Universidad Rey Juan Carlos
Grado en Ingeniería de Computadores
Estructuras de Datos (Curso 1º)
Curso 2009/10
Examen Final Junio
28-6-2010
Normas:
• La duración del examen es de 2 horas y 30 minutos.
• Cada ejercicio se entregará en hojas separadas.
Ejercicio 1 (Puntuación: 2 puntos)
Sabiendo que la función “Lineal” tiene complejidad O(n) y por tanto un coste c*n, calcular el orden de complejidad en
notación O del procedimiento “Recursivo” que se presenta a continuación:
PROCEDURE Recursivo (VAR A: INTARRAY; inicio, fin: INTEGER);
VAR punto_medio: INTEGER;
BEGIN
IF (inicio < fin) THEN
BEGIN
punto_medio := (inicio + fin) div 2;
Recursivo(A, inicio, punto_medio);
Recursivo(A, punto_medio + 1, fin);
Lineal(A, inicio, punto_medio, fin);
END;
END;
Solución: El procedimiento es recursivo y para obtener la complejidad tenemos que plantear las ecuaciones de recurrencia.
En el caso base (inicio = fin) el problema tiene tamaño 1 mientras que en el caso recursivo, el problema pasa de tener tamaño n
a tener tamaño n/2 en las llamadas recursivas. Esto es así p orque se toma en punto medio y la mitad del problema (inicio hasta
punto_medio) se le pasa a una llamada recursiva y la otra mitad (punto_medio +1 a fin) a otra llamada recursiva. Una vez
retornan las llamadas recursivas hay una llamada de O(n) a “Lineal”.
Por tanto las ecuaciones de recurrencia quedan como sigue:
Expansión de recurrencias
Si n>1:
T(n) = 2T(n/2) + n =
= 2[ 2T(n/4) + n/2] + n = 4T(n/4) + 2n = 2
2
T
A
(n/2
2
) + 2n
= 2
2
[2T(n/8) + n/4] + 2n = 8T(n/8) + 3n =2
3
T
A
(n/2
3
) + 3n
= 2
3
[2T(n/16) + n/8] + 3n = 2
4
T(n/2
4
) + 4n
Es decir la expansión de recurrencias nos deja una fórmula como la que sigue:
La recursión parará cuando n=1, con lo que tendremos
n/2
k
=1 => 2
k
=n => k = log
2
n
Y con ese valor de k podremos resolver la ecuación de recurrencias:
Y por tanto como T
A
(n) Є O(n log(n) ).
T
n
=
{
1, n=1
2T
n/2
+n, n>1
}
T
n
=2
k
T
n
2
k
+kn
T
n
=2
log
2
n
T
1
+n log
2
n=n+n log
n
