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Guia para problemas de porcentaje y descuentos en matematica basica
Tipo: Apuntes
1 / 95
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¡No te pierdas las partes importantes!
Matemática Básica
Guía de Prácticas
Matemática Básica
Unidad Académica de Estudios Generales
Mg. Jorge Antonio Gonzales Miranda
Coordinadora
Dra. Mary Luz Meneses Román
Autores:
Dra. Mary Luz Meneses Román
Dr. Sebastián Sánchez Díaz
Mg. Hugo Roberto Chirinos Maldonado
Lic. Mercedes Carmen Morales Ibarra
Lic. Freddy Anthony Ñaupas Bendezú
La Lógica Proposicional es una rama de la Lógica que trata del carácter
verdadero o falso de los enunciados. Mediante el uso de las propiedades permite
analizar y determinar si un argumento es válido o no. La lógica proposicional estudia
la validez de las relaciones entre argumentos o enunciados.
Enunciado
Se llama enunciado a toda frase u oración de nuestro lenguaje. ( V. Eyzaguirre ,2008)
Ejemplos:
Proposición
Se llama proposición a todo enunciado que se puede determinar su veracidad (V) ó
falsedad (F). (V. Eyzaguirre, 2008)
Ejemplos
Conectivos lógicos
Se llaman también operadores lógicos, son palabras que enlazan dos o más
proposiciones, o cambian el valor de verdad de una proposición. (A. Bustamante,
Los conectivos lógicos de mayor uso son:
La conjunción: cuyo símbolo es , se lee“y”.
La disyunción inclusiva: representada por , se lee “o ”
La disyunción exclusiva: representada por , se lee O … o …
La Condicional: cuya expresión simbólica , se lee “si... entonces”.
La Bicondicional: denotada por , se lee “si y solo si”.
La negación: denotada por – ó ~ , se lee “no es cierto”.
Proposición Simple y Compuesta
Una proposición simple o atómica es aquella que no posee conectivos lógicos.
Una proposición compuesta o molecular es aquella que presenta uno o más
conectivos lógicos.
Ejemplos:
Una proposición compuesta se dice que es una tautología si el resultado global de la
tabla es verdadero. A las tautologías se les llama también leyes o principios lógicos.
Una proposición se dice que es una contradicción , si el resultado global es falso.
Una proposición compuesta se dice que es una contingencia si en el resultado final
hay valores verdaderos y falsos.
Ejemplos:
La proposición [(p q) p] q es
una tautología
verdad de la proposición
q ( p t ) ( r t ) .
q ( p t ) ( r t ) [ (F) ( (V) v t ) ( (V) t ) }
{ [ (V) (V) ( (F) t ) } { [ V ( V ) } V
La proposición q ( p t ) ( r t ) es verdadera.
de verdad de la siguiente proposición ( p r ) ( q r ) .
Como r q F entonces r V y q V.
Como p q V entonces p F.
( p r ) ( q r ) ( (F) (V) ) ( (V) (V) )
La proposición ( p r ) ( q r ) es verdadera.
Identifica y aplica las propiedades del lenguaje lógico, elaborando un
esquema básico de demostración que facilite la expresión del propio pensamiento
para justificar y presentar resultados y conclusiones de forma clara y coherente,
mostrando tolerancia y respeto a los demás.
Se utilizarán libros de la bibliografía del sílabo, hojas cuadriculadas o
cuaderno, lapiceros a colores, lápiz, corrector. Todo el trabajo se consolidará en un
portafolio.
El profesor resolverá algunos de los ejercicios planteados, orientará la
solución de otros y el resto lo desarrollarán los alumnos en trabajo individual o
grupal. Estos ejercicios resueltos se deben presentar periódicamente, son
considerados parte de la evaluación permanente y permiten medir el logro de las
competencias de la unidad.
p
q
[ ( p q ) p ] q
Se aplicará los instrumentos de evaluación a través de ejercicios y
problemas planteados en el cuestionario Nº1 para evidenciar el logro de
competencias en esta práctica.
