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CAPITULO 1
ANALISIS DE CIRCUITOS CON RESISTORES Y
FUENTES DE TENSION O CORRIENTE CONTINUA
1.1 Introducción. En este capítulo presentamos el sistema de unidades que usaremos en el texto. También estudiaremos algunos conceptos básicos: carga eléctrica, corriente, diferencia de tensión, energía y potencia, leyes de Kirchhoff y al final estudiaremos algunos circuitos sencillos. Para esta primera parte solo consideramos los dispositivos eléctricos: resistores y fuentes independientes o dependientes bien sean de tensión o corriente. Cada uno de estos dispositivos lo llamamos elemento, y la interconexion de varios elementos recibe el nombre de circuito eléctrico o red eléctrica.
1.2 UNIDADES
El sistema de unidades que utilizamos en este texto, es el Sistema Internacional ( SI) , el cual
fue adoptado por La Conferencia Internacional de Pesas y Medidas, en París, en 1960. El
Sistema Internacional está basado en las unidades primarias mostradas en la tabla 1.1.
Tabla 1.1 Unidades Primarias del SI
Cantidad Unidad Símbolo
Longitud Masa Tiempo Corriente Eléctrica Temperatura Cantidad de una substancia Intensidad luminosa
metro kilogramo segundo ampere kelvin mol candela
m kg s A K mol cd
Las unidades suplementarias del SI se muestran en la tabla 1.2.
Tabla 1.2 Unidades suplementarias del SI
Cantidad Unidad Símbolo
Angulo plano Angulo sólido
radián estercoradián
rad sr
Las unidades derivadas que usaremos se muestran en la tabla 1.3.
Tabla 1.3. Unidades derivadas del SI usadas en el análisis de circuitos eléctricos
Cantidad Unidad Símbolo
Energía Potencia Carga Eléctrica Tensión eléctrica Resistencia eléctrica Conductancia eléctrica Capacitancia eléctrica Inductancia Frecuencia Velocidad angular Flujo magnético Densidad de flujo magnético
joule watt coulomb volt ohm siemens farad henry hertz radian por segundo weber tesla
J W C V S F H
Hz rad/s Wb T
Las unidades pueden ser multiplicadas o divididas por potencias de 10, obteniéndose múltiplos
o submúltiplos de las unidades respectivas. En la tabla 1.4 se presentan las potencias de 10
utilizadas.
Tabla 1.4 Múltiplos y submúltiplos oficiales
Múltiplo o submult.
Prefijo Símbolo Múltiplo o submult
Prefijo Símbolo
exa peta tera giga mega kilo hecto deca
E P T G M k h
da
10 -^1
10 -^2
10 -^3
10 -^6
10 -^9
10 -^12
10 -^15
10 -^18
deci centi mili micro nano pico femto atto
d c m n p f a
que es una magnitud vectorial y cuyo valor es E = kQ 1 / r^2 (1.3)
Figura 1.
Donde k es una constante de proporcionalidad, Q 1 la carga que genera el campo eléctrico , r un vector unitario que une la ubicación de la carga con el punto donde se quiere determinar el campo E y r la distancia de separación de la carga al punto(ver figura 1.3).Consideremos el campo eléctrico creado por una carga Q 1 positiva (fig. 1.3), si quisiéramos llevar otra carga positiva unitaria (1 C), Q2, desde un punto A hasta un punto B, sería necesario aplicar una fuerza externa F, opuesta a la fuerza de repulsión existente entre las cargas Q 1 y Q 2 (Ley de Coulomb).Esto implica la realización de un trabajo W (medido en joule (J) ), para transladar la carga Q 2 desde el punto A hasta el punto B.La magnitud del trabajo realizado sobre esta carga unitaria representa la diferencia de tensión o potencial existente entre los puntos A y B y que matemáticamente se expresa VAB = dW/dq (1.4) Esta diferencia de potencial se mide en volt (V), 1 V = 1 J/C. Otra variable importante en los circuitos eléctricos es la potencia , que representa la tasa de variación del trabajo realizado con respecto al tiempo (t) y se mide en watt (W), 1 W = 1 J/s p(t) = dW/dt (1.5) La potencia p(t) se puede expresar en función de VAB(t) e i(t) p(t) = (dW/dq)(dq/dt) = VAB(t) i(t) (1.6) La anterior ecuación implica que 1 W = 1 V A, si hablamos en términos de unidades.
