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Asignatura: Adam Smith, Profesor: , Carrera: Administración y Dirección de Empresas, Universidad: URJC
Tipo: Apuntes
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1
Definiciones
Con los árboles se modelan jerarquías.
Ejemplos: caminos entre ciudades, redes de ordenadores, tráfico urbano, optimización de viajes, planificación de tareas,…
Alcorcón Leganés
Fuenlabrada
Móstoles Getafe
3
Definiciones
Grafo: G = (V, A) V: conjunto finito, no vacío, de vértices ( nodos) A: conjunto de pares de elementos de V , denominados aristas. ( arcos )
Definiciones
Grafo dirigido o Digrafo : Cuando los arcos son ordenados (v1,v2) != (v2,v1), <v1,v2>.
Grafo valorado o ponderado : Grafo cuyos arcos tienen asociados un peso o coste. A
B M
C Y R G
3 5
11 3 8 1
7
Definiciones
Ciclo o bucle : posible camino de “v” a “v” (A, B, Y, R, A)
Camino simple : camino con vértices diferentes
A
B M
C Y R G
Definiciones
Grafo completo : si existe una arista entre cada par de vértices
v2 v
v
v1 (^) v
v2 v
v
9
Definiciones
Grafo conexo : Para grafo no dirigido si existe un camino desde un vértice a cualquier otro. Para grafo dirigido si existe una cadena de arcos que une cualquier par de vértices.
B A
R
Y
C
v2 v
v
v1 (^) v
Definiciones
Grafo fuertemente conexo : si, para un grafo dirigido, existe un camino desde un vértice a cualquier otro.
Un grafo dirigido puede ser conexo (si lo es sin considerarlo dirigido) o fuertemente conexo.
v2 v
v
v1 (^) v
13
Especificación formal
Tipo : Grafo (elemento) Sintaxis : CREARGRAFOVACIO → Grafo ESGRAFOVACIO (Grafo)→ Booleano INSERTANODO(vertice, Grafo) → Grafo INSERTARARISTA(vertice, vertice, Grafo) → Grafo BORRARNODO(vertice, Grafo) → Grafo BORRARARISTA(vertice, vertice, Grafo) → Grafo ESTA-VERTICE(vertice, Grafo) → Booleano ESTA-ARISTA(vertice, vertice, Grafo) → Booleano ADYACENTES(vertice, Grafo) → conjunto[vertice] Semántica : ∀ G ∈ Grafo, ∀ n ∈ Vertice: ESVACIO (CREARGRAFOVACIO) ⇒ cierto … EL-VERTICE (CREARGRAFOVACIO) ⇒ error EL-ARISTA (CREARGRAFOVACIO) ⇒ error
Realización en Pascal
UNIT grafosM; {Definición de Grafo no ponderado con matriz de adyacencia} INTERFACE USES ...; CONST MAX_NUM = ...; TYPE TipoInfo = ...;{Se puede importar de otra unidad} TipoIndice = 1..MAX_NUM; TipoNodos = ARRAY[TipoIndice] OF TipoInfo; TipoMatriz = ARRAY[TipoIndice, TipoIndice] OF BOOLEAN; TipoGrafo = RECORD matriz: TipoMatriz; nodos: TipoNodos; num_nodos: 0..MAX_NUM; END;
15
Realización en Pascal
PROCEDURE crearGrafoVacio(VAR g:TipoGrafo); {Construye un grafo inicial sin nodos ni arcos} FUNCTION EsGrafoVacio(g: TipoGrafo):BOOLEAN; {Nos dice si el grafo es vacío o no} FUNCTION EstaVertice(n:TipoIndice; g:TipoGrafo):BOOLEAN; {Nos dice si el nodo n pertenece al grafo} FUNCTION EstaArista(o,d:TipoIndice; g:TipoGrafo):BOOLEAN; {Nos dice si existe arista entre los nodos o y d} PROCEDURE InsertaNodo(n:TipoInfo; VAR g:TipoGrafo); {Inserta el nodo n} PROCEDURE InsertaArista(o,d:TipoIndice; VAR g: TipoGrafo); {Inserta el arco entre o y d} PROCEDURE BorrarNodo(n: TipoIndice; VAR TipoGrafo); {Elimina el nodo n y todas sus aristas} PROCEDURE BorraArista(o,d: TipoIndice;VAR g:TipoGrafo); {Elimina la arista existente entre los nodos o y d}