I.1. Ricardo Flores es estudiante de Obstetricia.
I.2.Carmen tiene x amigos que estudian Derecho.
I.3. Deberías haber dosificado a aquel paciente que tiene su receta.
I.4. No es cierto que los pacientes se mueren con la gripe AH 1 N 1.
I.5. La honestidad es el valor de decir la verdad, ser decente, recatado, razonable,
justo, honrado y honesto.
I.6. No conversen en clase, por favor.
I.7. La bomba atómica explotó en Hiroshima en 1945.
I.8. Ojalá obtenga una buena nota en el examen.
I.9.Quisiera hacer un doctorado en Salud Pública.
I.10. El nuevo ministro de salud es el Dr. Aníbal Velásquez.
I.11. El alumno x desaprobó el curso de Matemática Básica por segunda vez.
I.12. El lunes reviso los resúmenes de sus trabajos.
I.13. Según términos legales la Biodiversidad: es la variabilidad de organismos
vivos de cualquier fuente, incluidos, entre otros, los ecosistemas terrestres,
marinos y otros ecosistemas acuáticos y los complejos ecológicos de los que
forman parte.
I.14. El presente año la Universidad Wiener firmará alianzas estratégicas con más
de 5 instituciones extranjeras.
I.15. La Universidad Wiener renovó su certificación ISO 9001.
I.16. ¿Formamos grupo para el trabajo de investigación formativa?
Exprese verbalmente las siguientes proposiciones:
2.1. p q
2.2.q ~ p
2.3.p q
2.4. p q
2.5. ( p)
2.6. ( p q )
3.1. Juan se sentirá mejor, si toma sus medicinas.
3.2. No es verdad que, el abogado y el cliente se presentaron en la corte.
3.3. O William Shakespeare es autor de Hamlet o es autor de la Odisea.
3.4. Micaela aprobará el examen de Matemática básica si y solo si estudia toda la
semana.
3.5. Si desapruebo el curso, el próximo ciclo solo podré llevar doce créditos.
3.6. El segundo ciclo llevaré el curso de Desarrollo Personal a menos que lleve
Deporte.
3.7. Estaré en el tercio superior si apruebo este curso con más de quince.
3.8. El próximo año cursaré el tercer ciclo pero llevaré cursos en verano.
3.9. Apruebo el curso siempre que aproveche mi tiempo para estudiar.
proposiciones:
Fuente: Elaboración propia
Modus Ponens [ ( p → q ) p ] q
Modus Tollens [ ( p → q ) (~ q) ] (~ p)
Silogismo Hipotético [ ( p → q ) ( q → r ) ] ( p → r )
Silogismo Disyuntivo
[ ( p q ) (~ p) ] q
[ ( p q ) (~ q) ] p
Ley de Involución ~ (~p) p
Ley de Idempotencia p p p p p p
Ley Conmutativa p q q p p q q p
Ley Asociativa
(p q) r p (q r)
(p q) r p (q r)
Ley Condicional
p q ~ p q
~ ( p q ) p ~ q
Ley Bicondicional
p q ( p q ) ( ~ p ~ q )
~ ( p q ) ( p ~ q ) ( ~ p q )
Ley Distributiva
p ( q r) ( p q ) ( p r)
p ( q r ) ( p q ) ( p r)
( p (q r) ) ( p q ) ( p r )
( p (q r) ) ( p q ) ( p r )
Ley Contrarecíproca
p q (~ q ) (~ p )
p q (~ q ) (~ p )
Leyes de Morgan
~ ( p q ) (~ p ) (~ q )
~ ( p q ) (~ p ) (~ q )
Ley de Absorción
p ( p q ) p
p ( p q ) p
p ( ~ p q ) p q
p ( ~ p q ) p q
Elemento Neutro
p V p p F p
p V V p F F
Tautología y
Contradicción
p (~ p) V p (~ p) F
Ley de Simplificación
( p q ) q ( p q ) p
Ley de Adición
p ( p q ) q ( p q )
Fuente: Elaboración propia
Función Proposicional
Una función proposicional, es un enunciado que contiene una o más variables y que
toma los valores de V o F, según los valores que adopte cada variable.