1.4 Elementos
Ahora analizaremos cada uno de los elementos con los cuales vamos a trabajar. Estos elementos se clasificarán en pasivos y activos según la tabla 1.5. En una primera aproximación, podríamos decir que los elementos pasivos son aquellos que no
pueden generar, por si mismos, energía eléctrica; y elementos activos son aquellos capaces de
generar energía eléctrica y entregarla a otros elementos. Estas son definiciones, que a pesar de
ser muy simplistas, nos ayudarán a comprender algunos principios circuitales.
Tabla 1.
PASIVOS RESISTORES DISIPATIVOS
ELEMENTOS FUENTES DE INDEPENDIENTES
CORRIENTE DEPENDIENTES
ACTIVOS
FUENTES DE INDEPENDIENTES
TENSION DEPENDIENTES
Para todos los elementos pasivos vamos a establecer una convención para los sentidos de la
tensión y corriente eléctrica, que regirán las relaciones V vs I en cada uno de ellos. Esta
convención la llamaremos:
CONVENCION # 1 : los sentidos de las variables son los establecidos en la figura 1.4, donde
se puede ver que la corriente i, entra por el terminal A, el cual se considera que está a un
potencial v volt mayor que el potencial del terminal B, de acuerdo a la polaridad de la tensión
aplicada v. En otras palabras, la corriente i siempre entra por el terminal marcado + en todo
elemento pasivo.
Figura 1 .1.
NUNCA OLVIDE LA FIG. 1.
CUANDO ESTÉ TRABAJANDO
CON ELEMENTOS PASIVOS.
Figura 1.
Figura 1. En la definición, establecimos que el resistor es un elemento disipativo; para aclarar este punto
consideremos la fig. 1.8, donde se ha conectado una batería a un cierto elemento resistivo, al
hacer esto se establece un campo eléctrico dentro del material resistivo, el cual hace que los
electrones libres dentro de él, se desplacen,pero durante su movimiento sufrirán continuos
choques con otras partículas y generarán calor, es decir, está convirtiendo la energía eléctrica,
entregada por la fuente, en calor que disipa la propia resistencia.
La ecuación (1.7), también se puede escribir así:
i = 1/R * v = G * v (1.8)
donde G = 1/R
es la conductancia y su unidad es el siemens (S).
Para determinar la energía eléctrica disipada por un resistor en un intervalo de tiempo t
debemos partir de la potencia instantánea p(t)
p(t) = v(t) * i(t) (1.9)
y como v(t) = R * i(t) (1.10)
podemos también escribir que:
p(t) = v^2 /R = i^2 * R (1.11)
Y volviendo a la ecuación de la energía tenemos que:
(1.12)
es la energía disipada por el resistor en un intervalo de tiempo t.
Antes de abandonar el tema de los resistores es importante presentar los conceptos de
Figura 1.
cortocircuito y circuito abierto:
El cortocircuito lo podemos asociar con una resistencia de valor cero, tal como se muestra en la
fig.1.9.
El circuito abierto se puede asociar con una resistencia infinita, tal como se muestra en la Fig.
1.10.
1.4.2 FUENTES IDEALES
Fuente ideal de tensión : Es un elemento activo que se caracteriza por tener entre sus terminales
una tensión o voltaje que es independiente de la corriente que pasa por él.
De las figuras podemos apreciar que la tensión entre los terminales A y B de la fuente es vg volt,
sin importar el valor de la corriente que circule por ella, esto quiere decir que podemos conectar
cualquier circuito a los terminales A y B y la tensión que aparece entre estos terminales será
siempre la misma, vg.
La tensión vg puede ser función del tiempo, esto implica que el valor vg de la gráfica sea
diferente para diferentes instantes de tiempo. En esta primera parte solo trabajaremos con
Figura 1.
Figura 1.
Figura 1.
Fuente ideal de Corriente : es un elemento activo que se caracteriza por inyectar en el sentido
indicado por la flecha (ver símbolo) una corriente ig, la cual es independiente de la tensión que
hay entre sus terminales.
