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Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Ciencias Sede Vi˜na del Mar
Matem´atica de Ingenieria
Set de Ejercicios
Algebra de Matrices
Matrices - Ejercicios Resueltos
- Considere las matrices cuadradas de orden 2, dadas por A =
y B =
. Determine el valor de
(a) A + B
Soluci´on: A + B =
(b) AB + 2B
Soluci´on: AB + 2B =
(c) (A + B)T^ + AB + (AB)T
Soluci´on: (A + B)T^ + AB + (AB)T^ =
(d) A^2 + BT^ A
Soluci´on: A^2 + BT^ A =
(e) ABA
Soluci´on: ABA =
- Considere las matrices definidas como A =
2 × 3
B =
3 × 4
y C =
4 × 2 Determine el valor de la matriz ABC. Soluci´on: El valor del producto matricial es
ABC =
2 × 3
3 × 4
4 × 2
2 × 3
3 × 2
2 × 2
- Considere las matrices A =
3 × 3
y B =
3 × 3
obtener una matriz X ∈ M 3 × 3 (R)
tal que 2XT^ + (BA)T^ =
3 × 3 Soluci´on: Aplicando propiedades con la matriz transpuesta se tiene que 2 XT^ + (BA)T^ = (^03) × 3 2 XT^ = −(BA)T 2 X = −BA X = −
BA
o bien
X =
3 × 3
- Considere las matrices A =
3 × 3
y B =
3 × 3
obtener una matriz X ∈ M 3 × 3 (R)
tal que (XT^ + BT^ )T^ = A^2 + BAB Soluci´on: Similar al ejercicio anterior, tenemos que aplicando propiedades asociadas a la matriz transpuesta se tiene que (XT^ + BT^ )T^ = A^2 + BAB X + B = A^2 + BAB X = A^2 + BAB − B
o bien
X =
3 × 3
- Considere A =
3 × 3
verifique que A^2 = 2A. ¿Es verdad que A^3 = 4A?
Soluci´on: Se observa que
A^2 =
3 × 3
3 × 3
3 × 3
3 × 3
= 2A,
mientras que A^3 = (A^2 )A = (2A)A = 2 A^2 = 2(2A) = 4 A as´ı la afirmaci´on es verdadera
- Considere las matrices A y B definidas como:
A =
y B =
Determine una matriz X cuadrada de orden 2 tal que
A · (B−^1 · X−^1 · A)−^1 = AT^ + B^2
Soluci´on:
A · (B−^1 · X−^1 · A)−^1 = AT^ + B^2
A · (A−^1 · X · B) = AT^ + B^2
X · B = AT^ + B^2
X · B · B−^1 = (AT^ + B^2 ) · B−^1
X = AT^ · B−^1 + B
notamos que AT^ =
y det(B) = 2, as´ı B−^1 = (^12)
, de esta forma
X =
- Determine x ∈ R tal que
( x 4 − 1
x 4 − 1
- Determine 2A^2 + AB si A = [i − j] 3 × 3 y B = [2i + j] 3 × 3.
- Si A y B son matrices simetricas. Justifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
(a) A^2 − B^2 es simetrica (b) ABA es simetrica (c) ABAB es simetrica
- Considere las matrices A =
2 × 2
y B =
2 × 2
obtener una matriz X ∈ M 2 × 2 (R) tal que
(4XT^ + ABT^ )T^ = AB^2 + BAB
- Considere las matrices A y B cuadradas de orden 2 definidas como:
A =
y B =
Determine una matriz X cuadrada de orden 2 tal que
AXB−^1 = ABT^ + AB−^1 + A^2 B−^1
Recuerdo: Si la matriz A =
a b c d
es invertible, su matriz inversa se obtiene mediante A−^1 =
ad − bc
d −b −c a
