Raó doble - Apuntes de Geometría

Raz´on doble y permutaciones

1. Sean Q1,Q2,Q3,Q4cuatro puntos distintos de una recta proyectiva

P1sobre un cuerpo conmutativo Ko, lo que es lo mismo, cuatro subespa-

cios de dimensi´on 1 de un K-espacio vectorial Ede dimensi´on 2. Existen

elementos x,yen Etales que Q1= [x], Q2= [y], Q3= [x+y] y existe un

elemento ρen K− {0,1}, y uno s´olo, tal que Q4= [ρx+y]. Se dice de ρ

que es la raz´on doble de la sucesi´on de puntos (Q1, Q2, Q3, Q4) y se indica

por la notaci´on [Q1, Q2, Q3, Q4].

2. Conviene tener en cuenta unas pocas observaciones sencillas

•La existencia de cuatro puntos distintos en la recta proyectiva significa

que el cuerpo Kes distinto de F2.

•El par (x,y) de la secci´on anterior est´a definido salvo un factor de

proporcionalidad de modo que el coeficiente ρes el mismo si ese par

se reemplaza por otro que cumpla la condici´on de que la suma de sus

elementos representa al tercer punto. Uno cualquiera de esos pares es lo

que acostumbra a llamarse una base adaptada al sistema de referencia

proyectivo formado por los tres primeros puntos.

•Dado el sistema de referencia proyectivo (Q1, Q2, Q3) la aplicaci´on

Q−→ [Q1, Q2, Q3, Q] establece una biyecci´on entre P1−{Q1, Q2, Q3}y

K− {0,1}que se extiende trivialmente a una biyecci´on entre P1−Q2

yKy, a continuaci´on, a una biyecci´on entre P1yKt ∞. Para evitar

complicaciones, derivadas de la neesidad de considerar un gran n´umero

de casos particulares, nos limitaremos, como hemos hecho desde el prin-

cipio, al caso en que los cuatro puntos que consideramos son distintos.

3. Se trata de analizar el comportamiento de la raz´on doble respecto

a las permutaciones de los puntos. En t´erminos m´as precisos, con las nota-

ciones anteriores, para cada permutaci´on σdel conjunto {1,2,3,4}, ponemos

ρσpara indicar la raz´on doble [Qσ(1), Qσ(2) , Qσ(3), Qσ(4) ] y queremos calcu-

lar ρσpara cada σ∈S4. Naturalmente, como mucho nos aparecer´an 24

elementos pero vamos a ver que en realidad hay bastantes repeticiones.

4. La primera observaci´on para resolver esa cuesti´on es que si σyτ

son dos permutaciones tenemos la igualdad ρστ = (ρτ)σ. Esto se comprende

bien: al aplicar τla raz´on doble ρse convierte en ρτy al aplicar a conti-

nuaci´on σesta ´ultima se convierte en (ρτ)σ. Puesto que cada permutaci´on

descompone en producto de trasposiciones la determinaci´on de ρτpara las

diferentes trasposiciones τpermitir´a calcular ρσpara cada permutaci´on σ.

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Raz´on doble y permutaciones

Sean Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 cuatro puntos distintos de una recta proyectiva P 1 sobre un cuerpo conmutativo K o, lo que es lo mismo, cuatro subespa- cios de dimensi´on 1 de un K-espacio vectorial E de dimensi´on 2. Existen elementos x, y en E tales que Q 1 = [x], Q 2 = [y], Q 3 = [x + y] y existe un elemento ρ en K − { 0 , 1 }, y uno s´olo, tal que Q 4 = [ρx + y]. Se dice de ρ que es la raz´on doble de la sucesi´on de puntos (Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 ) y se indica por la notaci´on [Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q 4 ].
Conviene tener en cuenta unas pocas observaciones sencillas

La existencia de cuatro puntos distintos en la recta proyectiva significa que el cuerpo K es distinto de F 2.
El par (x, y) de la secci´on anterior est´a definido salvo un factor de proporcionalidad de modo que el coeficiente ρ es el mismo si ese par se reemplaza por otro que cumpla la condici´on de que la suma de sus elementos representa al tercer punto. Uno cualquiera de esos pares es lo que acostumbra a llamarse una base adaptada al sistema de referencia proyectivo formado por los tres primeros puntos.
Dado el sistema de referencia proyectivo (Q 1 , Q 2 , Q 3 ) la aplicaci´on Q −→ [Q 1 , Q 2 , Q 3 , Q] establece una biyecci´on entre P^1 − {Q 1 , Q 2 , Q 3 } y K − { 0 , 1 } que se extiende trivialmente a una biyecci´on entre P^1 − Q 2 y K y, a continuaci´on, a una biyecci´on entre P^1 y K t ∞. Para evitar complicaciones, derivadas de la neesidad de considerar un gran n´umero de casos particulares, nos limitaremos, como hemos hecho desde el prin- cipio, al caso en que los cuatro puntos que consideramos son distintos.

