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5.5 Integraci´on num´erica
M´etodos de Newton-Cˆotes
De cara a calcular la integral definida:
∫ b
a
f (x) dx
se llaman M´etodos de Newton-Cˆotes a los que se basan en integrar, en lugar de la funci´on
dada f (x), un polinomio de interpolaci´on que aproxime a f (x) en [a, b]. Se trata por
tanto de toda una familia general de m´etodos, seg´un el polinomio de interpolaci´on que se
considere (puede elegirse diferente grado, diferentes puntos para interpolar, etc.). Para
el caso de las interpolaciones lineal y cuadr´atica, estos m´etodos se denominan M´etodo
de los Trapecios y M´etodo de Simpson, respectivamente.
M´etodo de los trapecios
Como se ha comentado, el M´etodo de los trapecios es un M´etodo de Newton-Cˆotes
basado en la interpolaci´on lineal.
La idea esencial por tanto, de cara a integrar f (x) desde el punto (a, f (a)) hasta
(b, f (b)), es aproximar f (x) por su polinomio de interpolaci´on lineal en [a, b] (ver figura).
f (x) ≈ P 1 (x) =
x − b
a − b
f (a) +
x − a
b − a
f (b) , ∀x ∈ [a, b]
y as´ı:
I =
∫ b
a
f (x) dx ≃
∫ b
a
P 1 (x) dx =
b − a
(f (a) + f (b))
a b x
fHxL
a b x
P 1 HxL
En definitiva se trata de aproximar el valor de la integral I por el ´area del trapecio
que determinan las rectas x = a, x = b, el eje de abscisas y la recta que une los puntos:
(a, f (a)) y (b, f (b)).
Si recordamos la expresi´on del error de la interpolaci´on lineal, suponiendo que f (x)
es continua y derivable dos veces en el intervalo [a, b]:
f (x) = P 1 (x) + ε(x)
ε(x) =
f ′′(ξ)
(x − a)(x − b), a ≤ ξ ≤ b
Tendremos entonces que:
I =
∫ b
a
f (x)dx =
b − a
(f (a) + f (b)) + E
donde el error de la integraci´on num´erica E ser´a, obviamente:
E =
∫ b
a
ε(x)dx =
f ′′(ξ)
∫ b
a
(x − a)(x − b) dx
Integrando en esta ´ultima expresi´on y denominando h = b − a se concluye f´acilmente
en que:
E = −
h^3
f ′′(ξ) ⇒ |E| ≤
h^3
M 2
siendo M 2 el valor m´aximo que alcance la derivada segunda de la funci´on en el intervalo
dado [a, b].
M´etodo de los Trapecios compuesto
Si el intervalo en el que se realiza la integral es grande, el M´etodo de los Trapecios Simple
suele ser muy impreciso. Para mejorar la exactitud, es posible subdividir el intervalo en
otros m´as peque˜nos y aplicar en cada uno de ellos el M´etodo simple.
De esta manera, el M´etodo de los Trapecios compuesto o generalizado consiste en
tomar una partici´on P = {x 0 , x 1 ,... , xn} de [a, b], (x 0 = a, xn = b), equiespaciada, es
decir: xi+1 − xi = h, ∀i = 1,... , n. Tendremos as´ı que:
h =
b − a
n
Teniendo en cuenta las propiedades b´asicas de la integral definida:
∫ b
a
f (x) dx =
∫ x 1
x 0
f (x)dx +
∫ x 2
x 1
f (x)dx +... +
∫ xn
xn− 1
f (x)dx
y aplicando a cada integral el M´etodo simple:
∫ b
a
f (x) dx ≈
h
(f (x 0 ) + f (x 1 )) +
h
(f (x 1 ) + f (x 2 )) +... +
h
(f (xn− 1 ) + f (xn)) =
h
(f (x 0 ) + 2 (f (x 1 ) + f (x 2 ) +... + f (xn− 1 )) + f (xn))
x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8
- 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1. f (x 0 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 4 ) f (x 5 ) f (x 6 ) f (x 7 ) f (x 8 )
- 0.05228 0.08888 0.11483 0.13333 0.14652 0.15584 0.162319 0. Finalmente, aplicamos la f´ormula antes deducida:
I ≈
h 2 [f (x 0 ) + 2 (f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ) + f (x 4 ) + f (x 5 ) + f (x 6 ) + f (x 7 )) + f (x 8 )]
≈
[0 + 2(0.05228 + 0.0888 + 0.11483 + 0.1333 + 0.14652 + 0.15584 + 0.162319) + 0.1666]
que da una buena aproximaci´on al resultado exacto. En la pr´oxima secci´on completaremos este ejercicio mediante el uso del M´etodo de Simpson y comprobaremos que proporciona una mejor a´un aproximaci´on. Si realizamos el mismo c´alculo con un n´umero diferente de subintervalos, se obtienen los siguientes resultados:
n In n = 1 0. 08333 n = 2 0. 108333 n = 3 0. 113492 n = 4 0. 11535 n = 5 0. 11622 n = 10 0. 11739 n = 100 0. 1177791
M´etodo de Simpson
El M´etodo de Simpson es un m´etodo de Newton-Cˆotes de segundo orden, es decir basado
en integrar un polinomio de interpolaci´on de segundo grado, de la forma siguiente:
Dada la funci´on f (x) en [a, b], tomaremos como tercer punto para la interpolaci´on
el punto medio de dicho intervalo, es decir: xm = a+ 2 b, y denominaremos h = b− 2 a a la
semianchura del intervalo. De esta forma el polinomio de interpolaci´on de grado 2 que
pasa por (a, f (a)), (xm, f (xm)) y (b, f (b)) ser´a:
P 2 (x) = f (a) +
f (xm) − f (a)
h
(x − a) +
f (a) + f (b) − 2 f (xm)
2 h^2
(x − a)(x − xm)
No es dif´ıcil calcular la integral de P 2 (x) entre a y b, de manera que se obtiene:
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
P 2 (x) dx =
h
(f (a) + 4f (xm) + f (b))
f´ormula del M´etodo de Simpson (o M´etodo de Simpson simple).
