Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Matemática Discreta y Álgebra, Profesor: alejandro garcia del amo, Carrera: Ingeniería del Software, Universidad: URJC
Tipo: Apuntes
1 / 7
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Matemática Discreta
Clase magistral 8. Teor´ıa de grafos I
Grado en Ingenier´ıa en Inform ´atica Doble Grado en Ingenier´ıa en Inform ´atica y Administraci ´on de Empresas
Universidad Carlos III de Madrid
DM – p. 1/
Relaciones entre temas
Relaciones
Conjuntos
Combinatoria
Inducción
Teoría de Grafos
Tema 5: Teoría de grafos
DM – p. 3/ Grafos no orientados: definición v
Definici ´on 1 Un grafo simple G = (V, E) est ´a compuesto por un conjunto no vac´ıo de v ´ertices V y un conjunto de aristas E, que es un conjunto de pares de elementos distintos de V.
Si la arista e une los vértices u, v ∈ V , diremos que u y v son adyacentes o vecinos y que la arista e es incidente con u y v.
Definici ´on 2 Un multigrafo G = (V, E) est ´a compuesto por un conjunto no vac´ıo de v ´ertices V , un conjunto de aristas E en el que se permite que haya aristas m ´ultiples (que son aquellas que conectan el mismo par de v ´ertices).
Definici ´on 3 Un lazo o bucle (“loop”) es una arista que une un v ´ertice consigo mismo. Un pseudografo G = (V, E) es un grafo en el que se permiten aristas m ´ultiples y bucles.
El teorema del apretón de manos
Teorema 9 La suma de los grados de los v ´ertices de un grafo G = (V, E) es dos veces el n ´umero de aristas. Es decir: (^) ∑
i∈V
d(i) = 2|E|.
Corolario 10 En todo grafo G la suma de los grados de sus v ´ertices es par.
Teorema 11 El n ´umero de v ´ertices de grado impar en un grafo G es par.
Corolario 12 En todo grafo G con n ´umero impar de v ´ertices hay un n ´umero impar de v ´ertices de grado par.
DM – p. 7/ Más definiciones
Definici ´on 13 Un grafo G = (V, E) es bipartito si V se puede dividir en dos conjuntos no vac´ıos y disjuntos V 1 y V 2 , de manera que cada arista e ∈ E conecta un v ´ertice de V 1 con otro de V 2 y viceversa.
Familias sencillas de grafos:
Grafos complementarios y subgrafos
Definici ´on 14 El grafo complementario G = (V, E) de un grafo simple G = (V, E) es aquel formado
por el mismo conjunto de v ´ertices y tal que dos v ´ertices son adyacentes en G si y s ´olo si no son adyacendes en G.
Definici ´on 15 Un grafo H = (W, F ) es un subgrafo de G = (V, E) si W ⊆ V y F ⊆ E.
Definici ´on 16 Dado un grafo G = (V, E), un subgrafo generador de G es todo aquel subgrafo H =
(V, F ) con F ⊆ E.
DM – p. 9/ Representación numérica de un grafo
Definici ´on 17 Sea G = (V, E) un grafo. Consideremos una ordenaci ´on v 1 , v 2 ,... , v|V | de los v ´ertices
de G. La matriz de adyacencia de G asociada a dicha ordenaci ´on es la matriz |V | × |V | cuyas entradas Aij cuentan el n ´umero de aristas que unen vi con vj.
Definici ´on 18 Sea G = (V, E) un grafo. Consideremos una ordenaci ´on v 1 , v 2 ,... , v|V | de los v ´ertices de G y una ordenaci ´on e 1 , e 2 ,... , e|E| de las aristas de G. La matriz de incidencia de G
asociada a dichas ordenaciones es la matriz |V | × |E| con entradas
Iij =
0 si ej no es incidente con vi 1 si ej es incidente con vi
Número de caminos entre dos vértices
Teorema 22 Sea un grafo G con matriz de adyacencia A con respecto al orden {v 1 , v 2 ,... , v|V |}. El n ´umero de caminos orientados diferentes de longitud n ≥ 1 que empiezan en vi y acaban en vj est ´a dado por la entrada (i, j) de la matriz An.
Corolario 23 Sea G un grafo simple con matriz de adyacencia A, entonces
DM – p. 13/ Grafos conexos
Definici ´on 24 Un grafo es conexo si cada par de v ´ertices v, w ∈ V pueden ser conectados por un camino elemental. Un grafo no conexo est ´a formado por la uni ´on de varios subgrafos conexos y desconectados entre s´ı que se denominan componentes conexas del grafo.
Nota: Si dos vértices de un grafo se pueden conectar por un camino, entonces existe un camino elemental que los une.
Definici ´on 25 Un punto de articulaci ´on o de corte de un grafo G es un v ´ertice tal que si lo eliminamos (junto con todas las aristas que le son incidentes) obtenemos un subgrafo con m ´as compo- nentes conexas que G. Un puente de un grafo G es una arista tal que si la eliminamos (pero no los v ´ertices con los que es incidente) obtemos un grafo con m ´as componentes conexas que G.
