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Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Matemática
Matemáticas III
Ejercicios: Transformaciones lineales (Parte A)∗
Viernes, 7 de septiembre de 2018
Problemas
Problema 1. En cada caso, justifique adecuadamente la respuesta a la pregunta:
a) Sea T : R^2 → R^3 , la función definida por:
T (x, y) = (x − 2 y, x + y, 1)
¿Es T una transformación lineal de R^2 en R^3?
b) Sea T : R[x] → M 2 (R), la función definida por:
T
p(x)
p(1) p′(0)
0
0 p(u)du
¿Es T una transformación lineal de R[x] en M 2 (R^3 )?
∗@: aam
Problema 2. En cada caso, justifique adecuadamente la respuesta a la pregunta:
a) Sean X un conjunto no vacío, F(X; R) el espacio vectorial de todas las funciones f de X en R y a ∈ X. Definimos la función ev (^) a : F(X; R) → R por: ev (^) a(f ) = f (a) ¿Es ev (^) a una transformación lineal de F(X; R) en R?
b) Sea f : R → R una transformación lineal. Definimos la función Tf : R^2 → M 2 (R) por: Tf (a, b) =
f (a) 0 0 f (b)
¿Es Tf una transformación lineal de R^2 en M 2 (R)?
Problema 3. Considere los siguientes subespacios vectoriales:
U =
p(x) : p′(1) = p′′(1) = 0
≤ R 3 [x]
y: V =
(x, y, z) : x + 2y − z = 0
≤ R^3
Hallar explícitamente, en caso de que sea posible, al menos una transforma- ción lineal T : R 3 [x] → R^3 tal que Ker T = U e Im T = V.
Problema 4.
a) Demuestre el Teorema de la Dimensión. b) Hallar todas las transformaciones lineales de R en R. Justifique.
Problema 5. Sea ~u = (1, −1) ∈ R^2 y considere W el subespacio vectorial de R^2 generado por ~u. Defina TW : R^2 → R^2 como la función TW (~x) = w~, donde w~ satisface la relación:
‖~x − w~‖ ≤ ‖~x − ~y‖, ∀y ∈ W
a) Demuestre que TW es una transformación lineal de R^2 en R^2. b) Hallar una fórmula explícita para TW. c) Calcule el núcleo y la imagen de TW.
