Cálculo Doble Integral en Coordenadas Cartesianas y Cambio a Esféricas y Cilíndricas - Pro, Apuntes de Cálculo

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Integrales triples

V una regi´on de R

3 y f : V −→ R un campo escalar integrable sobre V ,

entonces (^) ∫ ∫ ∫

V

f =

V

f (x, y, z)dxdydz

Caso particular

Si f (x, y, z) = 1 entonces

V

dxdydz = Volumen del recinto V

V = [0, 1] × [0, 2] × [0, 3] =

(x, y, z) ∈ R

3 | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 3

y f (x, y, z) = x 2

• yz.

Calcular

V

f (x, y, z)dxdydz

v

f =

0

0

0

f (x, y, z)dx dydz =

3

0

2

0

[

x

3

• xyz

] 1

0

dydz =

0

• yz

dy dz =

0

[

y +

y

2

z

] 2

0

dz =

3

0

• 2z

dz =

[

z + z

2

] 3

0

Regiones simples de R

Para cualquier permutaci´on de x, y y z (P 3 = 3! = 6)

V =

{ (x, y, z) ∈ R

3

∣ ∣ ∣a ≤ x ≤ b, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x), h 1 (x, y) ≤ z ≤ h 2 (x, y)

}

V

f =

∫ (^) b

a

∫ (^) g 2 (x)

g 1 (x)

∫ (^) h 2 (x,y)

h 1 (x,y)

f (x, y, z)dzdydx

Cambio a coordenadas esf´ericas (ρ, s, t)

x = ρ sin s cos t

y = ρ sin s sin t

z = ρ cos s

con

ρ ≥ 0

0 ≤ s ≤ π

0 ≤ t ≤ 2 π

(´o − π ≤ t ≤ π)

Observaciones: x 2

• y 2
• z 2 = ρ 2

Jacobiano del cambio

Definici´on

Se llama jacobiano del cambio a coordenadas esf´ericas al determinante:

∂(x, y, z)

∂(ρ, s, t)

∂x

∂ρ

∂y

∂ρ

∂z

∂ρ ∂x

∂s

∂y

∂s

∂z

∂s ∂x

∂t

∂y

∂t

∂z

∂t

sin s cos t sin s sin t cos s

ρ cos s cos t ρ cos s sin t −ρ sin s

−ρ sin s sin t ρ sin s cos t 0

= ρ

2 sin s

Teorema

Cambio de variables Si V

∗ es la expresi´on de V en coordenadas esf´ericas

(ρ, s, t), entonces:

∫ ∫ ∫

V

f (x, y, z) dxdydz =

∫ ∫ ∫

V ∗

ρ

2 sin s f (ρ sin s cos t, ρ sin s sin t, ρ cos s)dρdsdt

Cambio a coordenadas cil´ındricas ( r, t , z)

x = r cos t

y = r sin t

z = z

con

r ≥ 0

0 ≤ t ≤ 2 π

(´o − π ≤ t ≤ π)

Observaciones: x

2

• y

2 = r

2