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CAPÍTULO
La derivada
1
5.1 La recta tangente
Los griegos sabían que una recta en el mismo plano que una cónica (en el caso de la parábola o de la hipérbola, una recta no paralela a alguno de sus ejes) o la cortaba en dos puntos o la tocaba en un punto, o no la cortaba. A la recta que tocaba la cónica en un punto la llamaban tangente a la cónica en dicho punto.
Por ejemplo, en el caso de la circunferencia sabían también que el radio que pasa por el punto de contacto es perpendicular a tal tangente, por lo que no tenían problema para trazar la tangente a una circunferencia en cualquiera de sus puntos.
C
P
Secante
Tangente
Secante
Tangente^ ^
Circunferencia Elipse
(^1) canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008
2 Cálculo Diferencial e Integral I
Secante
Tangente
Tangente
Secante
Parábola Hipérbola
Pero lo descrito no se podía extender a otras curvas. Pensemos ahora que tenemos la gráfica de una función f cualquiera y un punto P Œx 0 ; f .x 0 /• fijo en ella y que queremos precisar a cuál recta, de todas las que pasan por el punto P , deberíamos llamarle la tangente a la curva (a la gráfica de la función f ) en el punto. Esto es, del haz infinito de rectas que pasan por el punto P de la gráfica de f :
x
y
x 0
f .x 0 / y D f .x/
P
¿A cuál de ellas denominaremos recta tangente a la curva y D f .x/ en el punto P? ¿Cuál será la pendiente m de la recta tangente a la curva y D f .x/ en el punto P? Para contestar a esta pregunta es necesario calcular la pendiente de la recta tangente con el fin de conocerla.
Sea f una función definida en un cierto intervalo abierto que contiene a x 0 y sea P Œx 0 ; f .x 0 /• un punto fijo en la gráfica de f. Si tomamos cualquier otro punto QŒx; f .x/• sobre la gráfica de la función, la recta secante s que pasa por P y Q corta a la gráfica de la función al menos en estos dos puntos, P y Q, por lo que no parece
4 Cálculo Diferencial e Integral I
x
y
f .x/ f .x 0 /
x x 0
x 0 x
f .x 0 //
f .x/
˛
P
Q
˛
y D f .x/
Ejemplo 5.1.1 El punto P .1; 3/ está en la gráfica de la función f .x/ D 4 x^2. Considerando valores de x alrededor (cerca) de x 0 D 1 , ubicar los puntos QŒx; f .x/• resultantes y calcular las pendientes ms de las rectas secantes s que pasan por P y por Q.
H Ésta es la gráfica de f :
x
y
y D f .x/ D 4 x^2
1
f .1/ D 3 P .1; 3/
Se genera la tabla siguiente:
5.1 La recta tangente 5
x f .x/ QŒx; f .x/• x 1 f .x/ 3 ms D
f .x/ 3/ x 1
0:5 3:75 .0:5;3:75/ 0:5 0:75 1:
Se observa que las pendientes ms tienden al número m D 2 cuando x! x 0 D 1. Intuitivamente se puede decir que mt D 2 es la pendiente de la recta tangente a la curva y D 4 x^2 en el punto P .1; 3/.
mt D lím Q!P
ms D lím x!x 0 ms D lím x!x 0
f .x/ f .x 0 / x x 0
D lím x! 1
f .x/ 3 x 1
D
D lím x! 1
.4 x^2 / 3 x 1
D lím x! 1
1 x^2 x 1
D lím x! 1
x^2 1 x 1
D lím x! 1
.x C 1/.x 1/ x 1
D
D lím x! 1 .x C 1/ D 2 :
Concretemos el concepto de recta tangente:
Se denomina recta tangente a la curva y D f .x/ en el punto P Œx 0 ; f .x 0 /• a aquella recta que pasa por P y que tiene pendiente mt D lím x!x 0
f .x/ f .x 0 / x x 0
5.1 La recta tangente 7
Ejemplo 5.1.3 Suponga que y D f .x/ es una recta, es decir, que f es una función lineal. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y D f .x/ en un punto arbitrario P Œx 0 ; f .x 0 /•.
H Puesto que f es lineal, entonces f .x/ D mx C n donde m es la pendiente de la recta y n su ordenada en el origen. La pendiente de la recta tangente es
mt D lím x!x 0
f .x/ f .x 0 / x x 0
D
D lím x!x 0
.mx C n/ .mx 0 C n/ x x 0
D
D lím x!x 0 m
x x 0 x x 0
D lím x!x 0 m D m:
Entonces la ecuación de la tangente en el punto P Œx 0 ; f .x 0 /• D P .x 0 ; mx 0 C n/ es
y f .x 0 / D mt .x x 0 / ) ) y .mx 0 C n/ D m.x x 0 / ) ) y D mx mx 0 C mx 0 C n y D mx C n:
Por lo que la tangente a una recta en cualquiera de sus puntos es la propia recta.
