ay ab
ab ab Dividiendo por AB se obtiene la ecuación solicitada x a
y b
De la figura se tiene: sen w = y p ; implica y = p sen w cos w = x p
; implica x = p cos w
La posición exacta de este segmento se determina por el ángulo w, que es ángulo positivo engendrado por el radio vector OP al girar alrededor del origen. La longitud ρ se considera siempre positiva y la variación de los valores del ángulo w está comprendido entre
0 ≤ w ≤ 2 π ( 180 ° ≤ w ≤ 360 ° ) su pendiente será tan w = tan(π +θ ) = tan ϑ. Por tanto,
cualquier posición de la recta OP tiene como pendiente tan w. Dado que la recta l es perpendicular a OP entonces su pendiente es
− I
tan w =cot w
Sustituyendo las nuevas coordenadas en la fórmula y − y 1 = (m x − x 1 ), se tiene:
y − p sen w cos w Sen w ( x − p cos w ) Realizando las operaciones (^) y sen w − p S ⅇ n^2 w =− x cos w + p cos^2 w
x cos w − y S ⅇ n w − p (^ S ⅇ n
2 w + p cos 2
w )^ = 0
x cos w + y S ⅇ n w − p − 0 2.6 REDUCCIÓN DE LA FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA A LA FORMA NORMAL
La forma general de la ecuación de una recta es: Ax + By + C = 0 y la forma normal de la
ecuación de una recta es: x cos w + y en w− p = 0. Si ambas ecuaciones representan la misma recta, entonces sus coeficientes deben ser proporcionales: x cos w A
sen w B
− p C Representando el valor común de estas razones por K: cos w = KA sen w = KB p = KC ❑ s ⅇ n (^2) w − k (^2) A co s^2 w = k^2 A^2 co s 2
- S ⅇ n 2 w = K 2 ( A 2
- B 2 ) K
A
2
K
2
A
2
K =
± √ A 2
; A
2
- B 2 ≠ 0 Sustituyendo K cos w =
A
⊥ (^) √ A 2
B
⊥ (^) √ A 2
- B 2 y^ p =^ c ⊥ (^) √ A 2
- B 2 A ± √ A 2
- B 2 x +
B
± √ A 2
- B 2 y + c ± √ A 2
- B 2 Donde el signo del radical debe sujetarse a las siguientes condiciones:
- Si C ≠ 0 , el signo del radical es opuesto a C.
- Si C = 0 y B ≠ 0 , el radical y B tienen el mismo signo.
- Si C = B = 0 , el radical y A tienen el mismo signo. 2.7 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Dado un punto de coordenadas conocidas, se puede determinar la distancia a una recta de
ecuación dada, utilizando la forma normal de la ecuación de la recta. Sean P(x 1 , y 1 ) un punto
fijo y la recta L cuya ecuación es: Ax + By + C = 0.
Sea PQ la distancia a la recta L , entonces se tiene: PQ = PRcos^ a =^
PR
Sec a y PQ
PR
± (^) √ I + tan 2 a Utilizando la identidad: m =
− A
B
=tan α Se tiene:
PQ = PQ
PR
I +
A
2 B 2
. Luego PQ^
PR. B
± √ A 2
- B 2 De la ecuación de la recta se tiene: y =
− A
B
x 1 −
C
B
, (^) con B≠ 0 Las coordenadas del punto R son: R(x , y) 1 y como pertenece a la recta L , se tiene: RC = y =
− A
B
x 1 −
C
B
, Luego PR = PC^ − RC =^ y =
+ A
B
x 1 +
C
B
Sustituyendo el valor de PR se obtiene PQ^ Ax 1 + By 1 + C ± √ A 2
- B 2 El signo del radical se elige de acuerdo con lo explicado en el epígrafe 2.6.
Si la recta no pasa por el origen, la distancia es positiva si el punto P y el origen están en lados
opuestos; y será negativa si setán del mismo lado de la recta.
Si la recta pasa por el origen, la distancia es positiva si el punto P está arriba de la recta; y será
negativa abajo de la recta.
Cuando el centro coincide con el origen, entonces la ecuación se reduce a: x
2
+ y
2
= r
2
Si r = 0 , entonces la ecuación se reduce a: x
2
+ y
2
=0 y representa un punto.
1.3 ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia y ordenando términos, se obtiene:
(x − h)^2 + ( y − k)^2 = r^2
X
2
− 2xh + h
2
+ y
2
− 2yk + k
2
= r
2
X^2 + y^2 − 2hx − 2ky + h^2 + k^2 – r^2 =
Resultado
X^2 + y^2 + Dx + Ey + F =
Donde D = −2h , E = −2k y F = h
2
+ k
2
- r 2 A la ecuación se le llama ecuación general de la circunferencia Verificar pasando de la ecuación general a la forma ordinaria de la ecuación.
X
2
+ y
2
+ Dx + Ey + F =
X
2
+ Dx + y
2
+ Ey - = - F
Completando cuadrados en la ecuación general, se obtiene: x 2
D
2 4
E
2 4
D
2 4
E
2 4
− F
( x^ +^
D
2 ) 2 +( y +
E
2 ) 2 =
D
2
- E 2 − 4 F 4 La ecuación está en la forma ordinaria, donde las coordenadas del centro y el radio son: C (
− D
E
2 ) 2 y r = √ D 2
√ D 2
- E 2 − 4 F Comparando las ecuaciones se aprecia que el valor de la expresión (^) D^2 + E^2 – 4 F >¿0 es determinante para la ecuación de la circunferencia, la cual tiene tres posibilidades.
