MATEMATICAS MATRICES, Apuntes de Matemáticas

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Bloque 5. Matrices I

Matrices I

Angeles Cámara

En este bloque se trabajan las nociones básicas del cálculo matricial, necesarias para el desarrollo de todos

los contenidos del Algebra Matricial

Tabla de contenidos

• Matrices
  • Clasificación de matrices
    • Matriz de orden n x m
  • Operaciones elementales con matrices
    • Suma de matrices......................................................................................................................................................
    • Producto de un número real por una matriz
    • Producto matricial
    • Transposición matricial
  • Determinante de una matriz cuadrada
    • Determinante de una matriz de orden
    • Determinante de una matriz de orden

Matrices cuadradas

Son aquéllas en las que el número de filas coincide con el número de columnas; es decir, n = m.

En las matrices cuadradas llamamos diagonal principal a los elementos en los que los subíndices i y j

coinciden:

a 11 (^) , a 22 , , ann^ forman la diagonal principal de la matriz

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a a A

a a a

 ^ 

La suma de los elementos de la diagonal principal se denomina traza de la matriz.

Traz  A   a 11  a 22  ....  ann

Las matrices cuadradas que tengan nulos los elementos que quedan a uno de los lados de la diagonal

principal se denominan matrices triangulares. Siendo una matriz triangular inferior si son nulos los

elementos que quedan por encima de la diagonal principal y triangular superior sin son nulos los que

quedan por debajo.

11

21 22

1 2

n n nn

a

a a A

a a a

 ^ 

11 12 1 (^022 )

n

n

nn

a a a

a a A

a

 ^ 

Matriz triangular inferior Matriz triangular superior

Matriz diagonal es la que tiene nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal.

11

22

(^0 0) nn

a

a A

a

 ^ 

Matriz diagonal

Operaciones elementales con matrices

Cuando los elementos de una matriz son números reales o de cualquier cuerpo conmutativo, dotamos

de una capacidad operatoria a las matrices, o lo que es lo mismo, disponemos de una estructura algebraica

en el conjunto de matrices que nos permite operar con ellas.

Suma de matrices

La suma de dos matrices del mismo orden An m (^)  y Bn m (^)  , siendo n el número de filas y m el número de

columnas, es la matriz Cn m (^)  que resulta al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas.

Cn m (^)   An m (^)   Bn m  , obteniéndose los elementos de Cn m (^)  de la siguiente forma: cij  aij  bij

El elemento neutro de la suma matricial es la matriz nula , que tiene todos sus elementos iguales a cero.

Ejemplo:

A y B C

 ^     ^ ^ ^    

Propiedades

Siendo An m (^)  , Bn m (^)  y Cn m (^)  matrices del mismo orden y (^0) n m  la matriz nula del mismo orden, entonces se

cumplen las siguientes propiedades:

1. Asociativa: A  ( B  C )  ( A  B )  C
2. Conmutativa: A  B  B  A
3. Elemento neutro: A  0  A
4. Elemento opuesto: A  ( A )  0

Producto de un número real por una matriz

El producto de un escalar k por una matriz An m (^)  = (aij) es una matriz Bn m (^)  que se obtiene multiplicando el

escalar k por cada uno de los elementos de la matriz An m (^)  ( aij )

k A  n m   Bn m  con k  y siendo bij  k a  ij

Ejemplo:

A y k B k A

 ^   ^ ^  ^    

 ^   ^  ^ ^    

Producto matricial

El producto de una matriz A de orden n x m, por una matriz B de orden m x p es igual a una matriz C de

orden n x p, cuyo elemento genérico cij es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila

i de A por los elementos de la columna j de B de la siguiente forma:

An m (^)   Bm (^)  p  Cn (^)  p siendo cij  ai (^) 1  b 1 (^) j  ai (^) 2  b 2 (^) j  ... aim  bmj

Ejemplo:

1 2 5 y 1 2 5

0 5 3 0 5 3

A A^ t

 ^    

Propiedades

1. Propiedad involutiva : el resultado de transponer dos veces (o un número par de veces) una matriz, es la propia matriz.

( At ) t  A

2. La transpuesta de una suma de matrices es igual a la suma de las transpuestas.

( A  B ) t^  A t^  Bt

3. La transpuesta de un producto de dos matrices es igual al producto de sus matrices transpuestas cambiadas de orden.

( A B  ) t^  B t^  At

Determinante de una matriz cuadrada

A toda matriz cuadrada An n (^)  se le asocia un número llamado determinante de A , que se simboliza como

det  A  o A.

Este número es una característica de la matriz. Nos informa sobre la dependencia o independencia lineal

de las columnas (o de las filas) que forman dicha matriz. Si el determinante es igual a cero diremos que

sus filas (o columnas) son linealmente dependientes (l.d.) y si el determinante es distinto de cero diremos

que sus filas (o columnas) son linealmente independientes (l.i.)

0 matriz singular..

0 matriz regular..

A l d

A l i

El cálculo del determinante se basa en las siguientes propiedades:

Determinante de una matriz de orden 2

11 12 11 22 21 12 21 22

a a A a a a a a a

Ejemplo:

A A

Determinante de una matriz de orden 3

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13

31 32 33

31 22 13 21 12 33 32 23 11

a a a

A a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

Ejemplo:

A A