(V.Eyzaguirre,2008)
Ejemplos:
La función proposicional también es conocida como enunciado abierto o
proposición abierta.
Con letras mayúsculas se representan las funciones proposicionales y con minúsculas
las variables x, y, z,..., los objetos o entes desconocidos.
Si una función proposicional contiene la variable x se denota por P(x). Si contiene
variables x e y se denota por P(x,y).
Ejemplos:
2
Para x = 3 se tiene Q(x) es verdadero, para x = 0 se tiene Q(x) es falso.
2
Cuantificadores
Son operadores lógicos que transforman proposiciones abiertas en concretas. Son de dos
formas:
1. Cuantificador Universal “ Para Todo ” ,“”
x DP / P(x), o también x Dp : P(x)
Se lee: “Para todo elemento x del dominio de la proposición, se verifica P(x)”.
Una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera si y solo si son
verdaderas todas las proposiciones particulares.
2. Cuantificador Existencial “Existe ” , “ ”
xDp / P(x) o también xDp : P(x)
2.2 A: Las ballenas están en extinción no obstante continua su caza indiscriminada, de
ahí que es necesario tomar una medida inmediata.
B: Si es necesario tomar una medida inmediata entonces ya no existe caza
indiscriminada o no es cierto que las ballenas están en extinción.
2.3 A: O dices la verdad o es necesario que investiguemos los papeles.
B: No investigamos los papeles porque dices la verdad.
2.4 A: Aprobaré el examen si y solo si estudio responsablemente.
B: Estudio responsablemente o desaprobaré el examen.
3.1 ~ [ ( p q ) → r] ( p q ~ r)
3.2 [ ( p q ) → r) ~ r] q
3.3 { [ p → (q r) ] p } ( q r )
3.4 r ( r q )
universo el conjunto de los números reales:
4.1 x : x
2
4.2 x / x
2
4.3 x / x
2
4.4 x : 3x – 2 < 3x + 1
verdaderas.
5.1 xU / x + 10 = 3x
5.2 xU / x – 1 U
5.3 xU / | 2x – 7 | = 4
5.4 xU / x + 10 6x
verdaderas.
6.1 xU / x + 21 = 2x
6.2 xU / (x + 2) U
6.3 xU / | x – 15 | = 5
6.4 xU / x + 8 5x
proposiciones:
7.1 xA / x
3 = x
7.2 xA / x
2
7.3 xA / x + 10 3x
7.4 xA / x
3
proposiciones:
8.1 x A / x + 3 = 8
8.2 x A / x + 3 < 7
8.3 x A / x – 2 < 9
8.4 x A / 2x – 11 3
a ed.) México: Trillas.
México S.A. de C.V.
a ed.) Perú: San Marcos.
D. Rosales (2000), define la Inferencia lógica ó Argumento lógico a toda condicional
de la forma:
(p 1 p 2 … pk) q
Donde las proposiciones p1, p 2 , …,pk son llamadas Premisas, y originan
como consecuencia otra proposición denotada “q” y llamada Conclusión la cual
está después de las expresiones luego, por consiguiente, por tanto, de modo que,
en consecuencia, en tanto, en suma, se infiere que, se deduce que; y antes de: ya
que, dado que, puesto que, pues, si recordamos que , etc.
Si una inferencia es una Tautología, es decir una implicación, entonces recibe el
nombre de Argumento Válido o Inferencia Válida. Una inferencia no válida se
conoce como Falacia.