Si D2 + E2 − 4F >0, la ecuación (3.4) representa una circunferencia real de centro
C (^) (
− D
E
2 ) Y radio
√ D 2
Si D2 + E2 − 4F >0, la ecuación representa un solo punto, es decir, una circunferencia de radio
cero (r = 0) con centro en el punto C^ (
− D
E
2 )
Si D2 + E2 − 4F < 0, la ecuación reprenda una circunferencia imaginaria, es decir no existe
lugar geométrico en el campo de los números reales.
1.4 ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS La circunferencia por uno y dos puntos pueden pasar una infinidad de circunferencias, pero por tres puntos no alineados sólo puede pasar una sola circunferencia. Estos tres puntos determinan un triángulo, cuyas mediatrices se intersectan en un punto denominado circuncentro. Por tanto, con las ecuaciones de dos mediatrices es suficiente para obtener el punto de intersección. 1.5 TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA La obtención de la ecuación de la recta tangente a la circunferencia se simplifica considerablemente aplicando la propiedad que dice: “la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de contacto”.
Consiste en combinar la ecuación de la recta y = mx + b con la ecuación de la cónica y obligar a
que la expresión b
2
− 4ac =. Las coordenadas del punto de contacto T deben satisfacer la
ecuación y = mx + b lo cual proporciona otra ecuación que combinada con la ecuación b
2
− 4ac
=0, permite calcular la pendiente, la ordenada al origen de la ecuación de la recta tangente y en
consecuencia su ecuación. Ecuación de la tangente a la circunferencia, dada la ecuación y el punto de contacto Ecuación de la tangente a la circunferencia, dada la ecuación y la pendiente de la recta tangente Ecuación de la tangente a una circunferencia, dada la ecuación y un punto exterior 4.0 LA PARÁBOLA La curva que describe la pelota en su movimiento es una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, se puede considerar la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal " x" y altura " y". Una vez situada la parábola en un sistema de coordenadas cartesianas, se distinguen dos hechos Primero: se tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima; este punto es el vértice de la parábola. Segundo: cuando las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abcisa del vértice. La ecuación de la parábola se deduce a partir de su definición como el lugar geométrico de un punto que se mueve de acuerdo con una ley específica.
Si p > 0 , se deben excluir todos los valores negativos de x , y todo el lugar geométrico se localiza a la derecha del eje Y ; es decir, la gráfica es una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y , hacia arriba y hacia abajo del eje X. Si p < 0 , todos los valores positivos de x se deben excluir y todo el lugar geométrico está ubicado a la izquierda del eje Y. Dado que la abscisa del foco es p , entonces la longitud del lado recto es igual al valor absoluto de 4 p. Si el eje coincide con el eje Y , entonces la ecuación es: x^2 = 4py 4.2 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN Y EJE PARALELO A UNO DE LOS EJES COORDENADOS Considerando la parábola de vértice en el punto V(h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X. Si los ejes coordenados son trasladados, de tal manera que el nuevo origen O coincida con el vértice V(h, k) , entonces la ecuación de la parábola, el foco y la ecuación de la directriz son: ( y − k)^2 = 4p ( x − h), F(h + p, k) y x = h − p. Si p > 0 las ramas de parábola abren hacia la derecha y si p < 0 las ramas de la parábola abren hacia la izquierda. En forma similar, si el vértice es el punto V(h, k) y cuyo eje es paralelo al eje Y , entonces la ecuación de la parábola, foco y ecuación de la directriz son: ( x − h)^2 = 4p (y − k , F) (h, k + p), y = k − p. Si p > 0 , las ramas de la parábola abren hacia arriba y si p < 0 , las ramas de la parábola abren hacia abajo. 6.0 ECUACIÓN DE LA TANGENTE A LA PARÁBOLA Una recta L es tangente a la parábola en un punto T si intersecta únicamente en un sólo punto (T ) y todos los demás puntos de la recta tangente están en una misma región determinada por la parábola Cuando se conoce el punto de tangencia o el valor de la pendiente, las fórmulas de las ecuaciones de la recta tangente se especifican en la siguiente tabla. Parábola con vértice en el origen y fuera del origen y 2 = 4 px x 2 = 4 py ¿ ¿
Ecuación de la recta tangente, dado el punto de tangencia T(x 1 , y 1 ). y y 1 = 2 p ( x + x 1 ) xx 1 = 2 p ( y + y 1 )
( y − k ) ( y 1 − k ) − 2 p ( x − x 1 − 2 h )
( x − h ) ( x 1 − h )− 2 p ( y − y 1 − 2 k )
Ecuación de la recta tangente, dado el valor de la pendiente m. y = mx + p m y = mx − pm 2 y − k = m ( x − h ) + p m y − k = m ( x − h ) − pm 2 Respecto a la ecuación de la recta tangente a la parábola desde un punto exterior a la curva, se aplicará el criterio establecido para la circunferencia
