Transformaciones lineales, Esquemas y mapas conceptuales de Análisis Térmico

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Unidad 6

Gu´ıa de

actividades

Unidad 6

Transformaciones lineales

Ejercicio 1. Determinar si la funci´on T es una transformaci´on lineal.

a) T : R^2 → R^2 , T (x 1 , x 2 ) = (x 1 + 3, −x 2 ). b) T : R^3 → R^2 , T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 − x 2 , 2 x 1 ). c) T : R^2 → R^4 , T (x 1 , x 2 ) = (x 1 , x 2 , 0 , 0). d ) T : R^3 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (3x 1 − x 2 , x 3 , 2 x 2 − 3). e) T : R^4 → R^2 , T (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (x 2 − 3 x 2 + x 3 − 2 x 4 , 3 x 1 − 4 x 2 − x 3 + x 4 ) f ) T : R^4 → R^5 , T (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (x 1 , x 1 + x 2 , x 1 + x 2 + x 3 , − 2 x 4 , x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )

Ejercicio 2. En cada caso, hallar la expresi´on funcional de T (~v) = A~v.

a) T : R^2 → R^2 , A =

b) T : R^2 → R^2 , A =

c) T : R^2 → R^2 , A =

d ) T : R^3 → R^3 , A =

e) T : R^3 → R^3 , A =

f ) T : R^3 → R^3 , A =

g) T : R^4 → R^3 , A =

Ejercicio 3. En cada caso, hallar la expresi´on matricial can´onica de T.

a) T : R^2 → R^2 , T (x 1 , x 2 ) = (x 1 + 3x 2 , x 1 − x 2 ). b) T : R^3 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 , x 1 − x 2 , 2 x 2 + x 3 ). c) T : R^3 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 , x 1 + x 2 , x 1 + x 2 + x 3 ). d ) T : R^2 → R^3 , T (x 1 , x 2 ) = (−x 1 + x 2 , x 1 + 3x 2 , x 1 − x 2 ). e) T : R^4 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (x 4 , x 2 , x 1 − x 3 ).

Ejercicio 4. Decidir si existe una transformaci´on lineal T que satisfaga: a) T : R^2 → R^2 , T (1, −1) = (3, 0) y T (2, −2) = (0, −2). b) T : R^3 → R^2 , T (1, − 2 , 0) = (3, 4), T (2, 0 , 1) = (− 1 , 1) y T (0, 4 , 1) = (− 7 , −7). c) T : R^3 → R^3 , T (1, 1 , 1) = (2, 3 , 4), T (0, 1 , 1) = (1, 2 , 1) y T (1, 2 , 2) = (1, 1 , 5). d ) T : R^2 → R^3 , T (1, 1) = (2, 1 , 1), T (1, 0) = (0, 2 , 0) y T (5, 2) = (4, 8 , 2).

Ejercicio 5. Hallar las expresiones funcional y matricial de la transformaci´on lineal T.

a) T : R^3 → R^3 tal que T (1, 0 , 0) = (2, 1 , −1), T (0, 1 , 0) = (3, − 1 , 1) y T (0, 0 , 1) = (0, 0 , 4). b) T : R^3 → R^3 tal que T (2, 0 , 0) = (4, 2 , 2), T (0, 4 , 0) = (1, 1 , 1) y T (0, 0 , 3) = (0, 0 , −1). c) T : R^3 → R^3 tal que T (1, 1 , −1) = (0, 3 , 1), T (1, 0 , 1) = (2, − 1 , 1) y T (1, 1 , 0) = (3, 2 , 4). d ) T : R^2 → R^2 tal que T (1, −1) = (2, 1) y T (1, 1) = (0, 1).

Unidad 6

Ejercicio 12. Hallar una base del n´ucleo y una base de la imagen de T.

a) T : R^3 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 , x 1 − x 2 , 2 x 2 + x 3 ) b) T : R^3 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 + x 3 , 0 , x 2 + 2x 3 ) c) T : R^4 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (x 1 − x 3 , x 2 + 2x 4 , x 1 + x 2 − x 3 + 2x 4 ) d ) T : R^4 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = (x 1 − x 3 , −x 2 + x 4 , x 4 )

Ejercicio 13. Para cada una de las transformaciones lineales T del ejercicio 3, decidir cu´ales son monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos.

Ejercicio 14. Sea T : R^3 → R^3 la transformaci´on lineal con matriz

AT =

2 k − 3

Hallar todos los valores de k ∈ R tales que T es isomorfismo.

Ejercicio 15. Sea T : R^3 → R^3 la transformaci´on lineal tal que T (1, 1 , 1) = (1, 1 , 2), T (1, 2 , 0) = (− 1 , 1 , 1) y T (1, 0 , 0) = (0, 1 , 1+k). Hallar todos los valores de k ∈ R para los cuales T es isomorfismo.