La evaluaci´on del error de integraci´on da lugar a un curioso resultado. Suponiendo que la funci´on f (x) es derivable al menos cuatro veces en el intervalo considerado, podemos desarrollar por la f´ormula de Taylor la funci´on f (x) en x = xm hasta tercer orden (resto de Taylor de orden 4):
f (x) = P 3 (x) + R 4 (x) = = f (xm) + f ′(xm)(x − xm) + f ′′(xm) 2 (x − xm)^2 + f ′′′(xm) 3! (x − xm)^3 + R 4 (x)
con
R 4 (x) = f (4)(ξ) 4! (x − xm)^4
De esta manera tendremos:
f (a) = f (xm − h) = f (xm) + f ′(xm)(−h) + f ′′(xm) 2 (−h)^2 + f ′′′(xm) 3! (−h)^3 + f (4)(ξ) 4! (−h)^4
f (b) = f (xm + h) = f (xm) + f ′(xm)h + f ′′(xm) 2 h^2 + f ′′′(xm) 3! h^3 + f (4)(ξ) 4! h^4
Con un breve c´alculo se concluye en la expresi´on (para la f´ormula del M´etodo de Simpson):
h 3 (f^ (a) + 4f^ (xm) +^ f^ (b))^ =^
h 3
6 f (xm) + f ′′(xm)h^2 +
12 f^
(4)(ξ)h 4
= 2 hf (xm) + f ′′(xm) 3 h^3 +
f (4)(ξ)h^5
Por otro lado, si integramos el desarrollo de Taylor tendremos (simplificando los resultados):
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) b
a
(P 3 (x) + R 4 (x)) dx =
∫ (^) b
a
f (xm) + f ′(xm)(x − xm) + f^
′′(xm) 2 (x − xm)^2 + f^
′′′(xm) 3! (x − xm)^3 + R 4 (x)
dx =
= 2 hf (xm) + f^
′′(xm) 3 h^3 + f^
(4)(ξ) 60 h^5
Finalmente el error de integraci´on no es m´as que (tomando nuevamente el error como definido positivo):
E =
∫ (^) b
a
f (x)dx − h 3 (f (a) + 4f (xm) + f (b))
de manera que:
E = f (4)(ξ) 60 h^5 − f (4)(ξ) 36 h^5 = −
f (4)(ξ) h^5
Si denominamos M 4 al m´aximo que alcance la derivada cuarta de la funci´on en el intervalo [a, b], tendremos finalmente:
E ≤
90 h
5 M 4
De forma expl´ıcita se obtiene:
∫ b
a
f (x) dx ≈
h
(f (a) + 4I + 2P + f (b))
donde I y P representan las sumas:
I =
n∑− 1
i=1, impares
f (xi) = f (x 1 ) + f (x 3 ) +... + f (xn− 1 )
P =
n∑− 2
i=2, pares
f (xi) = f (x 2 ) + f (x 4 ) +... + f (xn− 2 )
De cara a la estimaci´on del error, en cada uno de los pasos deberemos considerar
E ≤
h^5
M 4
De esta forma, el error de integraci´on en el M´etodo compuesto vendr´a dado por:
E ≤
h^5
M 41 + M 42 + ... + M
n 2 4
h^5
n
M 4
donde se denota M 4 i a los m´aximos de la derivada cuarta en cada aplicaci´on del m´etodo
simple y M 4 al m´aximo de la derivada cuarta en todo [a, b].