Realización en Pascal
PROCEDURE crearGrafoVacio(VAR g:TipoGrafo); (* Construye un grafo inicial sin nodos ni arcos *) VAR i,j: tipoIndice; BEGIN g.numnodos:= 0; FOR i:= 1 TO MAX_NUM DO BEGIN g.nodos[i]:= InfoVacia;{operación de TipoInfo} FOR j:= 1 TO MAX_NUM DO g.matriz[i,j] := FALSE; END; END;
FUNCTION EsGrafoVacio(g: TipoGrafo):BOOLEAN; {Nos dice si el grafo es vacío o no} BEGIN EsVacio := (g.numnodos = 0); END;
19
Realización en Pascal
PROCEDURE InsertaArista(o,d:TipoIndice; VAR g: TipoGrafo); (* Inserta el arco entre o y d *) BEGIN IF EstaVertice(o,g) AND EstaVertice(d,g) THEN BEGIN g.matriz[o,d]:= TRUE; g.matriz[d,o]:= TRUE END END;
Realización en Pascal
PROCEDURE BorrarNodo(n: TipoIndice; VAR TipoGrafo); (* Elimina el nodo n y todas sus aristas *) VAR i, j: 1..succ(MAX_NUM); BEGIN IF EstaVertice(n,g) THEN BEGIN FOR i:= succ(n) TO g.numnodos DO g.nodos[pred(i)]:= g.nodos[i]; FOR j:= 1 TO g.numnodos DO FOR i:= succ(n) TO g.numnodos DO BEGIN g.matriz[j, pred(i)]:= g.matriz[j,i]; g.matriz[pred(i),j]:= g.matriz[i,j]; END; g.numnodos:= pred(g.numnodos) END END;
21
Realización en Pascal
PROCEDURE BorraArista(o,d: TipoIndice;VAR g:TipoGrafo); (* Elimina la arista existente entre los nodos o y d *) VAR i,j:1..MAXNUM; BEGIN IF EstaArista(o,d) THEN BEGIN g.matriz[o,d] := FALSE; g.matriz[d,o] := FALSE END END;
25
Recorrido en Profundidad
PROCEDURE RecorreProfundidad (g: grafo); VAR i: TipoIndice; marca: Tipovisitado; BEGIN FOR i:= 1 TO g.numnodos DO marca[i]:= FALSE; FOR i:= 1 TO g.numnodos DO IF NOT marca[i] THEN rp(g, i, marca) END; PROCEDURE rp(g: grafo; n: TipoIndice; VAR marca: TipoVisitado); {El nodo n no ha sido visitado anteriormente} VAR i: TipoIndice; BEGIN marca[n]:= TRUE; FOR i:= 1 TO g.numnodos DO IF EstaArista(n,i) AND NOT marca[i] THEN rp(g, marca, i) END;
Recorrido en Profundidad
27
Recorrido en Profundidad
Adyacentes a 1: 2, 4, 8
Recorrido: 1, 2
Recorrido en Profundidad
Adyacentes a 2: 1, 3, 4
Recorrido: 1, 2, 3
31
Recorrido en Profundidad
Adyacentes a 7: 4, 6, 9
Recorrido: 1, 2, 3, 4, 7, 6
Recorrido en Profundidad
Adyacentes a 6: 5, 7
Recorrido: 1, 2, 3, 4, 7, 6, 5
33
Recorrido en Profundidad
Adyacentes a 5: 3, 6
Recorrido: 1, 2, 3, 4, 7, 6, 5
Recorrido en Profundidad
Adyacentes a 6: 5, 7
Recorrido: 1, 2, 3, 4, 7, 6, 5
37
Recorrido en Anchura
PROCEDURE RecorridoAnchura(g: TipoGrafo); VAR n: TipoIndice; marca: TipoVisitado; BEGIN FOR n:= 1 TO g.numnodos DO marca[n] := FALSE; FOR n:= 1 TO g.numnodos DO IF NOT marca[n] THEN ra(n) END;
39
Recorrido en Anchura
PROCEDURE ra(g:TipoGrafo; n:TipoIndice; VAR marca:TipoVisitado); VAR q: TipoCola; w,i: TipoIndice; BEGIN colaVacia(q); marca[n]:= TRUE; encolar(q,n); WHILE NOT esVacia(q) DO BEGIN frente (q, w); quitar(q); FOR i:= 1 TO g.numnodos DO IF EstaArista(w,i) AND NOT marca[i] THEN BEGIN marca[i]:= TRUE; encolar(q,i) END END END;
Recorrido en Anchura
Adyacentes a 1: 2, 4, 8
Recorrido: 1, 2, 4, 8
