Primer parcial de L´ogica
Grado en Matem´aticas
30 de octubre de 2015
1. (2 puntos) Sea N={1,2,3, . . . }el conjunto de los n´umeros naturales. Consideramos la relaci´on binaria
R={(x, y)∈N2/(x=y)∨(x= 2y)}
a) Determina dom(R) e im(R).
b) Sea P⊆Nel conjunto formado por los n´umeros naturales pares. Determina R(P) y R−1(P).
c) Determina si Res reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica y transitiva. Para cada propiedad, demuestra
tu respuesta.
d) ¿Es Rde equivalencia? ¿Es de orden? ¿Es de orden total? ¿Es una funci´on? Justifica tus respuestas.
2. (2 puntos) Sean A, B dos conjuntos no vac´ıos y f:A−→ Buna funci´on. Demuestra que ftiene inversa
si y solo si fes biyectiva.
3. (2 puntos) Sea Lel conjunto de las f´ormulas bien construidas de la l´ogica proposicional.
a) Define por recursi´on una funci´on a:L−→ N∪ {0}que, dada ϕ∈L, devuelva el n´umero de aristas
del ´arbol estructural de ϕ.
b) Define por recursi´on una funci´on d:L−→ N∪ {0}que, dada ϕ∈L, devuelva la suma de los
grados de todos los v´ertices del ´arbol estructural de ϕ. (Recuerda que el grado de un v´ertice es el
n´umero total de aristas que inciden en ese v´ertice).
c) Demuestra por inducci´on que, para cualquier ϕ∈L, se cumple d(ϕ) = 2a(ϕ). ¿Puedes dar una
explicaci´on informal de por qu´e sucede esto?
4. (2 puntos) Dadas ϕ, ψ ∈L, escribe las definiciones de:
ψes consecuencia l´ogica de ϕ(ϕ|=ψ)
ϕes equivalente a ψ(ϕ≡ψ)
Dadas las f´ormulas
ϕ:p→(q∧ ¬r)
ψ:¬p∨(¬r∨q)
determina razondamente si ϕ|=ψ, si ψ|=ϕy si ϕ≡ψ.
5. (2 puntos) Formaliza el siguiente razonamiento y estudia su validez utilizando tableaux: “Si eres aliado
de los Tyrel l tambi´en lo eres de los Lannister. Eres aliado de los Bolton solo si lo eres de los Frey. Es
suficiente que seas aliado de los Frey o los Lannister para que te odien los Stark. Es sabido que eres
aliado de los Bolton o los Tyrel l. As´ı pues, los Stark te odian.”
6. (Extra: subir nota) Sean A, B, C tres conjuntos no vac´ıos y f:A−→ Byg:B−→ Cdos funciones.
Di si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones. Si la respuesta es afirmativa, demu´estrala, y, si es
negativa, da un contraejemplo:
a)g◦finyectiva ⇒finyectiva
b)g◦finyectiva ⇒ginyectiva