Si una curva y D f .x/ tiene tangente en uno de sus puntos P Œx 0 ; f .x 0 /•, llamaremos recta normal en ese punto a la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta tangente. Recordemos que si la pendiente de una recta es m ¤ 0 , entonces una recta perpendicular a ella tiene por pendiente a la negativamente recíproca:
m
Si m D 0 , la recta es horizontal y una perpendicular a ella es vertical por lo que su ecuación es de la forma x D x 0 (constante), donde x 0 es la abscisa del punto por donde pasa la normal.
Si existe mt D lím x!x 0
f .x/ f .x 0 / x x 0
, entonces la ecuación de la recta normal a una curva y D f .x/ en el punto P Œx 0 ; f .x 0 /• será:
y f .x 0 / D
mt
.x x 0 / si mt ¤ 0 I
x D x 0 si mt D 0 :
Ejemplo 5.1.4 Obtener la ecuación de la recta normal a la curva y D 3x^2 4x 5 en el punto de abscisa x 0 D 2.
8 Cálculo Diferencial e Integral I
H Se puede verificar que el punto considerado es P .2; 1/ y que la pendiente de la recta tangente t a la curva y D f .x/ en P es 8. Luego por ser mt D 8 ¤ 0 , la pendiente de la recta normal n a la curva y D f .x/ en P es
mn D
mt
D
D
Por lo tanto la ecuación de la recta normal a la curva en el punto P .2; 1/ es
y f .x 0 / D
mt
.x x 0 / ) y . 1/ D
.x 2/ )
) y C 1 D
x 8
C
) y D
x 8
C
1 ) y D
x
x
y
y D f .x/ D 3x^2 4x 5
2
P
Recta normal
Recta tangente
f .2/ D 1
Ejemplo 5.1.5 Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y D x^2 2x 3 en el punto de abscisa x 0 D 1.
H La ordenada del punto considerado es
y 0 D y.x 0 / D x^20 2x 0 3 D 12 2.1/ 3 D 1 5 D 4 :
El punto considerado es P .x 0 ; y 0 / D P .1; 4/, que es precisamente el vértice de la parábola y D x^2 2x 3 (pues x^2 2x 3 D x^2 2x C 1 4 D .x 1/^2 4 ). La pendiente mt de la recta tangente t a la curva y D f .x/ en el punto P .1; 4/ es
mt D lím x! 1
f .x/ f .1/ x 1
D lím x! 1
.x^2 2x 3/ . 4/ x 1
D
D lím x! 1
x^2 2x C 1 x 1
D lím x! 1
.x 1/^2 x 1
D lím x! 1 .x 1/ D 1 1 D 0 :
10 Cálculo Diferencial e Integral I
- La función h tiene la siguiente tabla de valores:
x h.x/
1:9 20:
1:99 26:
1:999 26:
2 27
2:001 27:
2:01 27:
2:1 33:
Calcule la pendiente de dos rectas secantes a la gráfica de h que pasen por el punto QŒ 2; h. 2/•.
- La gráfica de la función f .t/ D t^2 C 2t C 3 pasa por los puntos Œ1:999; f .1:999/• y Œ2:001; f .2:001/•. Obtenga el valor de la pendiente de las dos rectas secantes a la gráfica de f que pasan por el punto .2; 3/ y por los puntos dados.
- La recta tangente a la curva y D x^3 C 2 en el punto P . 1; 1/ tiene pendiente 3. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto P.
- La recta normal a la curva y D
x
en el punto Q.1; 2/ tiene pendiente
. Determinar las ecua- ciones de las rectas normal y tangente a la curva en el punto Q.
- La recta tangente a la curva y D x^2 2x en el punto R.1; 1/ tiene pendiente cero. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto R.
- La recta normal a la curva y D x^2 4x C 4 en el punto P de abscisa 2 es vertical. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto P.
- Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y D 3 x^2 en el punto P . 1; 2/.
- Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva y D 3x^2 6x en el punto Q de abscisa 1.
5.1 La recta tangente 11
Ejercicios 5.1.1 La recta tangente, página ??
- La secante que pasa por los puntos .2:999; 816:801/ y .3; 822:08/ tiene pendiente 5 279; la secante que pasa por los puntos .3:001; 827:366/ y .3; 822:08/ tiene pendiente 5 286 :
- La secante que pasa por los puntos Œ 2; h. 2/• y Œx 1 ; h.x 1 /•, x 1 D 1:999 tiene pendiente 64:38; la secante que pasa por los puntos Œ 2; h. 2/• y Œx 2 ; h.x 2 /•, x 2 D 2:001 tiene pendiente 64:.
- m 1 D 1:999; m 2 D 2:001 :
- Recta tangente: y D 3x C 4 ;
recta normal: y D
1 3
x C
2 3
.
- Recta normal: y D
1 2 x C
3 2 ; recta tangente: y D 2x C 4.
- Recta tangente: y D 1 ; recta normal: x D 1.
- Recta normal: x D 2 ; recta tangente: y D 0.
- Recta tangente: y D 2x C 4 ;
recta normal: y D 1 2
x C 3 2
.
- Recta tangente: y D 3 ; recta normal: x D 1.