1.4.3 Fuentes Controladas o Dependientes
Son elementos activos. Su comportamiento es igual al de las fuentes ideales de tensión o
corriente, sólo se diferencian de ellas por el hecho de ser fuentes dependientes o controladas, lo
cual quiere decir que su valor depende de una tensión o una corriente en alguna parte del
circuito. Hay dos tipos de fuentes controladas de tensión:
Se puede apreciar que la corriente inyectada al terminal A es ig, independiente de la tensión que haya entre los terminales A y B. Esta fuente se dice que es ideal, porque es capaz de suministrar una potencia infinita, la cual no se puede obtener con una fuente real. Figura 1.
Cualquiera que sea el valor de R, la corriente inyectada al terminal A es ig y v = ig * R. Luego, al aumentar R, v aumenta y si R -> y v -> , entonces p = v * ig - > (1.16)
Figura 1.
a) Fuente de tensión controlada por tensión. La constante k es adimensional, vx es la tensión en algún otro elemento del circuito.
Figura 1.
b) Fuente de tensión controlada por corriente. k tiene unidades de resistencia (ohm), ix es la corriente en alguna parte del circuito, la cual controla al valor de la fuente.
Figura 1.
También hay dos tipos de fuentes controladas de corriente:
Las fuentes controladas se utilizan para obtener el modelo de un gran número de dispositivos
electrónicos como: válvulas de vacío, transitores, FET , amplificadores operacionales, etc. En la
fig 1.21 se muestran el modelo de un un transitor.
Figura 1. Las fuentes de tensión y corriente, a pesar de ser elementos activos, se pueden comportar como
elementos pasivos, lo cual quiere decir que en lugar de entregar energía la absorben
(consumen), igual que un resistor.
Diremos que una fuente entrega energía si la corriente i sale del terminal positivo de la fuente,
con vg > 0 e i > 0. Por ejemplo, en la fig. 1.22 , vg = 5 V e i = 1 A, la fuente de tensión entrega
una potencia de 5 W, puesto que la corriente sale del terminal positivo. Si la tensión o la
corriente cambiaran de sentido la fuente recibiría 5 W y se comportaría como un elemento
pasivo.
a) Fuente de corriente controlada por tensión. K tiene unidades de conductancia (siemens), vx es la tensión de control.
Figura 1.
b) Fuente de corriente controlada por corriente. K es adimensional, ix es la corriente de control.
Figura 1.
Nudo : es un punto de la red donde se unen dos o más elementos de la red; ejemplos H y C de la fig.1.25. Cuando varios puntos de una red se unen mediante cables ideales de resistencia cero (cortocircuito), todos los puntos, así unidos, forman un solo nudo, (así A y B forman un solo nudo; al igual que los puntos G, F, E y D.
Rama : Vamos a asociar una rama con un elemento cualquiera del circuito tal como un resistor o
una fuente de tensión.
Malla : Es un conjunto de ramas de la red que forman una trayectoria cerrada, ejemplo las mallas HAFGH, ABEFA, BCDEB, HABCDEFGH, entre otras. Una vez conocidas estas definiciones podemos enunciar las leyes de Kirchhoff:
1.6.1 Ley de Corrientes de Kirchhoff : La suma algebraica de las corrientes instántaneas en un nudo cualquiera de la red es cero. i = 0 en un nudo cualquiera. (1.17) Consideremos que A es un nudo de una red cualquiera (ver fig. 1.26), como vemos en este nudo hay ciertas corrientes que entran al nudo (i 3 ) y otras que salen (i 1 , i 2 ,i 4 e i 5 ).
Convención 2 : Asignaremos signos positivos a todas aquellas corrientes que salen del nudo: (i 1 ,i 2 ,i 4 e i 5 en el ejemplo) y signos negativos a las corrientes que entran al nudo (i 3 en el ejemplo). Al aplicar los conceptos y convenciones anteriores al nudo A tendremos: i = 0 nudo A (1.18) i 1 + i 2 - i 3 + i 4 + i 5 = 0 (1.19) La ley de corrientes de Kirchhoff establece, en otras palabras, que la carga eléctrica no se puede acumular en un nudo de la red, esto es la cantidad de carga que entra a un nudo cualquiera en un cierto instante, es igual a la cantidad de carga que sale de ese nudo. 1.6.2 Ley de Tensiones de Kirchhoff: La suma algebraica de las tensiones instantáneas en cualquier malla de la red es cero.