Concluimos por tanto en la expresi´on:
E ≤
b − a
h^4 M 4
Ejemplo 1. Calcular el valor aproximado de la integral
0
x dx (x + 1)(x + 2)
utilizando la regla de Simpson compuesta con n = 8. Recordemos la tabla de valores utilizadas en la secci´on anterior al realizar este ejercicio mediante el m´etodo de los trapecios: x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8
- 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1. f (x 0 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 4 ) f (x 5 ) f (x 6 ) f (x 7 ) f (x 8 )
- 0.05228 0.08888 0.11483 0.13333 0.14652 0.15584 0.162319 0.
de manera que
I ≈ h 3 [f (x 0 ) + 4 (f (x 1 ) + f (x 3 ) + f (x 5 ) + f (x 7 )) + 2 (f (x 2 ) + f (x 4 ) + f (x 6 )) + f (x 8 )]
≈
[4(0.05228 + 0.11483 + 0.14652 + 0.162319) + 2(0.0888 + 0.1333 + 0.15584) + 0.1666]
que al ser comparado con el valor exacto 0.1177830 y el obtenido por la regla de los trapecios 0 .117166 nos permite concluir que este m´etodo es m´as preciso que el anterior. Comparando de manera general los dos m´etodos tendremos:
n I(Trapecios) I(Simpson) n = 1 0. 08333 n = 2 0. 108333 0. 116667 n = 3 0. 113492 n = 4 0. 11535 0. 117689 n = 5 0. 11622 n = 6 0. 117763 n = 8 0. 117776 n = 10 0. 11739 0. 11778 n = 100 0. 1177791 0. 117783
Ejemplo 2. Teniendo en cuenta que no es conocida una primitiva de la funci´on f (x) = ex
2 , calc´ulese el valor de la integral definida ∫ (^1)
0
ex 2 dx
con un error menor a 0.003.
La funci´on con la que debemos trabajar es ex 2
. Aplicando la f´ormula de Simpson cometemos un error dado por
E ≤ (b − a) h^4 180 M^4 ,^ M^4 ≥^ f^
(4)(x) , ∀x ∈ [0, 1]
Calcularemos las derivadas correspondientes:
f ′(x) = 2 xex 2
f ′′(x) = 2(1 + 2x^2 )ex 2
f ′′′(x) = 4(3x + 2x^3 )ex
2
f (iv)(x) = 4(4x^4 + 12x^2 + 3)ex 2
Se puede observar que f (iv)(x) es creciente en [0, 1] de modo que el m´aximo valor de dicha funci´on coincide con el valor en x = 1, esto es, f (iv)(1) = 4e^1 (4 + 12 + 3) < 4 · 3 · 19 = 228, por lo que consideraremos que M 4 ≤ 228. Por ello,
E(N ) ≤
(b − a)^5 180 N 4
15 N 4
E(1) ≈ 1. 2666
E(2) ≈ 0. 0791
E(3) ≈ 0. 0156
E(4) ≈ 0. 0049
E(5) ≈ 0. 0020
de modo que para que el n´umero de subintervalos sea par hemos de tomar
N = 6
unos ejes cartesianos sobre la carretera (eje OX) y uno de los caminos (eje OY, abscisa x = 0), el segundo camino ser´a la recta vertical x = 2 (unidades en cientos de metros). Se toman varias medidas desde la carretera hasta la ribera, obteni´endose las siguientes coordenadas para los puntos de la ribera: (0, 1 .5), (0. 5 , 1 .8), (1, 2 .1), (1. 5 , 1 .75), (2, 1 .3). Calcular aproximadamente el ´area de dicho terreno utilizando las reglas de los trapecios y de Simpson. Determinar el ´area si extendemos el terreno hasta la abscisa x = 2.5 sabiendo que el r´ıo en tal caso pasa por el punto (2. 5 , 1 .1).
En este caso desconocemos la funci´on de forma expl´ıcita, teniendo en cuenta tan solo los valores de la tabla que nos han sido facilitados. Se tiene:
xi x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0. 0.5 1.0 1.5 2. f (xi) f (x 0 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 4 ) = 1.5 1.8 2.1 1.75 1.
de modo que usando el m´etodo de los trapecios podemos escribir
I 1 ≈ h 2 [f (x 0 ) + 2 (f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 )) + f (x 4 )]
≈
[1.5 + 2(1.8 + 2.1 + 1.75) + 1.3]
mientras que si usamos el m´etodo de Simpson se llega a
I 2 ≈ h 3 [f (x 0 ) + 4 (f (x 1 ) + f (x 3 )) + 2 (f (x 2 )) + f (x 4 )]
≈
[1.5 + 4(1.8 + 1.75) + 2(2.1) + 1.3]
Si se a˜nade un nuevo punto, la tabla queda dada por
xi x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 0. 0.5 1.0 1.5 2.0 2. f (xi) f (x 0 ) f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) f (x 4 ) f (x 5 ) = 1.5 1.8 2.1 1.75 1.3 1.
Ahora la regla de los trapecios proporcionar´a:
I ≈
h 2 [f (x 0 ) + 2 (f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ) + f (x 4 )) + f (x 5 )]
≈
[1.5 + 2(1.8 + 2.1 + 1.75 + 1.3) + 1.1] ≈ 4. 125
mientras que si el m´etodo de Simpson no es aplicable de forma directa dado que estamos con- siderando un n´umero impar de subintervalos en este caso. Lo que podemos hacer es considerar la regla de Simpson para los 4 subintervalos primeros y estimar el quinto subintervalo mediante la regla de los trapecios. As´ı queda
I = I 2 + I′^ = 3.5333 +
