Integral Definida, Diapositivas de Ingeniería Civil

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• Cálculo 2 - 2024_
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En la ciudad de Lima, se ha determinado que la temperatura (en ˚C) del día 26 de marzo del 2023, t horas pasada la media noche, está dada por la función: 𝑇 𝑡 = 23 + 3 cos 𝑡 − 1

Donde 𝑡 está dado en horas. Determine la temperatura promedio durante el periodo de las 4 : 00 horas hasta las 10 : 00 horas. Temperatura en un día de verano

Introducción

 ¿Qué es una integral indefinida?  ¿Cómo puedes calcular las siguientes integrales indefinidas? 𝑎) න 𝑥 3 5 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑏) න( 6 𝑥 2 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑒 𝑥 3 −𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

Saberes previos

INTEGRAL DEFINIDA

lím 𝑛→∞

𝑖= 1 𝑛 𝑓 𝑥 𝑖 ∗ Δ𝑥 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 y existe el límite lím 𝑛→∞ σ 𝑖= 1 𝑛 𝑓(𝑥𝑖)Δ𝑥. Entonces la integral definida de 𝑓 entre 𝑎 y 𝑏, se denota por donde ➢ 𝑓(𝑥): función integrable (integrando) ➢ 𝑎 y 𝑏: límites de integración ➢ (^) ׬: símbolo de integración ➢ 𝑥: variable de integración lím 𝑛→∞ ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑓 𝑥𝑖 Δ𝑥 = න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

1. Definición

2. Propiedades de la integral definida 1. න 𝑎 𝑏 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥; 𝑘 ≡ constante 2. න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± න 𝑎 𝑏 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 3. න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = න 𝑎 𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + න 𝑐 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ; 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 4. න 𝑎 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − න 𝑏 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Si 𝑓 y 𝑔 son continuas en el intervalo [a, b], entonces 5. න 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 6. න 𝑎 𝑏 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 (^) 𝑎 𝑏 − න 𝑎 𝑏 𝑣𝑑𝑢

3. Segundo teorema fundamental del cálculo (forma de antiderivada) Si 𝒇(𝒙) es una función continua en el intervalo cerrado 𝒂; 𝒃 , entonces න 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 ቚ 𝒂 𝒃 = 𝑭 𝒃 − 𝑭(𝒂) donde 𝑭(𝒙) es cualquier antiderivada de 𝒇(𝒙) en 𝒂; 𝒃.

Ejemplo 1: Calcule ׬

− 1 2

2

− 1 2

2

3

− 1 2

3

3

= 6

Ejemplo 3: Determine el valor de la siguiente integral න − 1 3 𝑥 + 1 5 𝑑𝑥 Solución: Considerando 𝑢 = 𝑥 + 1 , 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 obtenemos න − 1 3 𝑥 + 1 5 𝑑𝑥 = න 𝑢= 0 𝑢= 4 𝑢 5 𝑑𝑢 = อ

6 6 0 4 =

6 6

6 6

3. Teorema fundamental del cálculo (forma de antiderivada)

Ejemplo 4: Determine el valor de la siguiente integral න 0 1 𝑥 3 𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥 Solución: Aplicando integración por partes, (𝑢 = 𝑠, 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑠 𝑑𝑠) Considerando la sustitución 𝑠 = 𝑥 2 , 𝑑𝑠 = 2𝑥𝑑𝑥 න 0 1 𝑥 3 𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥 =

0 1 2 𝑥(𝑥 2 )𝑒 𝑥 2 𝑑𝑥 =

𝑠= 0 𝑠= 1 𝑠𝑒 𝑠 𝑑𝑠 1 2

0 1 𝑠𝑒 𝑠 𝑑𝑠 =

𝑠 0 1 − න 0 1 𝑒 𝑠 𝑑𝑠 (^) =

1 − 0 𝑒 0 − 𝑒 1 − 𝑒 0 =

3. Teorema fundamental del cálculo (forma de antiderivada)

4. Integrales para funciones pares e impares

Si 𝑓 es una función par integrable (∀𝑥 ∈ −𝑎; 𝑎 ,

𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥) ), entonces

−𝒂 𝒂 𝒇(𝒙) ⋅ 𝒅𝒙 = 𝟐 ⋅ න 𝟎 𝒂 𝒇(𝒙) ⋅ 𝒅𝒙 Ejemplo: Calcule 𝐼^ =^ න − 𝜋 2 𝜋 2 cos 𝑥 + 48 𝜋 3 𝑥 2 𝑑𝑥 Solución 𝐼 = න − 𝜋 2 𝜋 2 cos 𝑥 + 48 𝜋 3 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 න 0 𝜋 2 cos 𝑥 + 48 𝜋 3 𝑥 2 𝑑𝑥 2 sen 𝑥 + อ 48 𝜋 3 𝑥 3 3 0 𝜋 2 = 12

4. Integrales para funciones pares e impares Si 𝑓 es una función impar integrable( ∀𝑥 ∈ −𝑎; 𝑎 , 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) ), entonces

−𝒂 𝒂

= 0 Si 𝑓 𝑥 = tan 7 𝑥, entonces 𝑓 −𝑥 = tan 7 −𝑥 = tan(−𝑥) 7 = − tan 𝑥 7 = − tan 7 𝑥 = −𝑓 𝑥 Ejemplo: Calcule න −𝜋/ 3 𝜋/ 3 tan 7 𝑥 ⋅ 𝑑𝑥 න −𝜋/ 3 𝜋/ 3 tan 7 𝑥 ⋅ 𝑑𝑥

5. Aplicaciones Si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado 𝑎; 𝑏 , entonces existe un 𝑐 en 𝑎; 𝑏 , tal que donde ➢ 𝑓 𝑐 = 𝑉. 𝑀: es el valor medio de 𝑓 en 𝑎; 𝑏. Geométricamente: Existe un 𝑐 en el intervalo [a, b], de tal manera que el área bajo la curva 𝑓 coincide con el área del rectángulo de base 𝑏 − 𝑎 y altura 𝑓(𝑐). Es decir: න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑐 𝑏 − 𝑎 𝑽. 𝑴. =

𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 5.1 Teorema del valor medio para integrales

En la ciudad de Lima capital, se ha determinado que la temperatura (en ˚C) del día 26 de marzo del 2023 , t horas pasada la media noche, está dada por la función: 𝑇 𝑡 = 23 + 3 cos 𝑡 − 1

Donde 𝑡 está dado en horas. Determine la temperatura promedio durante el periodo de las 4 : 00 horas hasta las 10 : 00 horas. Temperatura en un día de verano

Aplicación