Figura 1.
Para aplicar correctamente la ley de corrientes de Kirchhoff, tenemos que distinguir las corrientes que entran y las que salen, asignándoles signos diferentes; aquí vamos a establecer la siguiente convención que Ud. debe tratar de seguir para evitar confusiones con los signos, cuando analice redes complejas: Figura 1.
v = 0 en cualquier malla de la red (1.20)
Para aplicar correctamente la ley de tensiones de Kirchhoff, se recomienda asumir primero un sentido de recorrer la malla, aquí recomendamos recorrer siempre las mallas en el sentido de las agujas del reloj, esto nos ayudará en la sistematización del análisis de redes por el método de mallas, que estudiaremos posteriormente. Una vez hecho esto, asignaremos signos positivos a todas las tensiones de aquellas ramas donde se entre por el terminal positivo en el recorrido de la malla, y asignaremos signos negativos cuando se entre por el terminal negativo de la rama.
La flecha de la figura asigna el sentido recomendado para el recorrido de la malla, esto es, vamos a recorrer la malla empezando en A, hacia B C... y así sucesivamente, luego tenemos:
v = 0 en la malla A B C D E A (1.21)
- E 1 + v 1 + v 2 + v 3 - E 2 + v 4 - v 5 + E 3 = 0 (1.22) Aquí vemos que en E 1 , v 1 , v2, v 3 , v 4 y E 3 , las ramas han sido recorridas entrando por el terminal positivo, y en E 2 y v 5 se ha entrado por el terminal negativo. Analicemos ahora algunos circuitos sencillos, cuyo entendimiento permitirá comprender la aplicación de los conceptos vistos a redes más complejas.
Entre A y B hay una red cualquiera, pero en el análisis siguiente podemos considerar que entre A y B hay una rama de la malla con una tensión v y de la cual sale una corriente i , luego podemos aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff en la Malla ACBA y tendremos :
- v + iR + E = 0 v = E + iR (1.24) A esta ecuación la llamaremos ecuación de rama. Recuerde que la polaridad en la resistencia R , queda automáticamente establecida al asignar un sentido a la corriente.
Consideremos la malla ABCDEA de una cierta red,como vemos, cada una de las ramas de la red tienen una tensión con su respectiva polaridad. Recordemos que la polaridad en los elementos pasivos siempre va a seguir la convención 1. La polaridad en las fuentes no dependen de convenciones sino de la forma en que se hagan las conexiones del circuito.
La tensión en R se obtiene al aplicar la ley de Ohm
vR = i*R (1.23)
Figura 1.
Figura 1.
Todos los ejemplos anteriores se pueden resumir analizando el circuito mostrado en la fig. 1.36.
Sigamos ahora aplicando los conceptos vistos a otros circuitos sencillos, tales como el que se muestra en la fig.1.37.
i + iR + Ig = 0
i=-Ig - v/R (1.29)
Figura 1.
i - iR - Ig = 0
i = Ig + v/R (1.30)
Figura 1.
i - iR + Ig = 0
i = -Ig + v/R (1.31)
Figura 1.
v = vp - Vg = Rip - Vg donde ip = i + Ig luego v = Ri + R*Ig - Vg (1.32) o despejando el valor de la corriente: i = v/R -Ig + Vg/R (1.33)
Figura 1.