Ejemplos:
no se helará
[(p→q )p]q
La conclusión es válida por Modus Ponens (MP)
consumo, mejora la economía; por lo tanto, si el presidente aumenta los sueldos,
mejora la economía.
[( p→q ) ( q→r )] (p → q)
La conclusión es válida por Silogismo Hipotético (SH).
Tipos de Demostración
•Demostración directa: a partir de las premisas, usando las leyes lógicas se llega a
la conclusión o tesis.
•Demostración indirecta: por reducción al absurdo o por contradicción; se niega la
hipótesis y se coloca como hipótesis auxiliar, utilizando las leyes de la lógica se
debe deducir una contradicción. Esta se produce porque la hipótesis auxiliar es
falsa, por lo tanto la conclusión es válida.
•Prueba o Demostración condicional: se utiliza cuando la conclusión es una
implicación. El método consiste en colocar como premisa adicional el antecedente
de la implicación que aparece como conclusión; a partir de allí se llega al
consecuente de la conclusión.
Ejemplos:
Demostrar la conclusión en los ejercicios siguientes:
A) Demostración Directa
Demuestre la validez de la inferencia:
r
p
q r
p q
Análisis de una Inferencia por el Método Abreviado
Primero se supone verdadero el antecedente y falso el consecuente, luego se
determinan los valores de las variables del consecuente de manera que expresen la
falsedad de este. A continuación s e trasladan estos valores al antecedente y se
designan los valores de las demás variables tratando de hacer verdadero el
antecedente. Si se verifica la hipótesis, la fórmula es no tautológica, en
consecuencia, la inferencia correspondiente será invalida; si no se verifica la
hipótesis, la formula será tautológica, en consecuencia, la inferencia correspondiente
será válida.
Ejemplo
Si eres fiscal, eres abogado. Si eres profesional, eres abogado. Luego, Si eres Fiscal,
eres profesional.
[(p→ q)(r→ q)] → (p→ r)
Primero suponemos que el antecedente es verdadero (V) y el consecuente falso (F)
[(p→ q)(r→ q)] → (p→ r)
Se determina el valor de las variables del consecuente
[(p→ q)(r→ q)] → (p→ r)
Se trasladan estos valores el antecedente y se asignan los valores a las demás
variables:
[(p→ q)(r→ q)] → (p→ r)
Se verifica la hipótesis, luego, la fórmula no es tautológica; es decir, la inferencia
correspondiente es inválida.
Analiza problemas deduciendo lógicamente su validez, utilizando las equivalencias e
implicaciones lógicas, mostrando tolerancia y respeto a los demás.
Se utilizarán libros de la bibliografía del sílabo, hojas cuadriculadas o cuaderno,
lapiceros a colores, lápiz, corrector. Todo el trabajo se consolidará en un portafolio.
El profesor resolverá algunos de los ejercicios planteados, orientará la solución de
otros y el resto lo desarrollarán los alumnos en trabajo individual o grupal.
Estos ejercicios resueltos se deben presentar periódicamente, son considerados
parte de la evaluación permanente y permiten medir el logro de las competencias
de la unidad.
Se aplicará los instrumentos de evaluación a través de ejercicios y problemas
planteados en el cuestionario Nº3 para evidenciar el logro de competencias en esta
práctica.
Determine si las siguientes inferencias son válidas o no, por el método abreviado:
buena. En consecuencia, me gusta la canción.
Turismo. Pero no es el caso que seas de Turismo. Luego eres de Administración.
está contenta, o hay revolución o hay cambio social. En consecuencia, la sociedad
está contenta si hay cambio social.
no tienes un problema legal.
justicia, defendió la ley.
abogado; pero tendrá que estudiar bien los casos si desea ser un buen abogado.
