Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matem´
atica y
Ciencia de la Computaci´
on
Pablo Garc
´
Agosto de 2019
Gu´ıa de ejercicios
1. Calcule los siguientes l´ımites: limx→0
cos4x−1
x2, limx→0
cos5x−1
x2,
limx→0
sin 3x
sin 7x, lim
x→
π
4
sin x−cos x
1−tan x, limx→0xsin 1
x, limn→∞
cosnx−1
n(cos x−1),
limx→3(3 −x) csc πx, limx→0
√1 + tan x−√1 + sinx
x3.
2. Sea f(x) = √sin x+ cos x, encuentre las tangentes a fque pasan por los
puntos (π
5, f (π
5)) y (π
2, f (π
2)).
3. Grafique la funciones f(x) = sin(x)+ cos(x), g(x) = sin(x) cos(x) y h(x) =
3 sin(5x), ¿d´onde se anulan?, ¿cuales son sus recorridos?, muestre que son
periodicas, ¿cuanto valen sus periodos?
4. Calcule la derivada de las siguientes funciones: y= sin3(cos3x), y=
cos7(sin11 √x), y= sin100 x23 +√tan x,y= cot(sin2x), y=r3 sin 1
√x,
y=√x343 + 2x3+ 5−1,y= csc √cos x,y=√1 + tan x−√1 + sinx
x3.
5. Sea un cuadrilatero ABC D inscrito en una semicircunferencia, de tal man-
era que AB = 4 es di´ametro, y CD =DA = 1, encuentre el valor del lado
BC .
6. Demuestre la siguiente identidad sinx= 4 sin x
3sin x+π
3sin x+2π
3.
7. Pruebe que sin2x+ sin2y+ sin2z= 2 ↔cos2x+ cos2y+ cos2z= 1 ↔
sin2x+ sin2y+ sin2z
cos2x+ cos2y+ cos2z= 2.
8. Pruebe que si x, y, z son los ´angulos de un tri´angulo rect´angulo entonces
sin2x+ sin2y+ sin2z= 2.
9. Pruebe que si x, y, z son los ´angulos de un tri´angulo y sin2x+ sin2y+
sin2z= 2 entonces el tri´angulo es rect´angulo.
10. Encuentre los valores de x∈[0,2π] que satisfacen sinx+ cos x= 1.
11. Encuentre los valores de x∈[0,2π] que satisfacen 3sin x+ 5 cos x=√34.
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