Diseño de Compensadores: Método de los Diagramas de Bode, Resúmenes de Sistemas de Control

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DISEÑO DE

COMPENSADORES –

MÉTODO DE LOS

DIAGRAMAS DE BODE

INTRODUCCIÓN

• De la respuesta transitoria: MF, MG y Mr.
• Que estiman la velocidad de respuesta

transitoria: ωg, ωr y BW.

• Que proporcionan la precisión en estado

estacionario: Kp, Kv, Ka.

Especificaciones en el dominio de frecuencia.

• Compensador de adelanto de fase.
• Compensador de retardo de fase.
• Compensador de adelanto-retardo

de fase.

Tipos de Compensación

Diagrama polar de un compensador de adelanto (jωT + 1 )/(jωT + 1 ), 0 << 1.       1 1 m Sen         T T m   1 log 1 log 2 1 log T m   1   m : Ángulo de adelanto de fase máximo, ω m : Frecuencia en el ángulo de adelanto de fase máximo El valor mínimo de  se toma cerca de 0. 05 (la fase mínima que produciría el compensador es 65 º). AJUSTE POR EL DIAGRAMA DE BODE

Diagrama de Bode de un compensador de adelanto , 1 1   j T j T     donde  = 0. 1. AJUSTE POR EL DIAGRAMA DE BODE

AJUSTE POR EL DIAGRAMA DE BODE

3. Determine el ángulo de adelanto de fase que es necesario se añada al sistema. Incremente un adelanto de fase adicional de 5 º a 12 º al ángulo requerido, este ángulo sería la fase máxima φm
4. De la ecuación: sen 𝜑𝑚 = 1 −𝛼 1 +𝛼 , calcule . Determine la frecuencia donde la magnitud del sistema no compensado G 1 (jω) es igual a − 20 𝑙𝑜𝑔 1 𝛼

5. Seleccione la frecuencia obtenida en 4 como la nueva frecuencia de cruce de ganancia 𝜔𝑚 = 1 𝛼𝑇 y obtenga las frecuencias del compensador 𝜔 1 = 1 𝑇 y 𝜔 2 = 1 𝛼𝑇

AJUSTE POR EL DIAGRAMA DE BODE

5. Usando el valor de K y de  determinados en 1 y 4 , respectivamente; calcule K c

6. Verifique si el margen de ganancia es satisfactorio. Caso contrario, repita el proceso modificando la localización de polos – ceros del compensador. NOTA: La adición del compensador desplaza la frecuencia de cruce de ganancia hacia la derecha y disminuye el margen de fase.

2 ) Se encuentra la ganancia K que junto con el sistema cumplan con la constante de error estático de velocidad. 𝐾𝑣 = lim 𝑠→ 0 𝑠𝐺𝑐 𝑠 𝐺 𝑠 = lim 𝑠→ 0

𝐾𝐺 𝑠 = lim 𝑠→ 0

3 ) Se realiza el diagrama de Bode del sistema a compensar con la ganancia K. 𝐾𝐺 𝑠 =

Compensadores en adelanto

Diagrama de Bode Compensadores en adelanto

6 .- Se calcula el cambio de magnitud que se obtiene al agregar el compensador. Entonces: 20 log( (^) ൗ

) = 20 log( (^) ൗ

Se observa en el diagrama de Bode la frecuencia a la magnitud de − 20 log (^) ൗ 1 𝛼 y se define ésta como la nueva frecuencia de cruce de ganancia; siendo: 𝜔𝑐 = 9. 77 ൗ

A esta frecuencia debe ocurrir el máximo aumento de fase 𝜑𝑚. En otras palabra 𝜔𝑐 es la frecuencia media entre frecuencia de corte del cero y del polo. Compensadores en adelanto

Compensadores en adelanto 𝜔𝑚 =

7 .- Se obtiene el cero y el polo del compensador: 𝑐𝑒𝑟𝑜

8 .- Con 𝛼 y 𝐾 se obtiene la ganancia del compensador 𝐾𝑐 =

Y el compensador es: 𝐺𝑐 𝑠 = 22. 16

DISEÑO DE COMPENSADORES DE RETARDO DE FASE

Diagrama polar del compensador de retardo. Diagrama de Bode del compensador de retardo con K c = 1 y β =10.

PROCEDIMIENTO

1. Determine K a partir de los requisitos sobre la constante de error estático.
2. Si el sistema no compensado pero ajustado en ganancia G 1 (jω) = KG(jω) no satisface las especificaciones de MF y MG, halle la frecuencia donde el ángulo de fase de la F.T de lazo abierto es igual a – 180 más el margen de fase requerido.
3. El MF requerido es el especificado más 5 °a 12 ° que compensa al retardo de fase del compensador. Seleccione esta frecuencia como nueva frecuencia de cruce de ganancia. NOTA: El polo y cero del compensador deben ubicarse sustancialmente por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

4. Seleccione la frecuencia de quiebre ω = 1 /T, entre una octava y una década por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia.

• Al seleccionarse el polo y el cero del compensador suficientemente pequeños, el retardo de fase ocurre en la región de bajas frecuencias de manera que no afecta al margen de fase.

5. Determine la atenuación necesaria para llevar la curva de magnitud a 0 dB en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Si se considera que esta atenuación es de – 20 log β; determine el valor de β. Luego la otra frecuencia de cruce se determina de ω = 1 /(βT)

6. Usando el valor de K determinado en 1 y β determinado en 5 ; calcule K

C

desde K

C

= K/β.