Interpretaci´on geom´etrica

Ejercicio 16. Hallar la imagen del cuadrado unitario de R^2 por la transformaci´on lineal T y calcular su ´area. Graficar.

a) T : R^2 → R^2 , T (x 1 , x 2 ) = (2x 1 , 3 x 2 ) b) T : R^2 → R^2 , T (x 1 , x 2 ) = (2x 1 + x 2 , x 1 + 3x 2 )

Ejercicio 17. Hallar la imagen del cubo unitario de R^3 por la transformaci´on lineal T y calcular su volumen.

a) T : R^3 → R^3 , T (x 1 , x 2 , x 3 ) = (2x 1 , 3 x 2 , 5 x 3 ) b) T : R^3 → R^3 , T (x 1 , x 2 ) = (2x 1 − x 2 + x 3 , x 1 + 2x 2 , x 2 + 3x 3 )

Ejercicio 18. Hallar la expresi´on matricial de

a) La simetr´ıa en R^2 respecto a i) el eje x ii) el eje y iii) la recta y = x iv) la recta y = −x b) La proyecci´on ortogonal en R^2 sobre i) el eje x ii) el eje y c) La simetr´ıa en R^3 respecto al i) el plano xy ii) el plano xz iii) el plano yz d ) La proyecci´on ortogonal en R^3 sobre i) el plano xy ii) el plano xz iii) el plano yz

Ejercicio 19. Hallar la imagen del vector (3, −4) cuando se lo hace girar, en el sentido contrario al de las agujas del reloj, con un ´angulo de:

a)

π 6

b)

π 4

c)

π 2

d) π

En cada caso, dar la expresi´on matricial en R^3 de la rotaci´on correspondiente al ´angulo dado.

Unidad 6

Ejercicio 20. Hallar la expresi´on matricial de la rotaci´on de ´angulo

a) π 6 en sentido contrario al de las agujas del reloj con respecto al eje x. b) π 4 en sentido contrario al de las agujas del reloj con respecto al eje y. c) π 2 en sentido contrario al de las agujas del reloj con respecto al eje z.

Ejercicio 21. Hallar la expresi´on matricial de la transformaci´on lineal en R^2 que produce

a) un deslizamiento cortante con un factor de

i) k = 4 en la direcci´on y ii) k = −2 en la direcci´on x

b) una dilataci´on de factor

i) k = 2 ii) k = 2 en la direcci´on x

c) una contracci´on de factor

i) k =

ii) k =

en la direcci´on y

Ejercicio 22. Hallar la imagen del rect´angulo con v´ertices (0, 0), (1, 0), (1, 2) y (0, 2) bajo

a) una simetr´ıa con respecto a la recta y = x. b) una rotaci´on de ´angulo π 4 en sentido contrario al de las agujas del reloj. c) una contracci´on con factor 12 en la direcci´on y. d ) una dilataci´on con factor 3 en la direcci´on x. e) un deslizamiento cortante con factor 2 en la direcci´on x. f ) un deslizamiento cortante con factor 1 en la direcci´on y.

Composici´on e Inversa

Ejercicio 23. Sean las transformaciones lineales T 1 : R^2 → R^2 , T 1 (x 1 , x 2 ) = (x 1 − x 2 , x 1 + 2x 2 ),

T 2 : R^3 → R^2 , T 2 (~v) =

· ~v, y T 3 : R^2 → R^3 tal que AT 3 =

. Hallar las

expresiones matriciales de T 1 ◦ T 1 , T 2 ◦ T 3 y T 3 ◦ T 2.

Ejercicio 24. Encontrar la matriz para la composici´on de transformaciones lineales de R^2 que se indica.

a) Una rotaci´on de ´angulo π 2 en sentido contrario al de las agujas del reloj seguida de una simetr´ıa con respecto a la recta y = x. b) Una proyecci´on ortogonal sobre el eje y seguida de una contracci´on con factor k = 12. c) Una simetr´ıa con respecto al eje x seguida de una dilataci´on con factor k = 3. d ) Una rotaci´on de ´angulo π 3 en sentido contrario al de las agujas del reloj seguida de una pro- yecci´on ortogonal sobre el eje x , seguida de una simetr´ıa con respecto a la recta y = x. e) Una dilataci´on de factor k = 2 seguida de una rotaci´on de ´angulo π 4 en sentido contrario a las agujas del reloj seguida de una simetr´ıa con respecto al eje y. f ) Una rotaci´on de ´angulo 12 π en sentido contrario al de las agujas del reloj seguida de una rotaci´on de ´angulo 712 π en sentido contrario al de las agujas del reloj, seguida de una rotaci´on de ´angulo π 3 en sentido contrario al de las agujas del reloj.