Supongamos que nos piden analizar el circuito de la fig.1.37; en él podemos encontrar corrientes, tensiones y potencias entregadas o disipadas por cada uno de los elementos. Si miramos la red vemos que tiene una sola malla y que por todos sus elementos va a circular exactamente la misma corriente, luego si consideramos como incógnitas las corrientes, tendríamos que plantear una sola ecuación que nos permitiría calcular la corriente i que circula en la malla; y una vez conocida esta podemos hallar todas las otras posibles variables del circuito tales como tensiones y potencias en cada uno de los elementos. En cambio si consideramos como incógnitas las tensiones tendríamos que plantear por lo menos 2 ecuaciones que nos permitiera hallar las tensiones desconocidas en las resistencias de 12 y 8 respectivamente. Dadas las características del circuito vamos asumir como incógnita la corriente i , a la cual le asignaremos un sentido cualquiera (en la fig.1.37 se le asignó el sentido de las manecillas del reloj). El siguiente paso consiste en acudir a la leyes de Kirchhoff, para plantear la ecuación que nos permita hallar el valor de i. Por la naturaleza misma del problema, vemos que no tiene sentido aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff al circuito, pues el aplicarla nos daría una identidad, veamos:
i = 0 en A (1.34)
- i + i = 0 i = i? Lo lógico, en este caso, es aplicar la ley de tensiones Kirchhoff: v = 0 en malla A B C D A (1.35) Para aplicar correctamente esta ley recordemos la convención 1 para elementos pasivos, la cual nos dice que al asignar un sentido a la corriente i, automáticamente estamos asignando una polaridad a las tensiones en los elementos pasivos (en este caso, en las resistencias), luego podremos redibujar el circuito tal como se muestra en la fig.1.38.
Ahora si podemos aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff:
Figura 1.
Sabemos, que de acuerdo a la ley de Ohm,
v 1 = i * 12 y v 2 = i * 8.
En ambas relaciones el signo es positivo, puesto que se ha mantenido Figura 1.38 la^ convención 1.
Luego el circuito original, puede ser reemplazado por el circuito equivalente de la fig.1.42. Al decir que los circuitos son equivalentes estamos afirmando que las tensiones, corrientes potencias en ambos circuitos son iguales en cada una de las ramas análogas.
Resumiendo el método aplicado en el análisis del circuito de la fig.1.38, tenemos:
- Elegimos como incógnita la corriente i, a la cual le asignamos un sentido arbitrario.
- Aplicamos la ley de tensiones de Kirchhoff, para plantear la ecuación necesaria que nos permitió hallar el valor de i. Aquí podemos adelantar alguna observación sobre lo que veremos posteriormente en el método de mallas y es lo siguiente: cuando se usen como incógnitas las corrientes, en el ánalisis de un circuito, se va a utilizar la ley de tensiones de Kirchhoff para el planteo de las ecuaciones necesarias.
1.7 Interconexión de elementos en serie. Del análisis del circuito de la fig. 1.38, también podemos extraer algunas definiciones sobre interconexión de elementos en serie. Decimos que varios elementos están interconectados en serie cuando por todos ellos circula la misma corriente y además la tensión total es igual a la suma algebraica de las tensiones en cada uno de los elementos. 1.7.1 Interconexión de resistencias en serie Como vemos en el circuito de la fig.1.43, por cada una de las n resistencias circula la misma corriente i (recuerde que el sentido de esta corriente fija automáticamente las polaridades en los elementos pasivos).
Si calculamos la tensión total tenemos: v = = v 1 + v 2 + ... + vn
Analice Ud. el circuito de la figura y compruebe lo que hemos dicho anteriormente.
Figura 1.
v tensión total
Figura 1.
= iR 1 + iR 2 + ... + iRn = i
Un circuito equivalente sería el mostrado en la fig.1.44.
Luego concluimos que un conjunto de n resistencias en serie se pueden remplazar por una resistencia equivalente (Req) que es igual a la suma de las n resistencias. En algunas ocasiones nos encontraremos que una de las resistencias interconectadas en serie es un circuito abierto, esto es R = , lo cual hace que la corriente sea nula y la resistencia total en serie será Req = , tal como se ilustra en la fig.1.45.
1.7.2 Interconexión de fuentes ideales de tensión en serie.
En el circuito mostrado en la fig.1.46 también fluye la misma corriente por todos los elementos y se tiene, al aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff, que: -v + E 1 + E 2 + E 3 = 0 v = E 1 + E 2 + E 3 = Ek (1.37)
luego es posible reemplazar las fuentes de tensión por una fuente equivalente de valor v = Ek y que tiene la misma polaridad que v, tal como se muestra en la figura 1.47.
v = i Req = i Rk Req = Rk (1.36)
Figura 1.
Figura 1.
Figura 1.