Se trata de analizar el comportamiento de la raz´on doble respecto a las permutaciones de los puntos. En t´erminos m´as precisos, con las nota- ciones anteriores, para cada permutaci´on σ del conjunto { 1 , 2 , 3 , 4 }, ponemos ρσ para indicar la raz´on doble [Qσ(1), Qσ(2), Qσ(3), Qσ(4)] y queremos calcu- lar ρσ para cada σ ∈ S 4. Naturalmente, como mucho nos aparecer´an 24 elementos pero vamos a ver que en realidad hay bastantes repeticiones.
La primera observaci´on para resolver esa cuesti´on es que si σ y τ son dos permutaciones tenemos la igualdad ρστ = (ρτ )σ. Esto se comprende bien: al aplicar τ la raz´on doble ρ se convierte en ρτ y al aplicar a conti- nuaci´on σ esta ´ultima se convierte en (ρτ )σ. Puesto que cada permutaci´on descompone en producto de trasposiciones la determinaci´on de ρτ para las diferentes trasposiciones τ permitir´a calcular ρσ para cada permutaci´on σ.

Mantenemos en lo que sigue las notaciones de la secci´on 1. Si cambiamos entre ellos los dos primeros pasamos de la base (x, y) por la base (y, x) de modo que el vector ρx + y que representa a Q 4 debe cambiarse por ρ−^1 y + x. Si cambiamos entre s´ı los dos ´ultimos para que la base sea adaptada al sistema de referencia proyectivo (Q 1 , Q 2 , Q 4 ) debe cambiarse x por ρx y luego se tiene x + y = ρ−^1 ρx + y. Concluimos, pues, que si σ es una de las trasposiciones (1, 2), (3, 4) es ρσ = ρ−^1.
Si cambiamos los puntos segundo y tercero la igualdad y = −x + (x+y) nos dice que (−x, x+y) es una base adaptada al sistema de referencia (Q 1 , Q 3 , Q 2 ) y la igualdad ρx + y = (1 − ρ)(−x) + (x + y) nos dice que la raz´on doble es en este caso igual a 1 − ρ.
Para obtener el valor de la raz´on doble para las trasposiciones restantes observamos las descomposiciones

(1, 3) = (2, 3)(1, 2)(2, 3), (2, 4) = (2, 3)(3, 4)(2, 3), (1, 4) = (2, 4)(1, 2)(2, 4)

(recordar la igualdad σ(a 1 ,... , a)σ−^1 = (aσ(1),... , aσ()) v´alida para cada ciclo y para cada permutaci´on σ) y obtenemos los valores −ρ(1 − ρ)−^1 para las dos primeras y 1 − ρ para la ´ultima. Por ejemplo, en la primera pasamos de ρ a 1−ρ, por la trasposici´on (2, 3), y luego a (1−ρ)−^1 , por la trasposici´on (1, 2), y, finalmente, a 1 − (1 − ρ)−^1 = −ρ(1 − ρ)−^1.

De los valores obtenidos resulta inmediatamente que es ρσ = ρ para cada una de las permutaciones (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3). En otras palabras: todos los elementos del llamado grupo de Klein (la identidad y los productos de dos trasposiciones disjuntas) dan el mismo valor para la raz´on doble.
Nos queda por determinar el valor de las razones correspondientes a los ciclos de longitudes 3 y 4. Los primeros son 8 repartidos en 4 conjuntos cada uno formado por un ciclo y sus inverso. Por ejemplo, para el ciclo (1, 2 , 3) = (1, 2)(2, 3) se obtiene (1 − ρ)−^1 y para su inverso (1, 3 , 2) = (2, 3)(1, 2) resulta 1 − ρ−^1. Basta, para llegar all´ı, hacer la composici´on teniendo en cuenta los valores obtenidos para las trasposiciones. Para los restantes pares de ciclos el resultado es id´entico con el primero de los valores anteriores para los ciclos (1, 4 , 2), (1, 3 , 4), (2, 4 , 3) y el segundo para sus inversos (1, 2 , 4), (1, 4 , 3), (2, 3 , 4).
Los ciclos de longitud 4 son 6 con repartidos en 3 conjuntos cada uno con un ciclo y su inverso. Para el ciclo (1, 2 , 3 , 4) se obtiene el valor ρ(ρ−1)−^1 , utilizar la descomposici´on del ciclo en el producto (1, 2)(2, 3)(3, 4) y el mismo valor se obtiene para su inverso. Lo mismo ocurre en los restantes

la igualdad X^3 − 1 = (X − 1)^3 de manera que tales ra´ıces no existen y la igualdad que nos ocupa es imposible. Si K es de caracter´ıstica 2 nuestro polinomio es X^2 + X + 1 y el cuerpo F 4 es justamente el obtenido por adjunci´on a F 2 de las ra´ıces de este polinomio; en este caso s´olo hay dos elementos no nulos de modo que la lista de valores es bien corta. Entre los cuerpos de caracter´ıstica 2 los hay que contienen a tales ra´ıces y los hay que no. Finalmente, si K es de caracter´ıstica distinta de 2 y de 3 las ra´ıces c´ubicas de la unidad son todas simples y tambi´en hay cuerpos que contienen a las tres, como ocurre con el cuerpo complejo, o, como en el caso del cuerpo real o del cuerpo racional, hay cuerpos que s´olo tienen la ra´ız c´ubica de 1 que es igual a 1.

En resumen, en los casos que aqu´ı m´as nos interesan, el resultado es el siguiente:

Para el cuerpo real R, a partir de un valor ρ de la raz´on doble, por lo tanto diferente de 0 y de 1, obtenemos 6 valores distintos excepto en los casos ρ = −1, ρ = 12 , ρ = 2 en los que a partir de uno de ellos obtenemos los otros dos. Esta excepci´on es la de la cuaterna arm´onica.
Para el cuerpo complejo C tenemos otra excepci´on: a partir de −j o de −j^2 se obtiene s´olo −j^2 y −j respectivamente.

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