Luego, para defender en un juicio legal, tendrá que estudiar bien los casos.
invertirán en el Perú. La economía peruana está en crisis porque no existe un ajuste
estructural en la administración. Por lo tanto, los capitalistas extranjeros invertirán
en el Perú si existe un ajuste estructural en la administración.
gasto mucho dinero. Si voy en auto, gasto mucho tiempo. Luego, si voy a Arequipa,
o gasto mucho tiempo o gasto mucho dinero.
entonces podrá ampliar su programa de cooperación militar. Rusia no podrá ampliar
su programa de cooperación militar. En consecuencia, Rusia llegó a un acuerdo con
la OTAN si y solo si se adhiere a la asociación por la paz.
10.Si la policía descubre al asesino y éste es el heredero, la herencia pasará a Luis.
Sólo si el mayordomo es el asesino, Luis se quedará sin herencia. La policía
descubre al asesino y Luis se queda sin herencia. Luego, el asesino no es el
heredero, sino el mayordomo.
11.La exploración de Marte es importante, si las áreas oscuras son desconocidas o se
obtienen minerales raros. Si hay sólo gases tóxicos, la exploración de Marte no es
importante. Pero, no es el caso que no se obtenga minerales raros o no hayan gases
tóxicos. Luego, si las áreas oscuras de Marte son conocidas entonces la
investigación científica explicará el origen del universo.
12.Las leyes de la mecánica son exactas si Newton dice la verdad, si y sólo si el
movimiento no es relativo. Si el movimiento no es relativo, la fórmula de la
Conjuntos
El estudio de la Teoría de Conjuntos en la Matemática fue impulsado por el
matemático Cantor, con el fin de mejorar la nomenclatura y simbología, la cual tiene a
su vez como sustento la lógica proposicional. Los conjuntos constituyen la base para el
estudio de los sistemas numéricos. (R. Figueroa, 2005)
Generalidades
La idea de un conjunto es clara, entendiéndose como sinónimos de grupo, o
colección de objetos o elementos.
Los conjuntos los denotaremos por letras mayúsculas, como A, B, C, ... etc. y sus
elementos por letras minúsculas.
Así por ejemplo: A = { a , e , i , o , u }
Denotaremos por U el conjunto universal, que es el mayor conjunto definido dentro de
un contexto dado, así como: Conjunto de seres humanos, conjunto de colores, conjunto
de números reales, conjunto de países del mundo, etc.
Cardinal de un Conjunto
Es el número de elementos que tiene un conjunto, denotado por n(A) o #(A).
Ejemplos:
Conjunto finito, infinito, nulo y unitario
Sea A un conjunto
Un conjunto nulo o vacío se denota por Ø o por { }.
Determinación de Conjunto por extensión y por comprensión
Ejemplos:
Un conjunto se determina por comprensión, si se menciona los elemento con una
propiedad o característica en común, se denota por A = {x / P(x) }.
Ejemplos:
Diagramas de un Conjunto
Los conjuntos se pueden representar gráficamente mediante curvas cerradas, las cuales
se llaman Diagramas de Venn, tales como:
Fuente: Elaboración propia
Relaciones entre Conjuntos
Inclusión
Sean A y B conjuntos no vacíos.
Simbólicamente expresamos: A B x / ( x A x B )
pertenece a B.
Simbólicamente expresamos: A B x / ( x A x B )
A B se lee también: A esta contenido en B, A es subconjunto de B, A es parte de B.
Propiedades
Sean A, B y C conjuntos no vacíos, se cumple:
Igualdad
Sean A y B conjuntos no vacíos se tiene:
Simbólicamente expresamos: ( A = B ) ( A B B A )
Simbólicamente expresamos: ( A B ) ( A B B A )
Subconjunto propio
A es subconjunto propio de B ( A B A B )
Conjuntos comparables
Si A y B son conjuntos no vacíos, se tiene:
Algebra de Conjuntos
Sea A U, B U, U conjunto universal. Se definen las siguientes operaciones:
A B = { xU / x A x B }
Fuente: Elaboración propia
A B = { xU / x A x B }
Fuente: Elaboración propia
a
b
. c.
d .
e
. f
a
e
. i
o
u
