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333 IIINCUMPLIMIENTO DE LAS HIPÓTESIS CLÁSICASNNCCUUMMPPLLIIMMIIEENNTTOO DDEE LLAASS HHIIPPÓÓTTEESSIISS CCLLÁÁSSIICCAASS
3.2 Heterocedasticidad
3.2.1 Heterocedasticidad
Un modelo heterocedástico^1 es aquel en el que la varianza de las perturbaciones no es constante ( ), aunque la matriz de varianzas covarianzas es diagonal ( ).
E ^2 t ^2 ó algún t
E (^) t s= 0 t s El modelo sería Y = X + , con N(0,V) donde la matriz V viene dada por:
V = = diag( 12 ,...,^2 T ) T^2 TxT
2
(^21)
2
Multiplicando y dividiendo por ^2 :
V = =^2 T=^2 diag( 11 ,..., TT ) TT TxT
22
11 2
TxT
(^2) T
2
12
2
22
2 2
Donde: (^) TxT es una matriz no singular y definida positiva, cuyos elementos diagonales no son todos iguales entre sí (incumpliendo la hipótesis de homocedasticidad: algún t ), pero los elementos no diagonales son todos nulos (cumpliendo la hipótesis de incorrelación entre las perturbaciones: t s
^2 ó
s=^0
E ^2 t
E t ).
(^1) La hipótesis de homocedasticidad del Modelo Clásico es una hipótesis de comportamiento muy restrictiva y en algunos casos poco realista, sobre todo, si se trabaja con datos de corte transversal.
Mª Victoria Verdugo Matés y Mª Isabel Cal Bouzada
^2 representa la media de las varianzas de todas las observaciones
= 2 t
(^2) t
tt es la ratio entre la varianza de esa observación y la varianza promedio
Si todas las fueran distintas, sería imposible estimarlas, pues no se tendría un número
de datos suficiente. El número de datos es T y el número de parámetros a estimar seria T+K+1 (T varianzas y K+1 coeficientes de los regresores):
^2 t
T < T+K+1 Modelo no identificado
Ello obliga a suponer algún tipo de estructura para la heterocedasticidad (forma funcional), con el fin de reducir el número de parámetros a estimar.
El esquema a seguir será el siguiente:
- Detectar la heterocedasticidad.
- Analizar las causas que provocan problemas de heterocedasticidad en el modelo.
- Analizar las consecuencias de que el modelo presente problemas de heterocedasticidad.
- Estudiar las soluciones al problema de la heterocedasticidad en el modelo.
3.2.2 Causas de la Heterocedasticidad
Las causas más frecuentes que provocan problemas de heterocedasticidad son:
- La dispersión de las perturbaciones puede crecer a medida que crecen los valores de una variable explicativa.
- La información muestral consta de datos agregados procedentes de distintas submuestras.
- Existencia de un cambio estructural (alguno de los coeficientes no es realmente una constante , sino una variable aleatoria).
- Que la variable dependiente sea una variable cualitativa.
Mª Victoria Verdugo Matés y Mª Isabel Cal Bouzada
3.2.4.1 Método gráfico
Es un método informal, pero de gran utilidad para diagnosticar la heterocedasticidad, determinar su estructura y ayudar a solucionar el problema.
Se pueden utilizar varios tipos de gráficos:
- Gráficos de las variables
- Gráficos de los residuos
- Gráficos de los residuos al cuadrado
- Gráficos de media y varianza
3.2.4.1.1 Gráficos de las variables
En los gráficos de las variables se representa la variable dependiente respecto a variables exógenas. La nube de puntos puede ayudar a vislumbrar si existe o no un problema de heterocedasticidad y, si existe de que tipo.
La forma funcional del gráfico sugiere el tipo de heterocedasticidad.
4
(^4) Crece al alejarse de la media tanto por un lado como por otro.
HETEROCEDASTICIDAD
3.2.4.1.2 Gráficos de los residuos
En los gráficos de los residuos se representan los residuos respecto a los valores estimados del regresando. La nube de puntos puede ayudar a vislumbrar si existe o no un problema de heterocedasticidad.
El tipo de heterocedasticidad que con más facilidad se descubre utilizando estos gráficos es la creciente (si al aumentar los valores estimados del regresando aumenta la dispersión entre los residuos, es un síntoma bastante claro de heterocedasticidad).
3.2.4.1.3 Gráficos de residuos al cuadrado
En los gráficos de los residuos al cuadrado se representan los residuos al cuadrado respecto a los valores estimados del regresando o los valores de alguna variable de la que se sospecha es la causante de la heterocedasticidad. La nube de puntos puede ayudar a vislumbrar si existe o no un problema de heterocedasticidad y, si existe de que tipo.
La forma funcional del gráfico sugiere el tipo de heterocedasticidad.
HETEROCEDASTICIDAD
- Test de heterocedasticidad para modelos aditivos de la varianza en función del logaritmo de los valores estimados del regresando
- Test de Breusch-Pagan
- Test ARCH
- Test de Harvey
- Test de Glejser
- Contraste de White
- Test de Bartlett
- Prueba de correlación de rango de Spearman
3.2.4.2.1 Contraste de White
Es un contraste general ya que en principio no se establece estructura para la heterocedasticidad.
Las hipótesis a contrastar son:
H 0 : Existe homocedasticidad ( ^2 t = ^2 t=1,...,T )
H 1 : Existe heterocedasticidad ( ^2 t ^2 s óalgúnt s )
Los pasos a seguir para realizar el contraste son:
- Estimar el modelo original por MCO y obtener la serie de residuos MCO ( et ).
- Formular la regresión auxiliar, considerando las variables explicativas, sus cuadrados y sus productos cruzados como variables independientes en la regresión auxiliar de los residuos al cuadrado (
).
e 2 / X 0 X 1 X 2 X^21 X^22 X 1 X 2 X (^) Kt 1 X 12 t ... KXKt^2 1 X 1 tX 2 t ... n K t Kt t
t t t K X X u
e X X
( 1 )
Mª Victoria Verdugo Matés y Mª Isabel Cal Bouzada
- Calcular el estadístico^5 , donde p es el número de variables
explicativas de la regresión auxiliar.
LM TR^2 sd ^2 p
- Aplicar la regla de decisión:
Si LM =TR^2 < ^2 p( ) Se acepta la hipótesis nula de homocedasticidad
Si se acepta heterocedasticidad se tendrá en cuenta la “estructura aceptada de heterocedasticidad” para llevar a cabo la nueva estimación del modelo.
3.2.5 Algunas soluciones a la Heterocedasticidad
- Estimadores robustos
- Estimadores MCG
(^5) Bajo la hipótesis de homocedasticidad y normalidad de las perturbaciones.
